4.2提取公因式1-【导学练评】北师大版数学八年级下册

4.2提取公因式（1)-【导学练评】北师大版数学八年级下册学习目标：1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.2.培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．学习重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。学习难点：让学生识别多项式的公因式。1、因式分解的概念。2、整式乘法与分解因式之间的关系是。3、简便计算54、如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，请用两种方法表示新长方形的面积。

一、认识公因式1、认真观察等式两边各有什么特点？多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式x+4x呢？多项式mb+nb–b呢？【强调】多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。2、怎样确定多项式的公因式？定系数（最大公因数）；定字母（相同字母）；定指数（最低次幂）例如：2x2–6x3的公因式是2x21．练一练①4a+2b的公因式是.②ab+ac+ad的公因式是.③3x2+9x的公因式是.④2x2+6x3的公因式是.⑤7（a–3)–b（a–3)的公因式是.二、提取公因式2．①4a+2b提取公因式是.②ab+ac+ad提取公因式是.③3x2+9x提取公因式是.④2x2+6x3提取公因式是.⑤7（a–3)–b（a–3)提取公因式是.【强调】如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例13．将下列各式分解因式：（1）2mn+4（2）7（3）8（4）−24注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。注意：多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。例题24．把下列多项式分解因式：

（1）12x2y+18xy2；（2）-x2+xy-xz；（3）2x3+6x2+2x

现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由（1）甲同学：解：12x2y+18xy2=6xy（2x+3y)（2）乙同学：

解：-x2+xy-xz=-x（x-y+z)（3）丙同学：

解：2x3+6x2+2x=2x（x2+3x+1)一、基础达标1：5．6a2b与8ab2的公因式是（)A．a2b2 B．6ab C．2ab D．24a2b26．下列各个多项式的各项中，有公因式的是（)A．x2－9y2 B．x2－3x＋5 C．a3＋b3 D．a3b－ab2＋ab7．多项式9x3y－36xy3＋3xy提取公因式后，另一个因式是．8．分解因式：x2-xy=9．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是（)A．x2－y2 B．x2＋2x C．x2＋y2 D．x2－xy＋y210．用提公因式法将下列各式因式分解.（1）ax-ay；（2）6xyz-3xz2；（3）-x3z+x4y；（4）36aby-12abx+6ab二、能力提升1：11．下列各组式子中，没有公因式的是（）A．-a2+ab与ab2-a2b B．mx+y与x+yC．（a+b）2与-a-b D．5m（x-y）与y-x12．边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（)A．15 B．30 C．60 D．7813．把多项式-3x2-6x因式分解，结果为（)A．-3x（x＋2) B．-3（x2＋2x) C．-3x（x2＋2) D．3（-x2-2x)三、拓展迁移1：14．分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x)[1+x+x（x+1)2]=（1+x)2（1+x)=（1+x)3.（1）上述因式分解的方法是，共应用了次；（2）若分解因式1+x+x（x+1)+x（x+1)2+x（x+1)3，则需应用上述方法次，结果是；（3）分解因式1+x+x（x+1)+x（x+1)2+⋯+x（x+1)n（n为正整数）的结果是．1、公因式的定义：多项式各项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。2、公因式的找法：（1)定系数：取各项系数的最大公约数；（2)定字母及指数：取各项相同字母的最低次幂3、提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。四、基础达标2：15．将5x（a+b)−y（b+a)用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（）  A．5x−y B．5b+a C．a+b D．5x+y16．若mn=−2，m−n=3，则代数式m2n−mn2的值是（)  A．−6 B．−5 C．1 D．617．分解因式b2（x−2)+b（2−x），正确的结果是（)  A．（x−2)（b2+b) B．b（x−2)（b+1)C．（x−2)（b2−b) D．b（x−2)（b−1)18．多项式x2y（a−b)−xy（b−a)+y（a−b)提公因式后，另一个因式为（  )A．x2−x+1 B．x2+x+1 C．x2−x−1 D．x2+x−119．把下列各式分解因式：（1）−（2）−4五、能力提升2：20．已知ab=7，a+b=6，求多项式a221．已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值.六、拓展迁移2：22．已知x，y满足：（x+y）2=5，（x−y）2=41；求x3y+xy3的值．23．若x2-3x-4=1，求2029-2x2+6x的值.24．已知x，y都是自然数，且有x（x﹣y)﹣y（y﹣x)=12，求x、y的值.

答案解析部分1．【答案】2；a；3x；2x2；(a-3)【解析】【解答】解：①4a+2b的公因式是2；②ab+ac+ad的公因式是a.

③3x2+9x的公因式是3x.④2x2+6x3的公因式是2x2；⑤7（a–3)–b（a–3)的公因式是(a-3)；故答案为：2；a；3x；2x2；(a-3).【分析】根据公因式的定义“一个多项式中每一项都含有的相同因式是公因式”解答即可.2．【答案】2(2a+b)；a(b+c+d)；3x(x+3)；2x2(1+3x)；(a-3)(7-b)【解析】【解答】解：①4a+2b提取公因式是2(2a+b)；②ab+ac+ad提取公因式是a(b+c+d).

