2027届新高三数学热点突破复习数列的概念

2027届新高三数学热点突破复习数列的概念知识清单1.数列的有关概念剖析

数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．概念含义数列按照________________排列的一列数数列的项数列中的____________通项公式数列{an}的第n项an与它的________之间的关系式前n项和数列{an}中，Sn＝________________确定的顺序每一个数序号na1＋a2＋…＋an2．数列的分类及性质3．数列的表示方法列表法列出表格表示n与an的对应关系图象法把点________画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用________表示递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式(n，an)公式4.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是______，对应的函数值是____________，记为an＝f(n)．序号n数列的第n项【常用结论】2．若an＋k＝an(k为非零常数)，则数列{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．

×××√

答案：D

答案：C

4．(人教A版选修二P8T4改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________．－4n＋2解析：∵数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，∴a1＝S1＝－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2(n－1)2＝－4n＋2，显然，an＝－4n＋2对于n＝1也成立，故数列{an}的通项公式为an＝－4n＋2.

答案：A

答案：C

学霸笔记：已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)负号用(－1)n与(－1)n+1或(－1)n-1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(2)分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．

an＝2n

学霸笔记：Sn与an的关系问题转化的两个方向：(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

答案：D

(2)(2026·广州模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则a5＝________．384解析：an＋1＝3Sn

①，an＝3Sn－1(n≥2)

②，两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an(n≥2)，故an＋1＝4an(n≥2),令an＋1＝3Sn中n＝1得，a2＝3S1＝3a1＝6，所以a5＝43×a2＝384.

答案：C

学霸笔记：根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前n项和．

答案：A

答案：C

答案：B解析：∵数列{an}是递增数列，∴当n∈(－∞，8]时，f(n)＝(4－a)n－5单调递增，即4－a>0，则a<4；当n∈(8，＋∞)时，f(n)＝an－8单调递增，则a>1，又a9>a8，即a9－8>(4－a)×8－5，则a>27－8a，则a>3.∴a∈(3，4)．故选B.

答案：A

答案：B

答案：A

2．(2026·景德镇模拟)若数列{an}的前4项依次为20，11，2，－7，则数列{an}的一个通项公式为(

)A．an＝(－1)n+1·2n B．an＝－9n＋29C．an＝9n＋11 D．an＝9n－18答案：B解析：对于A，当n＝1时，a1＝2，这与条件不符，故A错误；对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以－9为公差的等差数列，由等差数列的通项公式有an＝－9n＋29，故B正确；对于C，当n＝2时，a2＝29，这与条件不符，故C错误；对于D，当n＝1时，a1＝－9，这与条件不符，故D错误．故选B.

答案：B

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋2n，a2＝5，则k的值为(

)A．2 B．－2C．1 D．－1答案：C解析：由Sn＝kn2＋2n可得a2＝S2－S1＝(4k＋4)－(k＋2)＝3k＋2，则3k＋2＝5，解得k＝1.故选C.5．(2026·无锡模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，则120是这个数列的第(

)项．A．9 B．10C．11 D．12答案：B解析：由数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，令an＝120，即n2＋2n＝120，可得n2＋2n－120＝0，解得n＝10或n＝－12，即a10＝120，所以120是数列{an}的第10项．故选B.

答案：A

答案：A

8．已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n－16，则数列{an}的最小项是第(

)项．A．5 B．6C．7 D．8答案：B解析：数列{an}中，由an＋1＝an＋3n－16，得an＋1－an＝3n－16，由3n－16<0，得n≤5，则当n≤5时，an＋1<an；当n≥6时，an＋1>an，即a1>a2>a3>a4>a5>a6<a7<a8<…，所以数列{an}的最小项是第6项．故选B.

答案：BD

答案：ABD

11．(2026·宁德模拟)已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n-1an＝n·3n+1(n∈N*)，设数列{an}的通项公式为an，则an＝________．6n＋3解析：数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n-1an＝n·3n+1(n∈N*)，当n≥2时，a1＋3a2＋…＋3n-2an－1＝(n－1)·3n，两式相减得3n-1an＝n·3n+1－(n－1)·3n＝(2n＋1)·3n，因此an＝3(2n＋1)．又n＝1时，a1＝1×31+1＝9，满足上式，所以an＝3(2n＋1)＝6n＋3.12．(2026·南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝________________．

15．(5分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，设bn＝(n－λ)log2(an＋2)，λ∈R，若数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是(

)A．(－∞，3) B．(4，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，4)答案：D解析：因为an＋1＝2an＋2，所以数列an＋1＋2＝2(an＋2)，所以数列{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝4×2n-1，所以bn＝(n－λ)log2(an＋2)＝(n－λ)(n＋1)＝n2＋(1－λ)n－λ，若数列{bn}是递增数列，则bn＋1>bn恒成立，所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋(1－λ)(n＋1)－λ－[n2＋(1－λ)n