江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期5月阶段检测试题 数学 含解析

江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题一、单选题1．若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（

）A．36 B．48 C．63 D．723．的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（

）X123PnmA． B． C． D．5．已知随机变量，则（

）A． B． C． D．6．设，则（

）A．242 B．243 C．32 D．317．已知事件，若，，则（

）A． B． C． D．8．设随机变量的分布列为，，则（

）A．3 B． C．2 D．二、多选题9．已知的展开式共有8项，则（

）A． B．无常数项C．含项的系数为92 D．所有项的二项式系数之和为12810．若随机变量的分布列为1230.20.5则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（

）

A．在棱上不存在点M，使平面B．异面直线与所成的角为C．二面角的大小为D．与平面不垂直.三、填空题12．已知随机变量，且，则__________．13．某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有____________种.14．已知多项式，则=______．四、解答题15．已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为.(1)求和的值；(2)求该二项式展开式中所有的有理项.16．从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；(2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；(3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒.17．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．18．某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品．(1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；(2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望．19．如图，在直三棱柱中，，.(1)证明：三棱柱是正三棱柱；(2)证明：；(3)设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积.参考答案1．C【详解】由题意得.2．A【详解】.3．C【详解】根据题意可知只有最大，根据二项式系数的性质，故.4．B【详解】由分布列的性质可得，，所以，又因为，所以，即；联立方程，解得，所以故选：B5．C【详解】由题意可知：.故选：C.6．A【详解】因为，令，可得，即，令，可得，即，因此.7．A【详解】由题可知，，故选：A．8．D【详解】因为随机变量的分布列为，，所以，由分布列的性质可得，，解得，所以，所以，所以，故选：D．9．ABD【详解】对于A，因为的展开式共有8项，所以，故A正确；对于B，展开式通项为，设，此时无解，所以不存在常数项，故B正确；对于C，令，解得，所以项的系数为，故C错误；对于D，展开式二项式系数和为，故D正确.故选：ABD10．CD【详解】由题意，，解得，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：CD.11．BCD【详解】取中点E，连接，，因为为等边三角形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，则平面，因为平面，所以，因为底面为菱形，，所以，所以以为原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，

则令，则有，，则有，，，，，，对于A选项，令，若平面，则有，，则，，，则有，即点为AD中点时，有平面，故A错误；对于B选项，，，因为，则，则异面直线与所成的角为，故B正确；对于C选项，平面的法向量为，则平面的法向量为，则，，则有，即，令，则有，，故，故，故二面角的大小为，故C正确；对于D选项，，，因为，所以与不垂直，故与平面不垂直，故D正确.12．【详解】依题意得，所以.13．12【详解】先排数学，其余全排列可得种.14．25【详解】，展开式的通项为令得，则的展开式中项的系数是；令得，则的展开式中项的系数是；令得，则的展开式中项的系数是；所以.15．(1)，(2)，，【详解】（1）因为的展开式的通项公式为，由第项的二项式系数为，得，解得，所以，又展开式中含的项的系数为，令，解得，所以，解得，故和的值分别为.（2）由（1）知，要求二项式展开式中的有理项，则为整数，所以，当时，，当时，，当时，，所以该二项式展开式中所有的有理项为，，.16．(1)24(2)72(3)72【详解】（1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法，从剩下4人选出2人排列到两边，有种排法，所以共有种排法；

（2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，从剩下4人选出2人，有种选法，全排列3个元素有种排法，所以共有种排法；（3）先从剩下4人选出2人先排列，有种排法，将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法，所以共有种排法.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）设的中点为，连接，，因为，是，的中点，所以在中，，，因为为正方形，为中点，所以，，所以，，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，，平面，所以，，在正方形中，，所以以为正交基底建立空间直角坐标系，因为，所以，，，所以.设平面的一个法向量为，所以即解得，取，得，所以，又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．18．(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件，则．（2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为，因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布所以，，，，所以随机变量的分布列如下：数学期望．19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【详解】（1）在直三棱柱中，又因为，所以，所以，所以三棱柱为正三棱柱.（2）取的中点，连结，则.因为平面，所以平面.以为正交基