河南省许昌市2026届高三数学下学期第三次质量检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A2.若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】C3.已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（）A.9 B.6 C. D.【答案】D4.在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D5.已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（）A. B. C. D.2【答案】B6.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（）A. B. C. D.【答案】C7.已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（）A. B.C.函数是奇函数 D.函数是偶函数【答案】C8.的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.的展开式中的系数为B.一组数据2，4，6，5，，4，3的中位数一定是4C.一组数据的线性回归方程为，若，则D.对随机事件，，若，，则事件与相互独立【答案】ABD10.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数上单调递增D.函数在上所有零点之和为，则的取值范围是【答案】BC11.有一款弹球游戏，在如图所示的矩形球台上进行，游戏开始时，弹球从点发射，玩家可以自由控制发射角度，但不能沿边框发射，弹球发射后沿直线运动，碰撞到球台的边框后被反弹（入射角=反射角），反弹后继续沿直线运动，经过若干次反弹后，到达的中点，一轮游戏结束.若弹球大小忽略不计，则（）A.若经过一次反弹到达点，则碰撞点是某边框的一个三等分点B.若经过两次反弹到达点，则首次碰撞点是某边框的一个四等分点C.若前两次碰撞点分别在、上，则只经过三次反弹不可能到达点D.若经过三次反弹到达点，且首次碰撞点在上，则该点是的一个五等分点【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则__________.【答案】##1.513.抛物线的焦点为，准线与轴交于点，为抛物线上一点，若为锐角，，则________.【答案】14.已知函数的定义域为，，，若，则不等式的解集为__________.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀.（1）若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）；（2）从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望.附：若随机变量，则，，.解（1）因为，所以，，所以，则，所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人.（2）因为，且，所以，依题意，所以，，，，故随机变量的分布列为：01230.7290.2430.0270.001所以随机变量的期望.16.记为等差数列的前项和.已知且.（1）求的通项公式；（2）设函数，，求数列的前项和.解（1）设数列的公差为，由可知，则又，令可得联立解得，，则（2）当，时，，当，时，成立，所以，则，17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.（1）证明：平面平面；（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值；（3）设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解（1）平面平面，平面平面，，且平面，则平面，因平面，则，又，则，因平面，则平面，又平面，故平面平面.（2）由平面，平面平面，平面，则故为的中点，取的中点，连接，，则平面，因平面，则，，平面，所以平面故可以为坐标原点，，所在直线为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，，，，，则，，.设平面的法向量为，则，故可取，设与平面所成角为，则.（3）由（1）知，平面，因平面，则，即为直角三角形，又也为直角三角形，则三棱锥外接球的球心为线段的中点.，即，在平面外，在平面内，则平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离，又等于点到平面的距离的一半.故，而，故.18.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上.（1）求的方程；（2）已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，.（ⅰ）若点坐标为，求直线的方程；（ⅱ）若，，求的值.解（1）由题知，解得，所以的方程为.（2）（i）因为，又，由对称性知，又，所以，由，消并整理得到，解得或，当时，，所以，则，所以直线的方程为，即.（ii）设，，则，又，则，解得，，因为在椭圆上，则，即，又，则，易知，化简得，则，又因为，又，则，解得，，因为在椭圆上，则，即，又，则，易知，化简得，得到，故.19.已知函数，.（1）若，求的单调区间；（2）若，.（ⅰ）求；（ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由.解（1）当时，，，则为增函数，又，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）（ⅰ）即，当时，若，则，，且，不等式不成立，，当时，令，，令，则，在上为增函数，，，，，，又且，则在上有且仅有一个零点，当时