③3x2+9x提取公因式是3x(x+3).④2x2+6x3提取公因式是2x2(1+3x)；⑤7（a–3)–b（a–3)提取公因式是(a-3)(7-b)；

故答案为：2(2a+b)；a(b+c+d)；3x(x+3)；2x2(1+3x)；(a-3)(7-b).【分析】利用提取公因式法分解因式即可.3．【答案】（1）解：2mn+4=2m×n+2m×m=2m（2）解：7=7p×p−7p×3=7p（3）解：8=ab×8=ab（4）解：−24=−4x×6=−4x【解析】【分析】（1）提取公因式2m，然后分解因式即可；

（2）提取公因式7p，然后分解因式即可；

（3）提取公因式ab，然后分解因式即可；

（4）提取公因式-4x，然后分解因式即可.4．【答案】（1）不正确，系数的最大公因数是6；（2）不正确，提取“-”时，第二、三项未变号；（3）不正确，提取公因式2x，另一多项式的项数和原多项式的项数相同.【解析】【分析】（1）根据提取最大公式式解答即可；

（2）提取公因式-x，进入括号的各项都变号，据此解答即可；

（3）提取公因式2x后，另一多项式的项数和原多项式的项数相同，据此解答即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：6a2b与8ab2的公因式是2ab，

故答案为：C.

【分析】根据最大公因数的确定“数字的最大公约数，相同字母的最低次幂”解答即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：A：没有公因式；

B：没有公因式；

C：没有公因式；

D：有公因式ab，故答案为：D.【分析】根据公因式的定义“一个多项式中每一项都含有的相同因式是公因式”解答即可.7．【答案】3xy；3【解析】【解答】解：9x3y－36xy3＋3xy=3xy(3x2-12y2+1)，

∴提取的公因式为3xy，另一个因式是3x故答案为：3xy；3x【分析】根据提取公因式3xy，进行因式分解解答即可.8．【答案】x(x-y)【解析】【解答】解：x2-xy=x(x-y)【分析】观察此多项式各项都含有公因式x，因此利用提取公因式法分解可。9．【答案】B【解析】【解答】解：A：没有公因式，不能提取公因式法分解因式；

B：有公因式x，能提取公因式法分解因式；

C：没有公因式，不能提取公因式法分解因式；

D：没有公因式，不能提取公因式法分解因式；故答案为：B.【分析】根据提取公因式的定义“将多项式中各项的公因式提取到括号外，转化为因式乘积的形式”解答即可.10．【答案】（1）解：ax-ay=a(x-y)（2）解：6xyz-3xz2=3xz(2y-z)（3）解：-x3z+x4y=-x3(z-xy)（4）解：36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1)【解析】【分析】（1）利用提取公因式a分解因式即可；

（2）利用提取公因式3xz分解因式即可；

（3）利用提取公因式-x3分解因式即可；

（4）利用提取公因式6ab分解因式即可.11．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵-a2+ab=a（b-a）与ab2-a2b=ab（b-a）的公因式是a（b-a），∴A不符合题意；

B、∵mx+y与x+y没有公因式，∴B符合题意；

C、∵（a+b）2与-a-b=-（a+b）的公因式是（a+b），∴C不符合题意；

D、∵5m（x-y）与y-x=-（x-y）的公因式是（x-y），∴D不符合题意；故答案为：B.【分析】先分别求出各选项中的公因式，再求解即可.12．【答案】D【解析】【解答】解：∵边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，

∴2(a+b)=10，ab=6，即a+b=5，

∴a3b+ab3=ab(a2+b2)=ab[(a+b)2-2ab]=6×(52-2×6)=78，故答案为：D.【分析】先根据长方形的周长和面积得到ab=6，a+b=5，然后把代数式化为ab[(a+b)2-2ab]，然后整体代入即可.13．【答案】A【解析】【解答】解：-3x2-6x=-3x(x+2)，故答案为：A.【分析】利用提取公因式-3x分解因式即可.14．【答案】（1）提取公因式；2（2）3；(（3）(【解析】【解答】解：（1）因式分解的方法是提取公因式，共用了2次，

故答案为：提取公因式；2.

（2）1+x+x（x+1)+x（x+1)2+x（x+1)3=(x+1)[1+x+(x+1)+x(1+x)2]=(x+1)2[1+x+x(1+x)]=(x+1)3(1+x)=(1+x)4，

应用上述方法3次，结果为(1+x)4，

故答案为：3；(x+1)4；

（3）根据（1）（2）的结果可得1+x+x（x+1)+x（x+1)2+⋯+x（x+1)n=(x+1)n+1，15．【答案】C【解析】【解答】解：5x（a+b)−y（b+a)=(a+b)(5x-y)，

∴提取的公因式为(a+b)，故答案为：C.【分析】根据提取公因式分解因式解答即可.16．【答案】A【解析】【解答】解：m2n−mn2=mn(m-n)=-2×3=-6，故答案为：A.【分析】先提取公因式分解因式，然后整体代入解答即可.17．【答案】D【解析】【解答】解：b2（x−2)+b（2−x）=b(x-2)(b-1)，故答案为：D.【分析】利用提取公因式分解因式解答即可.18．【答案】B【解析】【解答】解：x2y（a−b)−xy（b−a)+y（a−b)=y(a-b)(x2+x+1)，

∴另一因式为x2+x+1，故答案为：B.【分析】根据提取公因式分解因式解答即可.19．【答案】（1）解：−=−(=−a（2）解：−4=−(=−=−2ab（2【解析】【分析】（1）提取公因式-a因式分解即可；

（2）提取公因式-2ab分解因式即可.20．【答案】解：a2【解析】【分析】先因式分解，然后整体代入即可解答.21．【答案】解：a2b+ab2=ab(a+b)=3×5=15【解析】【分析】先提取公因式ab因式分解，然后整体代入解答即可.22．【答案】解：由(x+y)2=5得：x2+2xy+y2=5．由（x−y）2=41得：x2−2xy+y2=41．解得：x2+y2=23；xy=−9，x3y+xy3=xy(x2+y2）=−9×23=−207【解析】【分析】先