2027届新高三数学热点突破复习 等差数列

2027届新高三数学热点突破复习等差数列知识清单1.等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的_____都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学表达式为_______________________．(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝________．差同一个常数an－an－1＝d(n≥2，d为常数)

a1＋(n－1)d

ak＋al＝am＋an

md

自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(

)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(

)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(

)×√××2．(人教A版选修二P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝______．6解析：由等差数列的性质可得a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10，又a7＝12，所以d＝a7－a6＝2，所以a4＝a6－2d＝10－2×2＝6.3．(人教A版选修二P15T5改编)在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为__________．

4．(人教A版选修二P21例7改编)在一个等差数列{an}中，S10＝310，S20＝1220，则S30＝________．2730

命题点一等差数列基本量的运算例1(1)(链接·2025年全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(

)A．－20

B．－15C．－10

D．－5答案：B

(2)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．95

答案：A

(2)(源自人教A版选修二P25T2改编)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝_____．1

学霸笔记：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

学霸笔记：

命题点三等差数列的性质考向1项的性质例3

已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝_____．4解析：由题意有a2＋a6＝2a4，a3＋a7＝2a5，又a2＋a4＋a6＝3a4＝3⇒a4＝1，a3＋a5＋a7＝3a5＝9⇒a5＝3，所以a1＋a8＝a4＋a5＝1＋3＝4.

跟踪训练

(2026·济南模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2a7－a9＝4，则S9＝(

)A．12

B．24

C．36

D．48答案：C

答案：D

跟踪训练

(1)(2026·南阳模拟)在等差数列{an}中，已知S8＝48，S12＝168，则S4＝(

)A．－16 B．－14C．－10 D．－8答案：D解析：根据等差数列前n项和性质，可得S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2(S8－S4)＝S12－S8＋S4，即2(48－S4)＝168－48＋S4，解得S4＝－8.故选D.

2025

考向3前n项和的最值问题例5(多选)(2026·平顶山模拟)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，若S7<S8＝S9>S10，则(

)A．d<0B．S10>S7C．S8与S9是Sn的最大值D．使Sn<0成立的n的最小值为17答案：AC

学霸笔记：(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值．跟踪训练

(衔接·人教A版选修二P23例9改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，d＝－2，则Sn的最大值为________．

30

1．(2026·桂林模拟)已知数列{an}为等差数列，若a1＋a2025＝2026，则a1013＝(

)A．2026 B．2025C．1013 D．1012.5答案：C

2．(2026·佛山模拟)－2025是等差数列－5，…，－35，－37，…的(

)A．第1013项

B．第1012项C．第1011项

D．第1010项答案：C解析：由条件可知，等差数列的首项是－5，公差是－37－(－35)＝－2，所以等差数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－2)＝－2n－3，令an＝－2n－3＝－2025，得n＝1011.故选C.3．(2026·常德模拟)已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，前n项和为Sn，则a3＋S5＝(

)A．14 B．30C．42 D．60答案：B

4．(2026·河北多校联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝64，a3＋a4＝12a1，则a4＝(

)A．22 B．24C．28 D．36答案：C

5．(2026·泰安模拟)等差数列{an}满足a3＋a4＝4，a7＋a8＝8，则a15＋a16＝(

)A．14 B．16C．18 D．20答案：B

6．(2026·淮安模拟)如果等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝15，S7＝63，那么a3的值为(

)A．5 B．6C．7 D．8答案：C

7．(2026·南阳模拟)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则Sn＝(

)A．n2＋21n B．－n2＋21nC．－n2＋19n D．n2＋19n答案：B

8．(2026·新乡模拟)某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有(

)A．20排

B．21排C．22排

D．23排答案：B

答案：AB

10．已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，S11>0，S12<0，则(

)A．a6>0 B．d<0C．{Sn}中S7最大

D．|a4|<|a9|答案：ABD

11．(2026·南充模拟)在等差数列{an}中，已知S6＝10，S12＝30，则S18＝________．60解析：由于S6，S12－S6，S18－S12成等差数列，所以10，20，S18－S12成等差数列，故S18－S12＝30，故S