题型清单02 不等式与不等式组（原卷版）

专题02不等式与不等式组一、不等式的相关概念1、不等式定义：用__________连接两个代数式所形成的式子，叫做不等式。常见不等号：>、<、≥、≤、≠。2、不等式的解：能使不等式成立的__________，叫做不等式的解。一个不等式的解通常有无数个。3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的__________，组成这个不等式的解集。4、解不等式：求不等式__________的过程，叫做解不等式。5、在数轴上表示不等式的解集：空心圆圈：表示__________该点（对应>、<）实心圆点：表示__________该点（对应≥、≤）方向：大于向____画，小于向____画二、不等式的基本性质1、不等式的两边都加（或减）__________，不等号的方向______。若a>b，则2、不等式的两边都乘（或除以）__________，不等号的方向______。若a>b，c>0，则ac3、不等式的两边都乘（或除以）__________，不等号的方向__________。若a>b，c<0，则ac补充：不等式具有传递性：若a>b，b>c三、一元一次不等式1、定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是_____，且不等号两边都是_______的不等式，叫做一元一次不等式。标准形式：ax+b>0、ax+b<2、一元一次不等式的解法步骤：去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意__________乘常数项；去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时，括号内各项要变号；移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，__________；合并同类项：化为最简形式ax>b（或系数化为1：两边同时除以未知数的系数。系数为正数：不等号方向不变；系数为负数：__________。3、解集表示：求出解集后，可在数轴上直观表示，区分空心圈与实心点、画线方向。四、一元一次不等式组1、定义：关于__________的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。2、不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式解集的__________，叫做这个不等式组的解集。若没有公共部分，则称不等式组__________。3、解一元一次不等式组的步骤：分别求出不等式组中__________的解集；在__________上表示出各个不等式的解集；找出所有解集的__________，即为不等式组的解集。4、两个一元一次不等式组成的不等式组解集规律（设a<不等式组形式解集口诀解集x同大取大xx同小取小xx大小小大中间找ax大大小小找不到无解五、含参数的不等式（组）常见题型：已知不等式（组）的解集，求参数取值范围思路：先正常求解不等式，再结合已知解集，对比系数、分析边界，建立关于参数的不等关系。已知不等式（组）有解/无解，求参数取值范围思路：结合数轴分析解集有无公共部分，确定参数临界值，再判断能否取等号。已知整数解的个数，求参数取值范围思路：先求出不等式（组）的解集，结合限定的整数解，锁定参数的取值区间，重点验证__________。六、一元一次不等式（组）的实际应用1、解题基本步骤：审：认真审题，找出题目中的__________；设：设未知数（一般直接设所求量为x）；列：根据不等关系，列出一元一次不等式（组）；解：求解不等式（组），得到解集；验：结合__________，检验解集是否符合题意（如人数、物品数为正整数）；答：写出完整答案。2、常见应用题型：方案选择问题：对比多种方案，确定最优方案；最值问题：求最大数量、最小费用、最大利润等；分配问题：物资、人员分配，根据分配限制列不等式；行程、工程、销售类问题：结合公式梳理不等关系。关键提示：实际问题中，人数、个数、台数等一般取__________。七、核心易错点与注意事项易错点注意事项运用不等式性质3两边同时乘/除以负数时，____________________去分母运算每一项都要乘最小公倍数，__________不含分母的常数项移项运算____________________，不动的项不变号数轴表示解集区分空心圆圈与实心圆点：不含等号用__________，含等号用__________；分清画线方向不等式组解集判断牢记“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，借助数轴辅助判断含参数问题端点取值____________________是高频易错点，务必代入验证实际应用问题取值未知数要符合生活实际，人数、数量等只能取_________，不可直接照搬解集一元一次不等式定义判断未知数不能出现在分母、根号内，且未知数次数必须为_________题型一不等式的性质1．若，则下列各式中错误的是（

）A． B． C． D．2．如果，那么下列不等式中不正确的是（

）A． B． C． D．3．若，，则的取值范围为______．4．小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则上述命题中，属于真命题的有__________（填写命题的序号）．题型二求一元一次不等式的解集5．若二次根式有意义，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．7．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__．8．不等式的解集为_____．题型三求一元一次不等式的整数解9．不等式的最小整数解是（

）A． B． C．0 D．110．不等式的正整数解为______．11．不等式的最大整数解是：______．12．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个．题型四在数轴上表示不等式的解集13．解不等式，并把解在数轴上表示出来：．14．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．15．不等式的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（）A． B．C． D．16．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B． C． D．题型五用一元一次不等式解决实际问题17．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花．18．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表：原料甲乙蛋白质的含量/（单位/kg）600100原料价格/（元/kg）84(1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．(2)在（1）的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．19．某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示：口罩普通医用口罩进价（元/包）197售价（元/包）2310若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题．(1)求出利润y与x的函数关系式．(2)已知口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值．20．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．(1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围；(2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？题型六用一元一次不等式解决几何问题21．用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度m，要使靠墙的一边长不小于25m，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（）A． B． C． D．22．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别．(1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程）(2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？23．如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成．(1)若，则和各为多少米？(2)若，则和各为多少米？24．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m．(1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m；(2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）；(3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块?题型七求一元一次不等式组的整数解25．若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为______．26．解不等式组，并写出它的所有整数解．27．解下列不等式组，并写出它的所有整数解．28．解不等式组，并写出所有整数解．题型八不等式组的行程问题29．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______．30．如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计．已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置．(1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由；(2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析)31．年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元．（运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间）(1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元；(2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度；(3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______．32．已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示．（1）分别求出线段，所在直线的函数表达式．（2）试求点的坐标，并说明其实际意义．（3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围．题型九不等式组的经济问题33．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？34．2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元．素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣．问题解决：(1)任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价；(2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用．35．综合与实践砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表：AB购进成本价（元/千克）106【问题解决】(1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润；(2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润．36．已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表：A地（元/吨）B地（元/吨）甲仓库1215乙仓库1018(1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？(3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值．题型十不等式组的分配问题37．“守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级．38．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数．39．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件．(1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？(2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和．①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示）②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？40．根据以下素材，完成任务：背景学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品．素材1已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元．素材2已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍．素材3在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件．问题解决任务1求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？任务2问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？任务3请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？题型一求一元一次不等式解的最值易错：直接取边界数值求最值，忽略整数限定；原因：分不清实心、空心端点，遗漏题干取值要求。1．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______．2．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____．3．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________．4．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______．题型二解|x|≥a型的不等式易错：不分a正负直接写解集，遗漏特例；原因：不理解绝对值几何含义，忽略a≤0时不等式恒成立。5．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________．6．解不等式：7．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．(1)的解集为______；(2)解不等式；(3)解不等式．8．请阅读绝对值不等式和的解集的过程．对于绝对值不等式，从图1的数轴上看，大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于绝对值不等式，从图2的数轴上看，小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．(1)不等式的解集为_______；(2)解不等式；(3)已知绝对值不等式的解集为，求的值；(4)已知关于，的二元一次方程组的解满足，且m是正整数，请直接写出m的值．题型三不等式组解集的情况求参数易错：临界端点错取等号，漏讨论参数范围；原因：不会利用数轴判定边界，忽视无解与有解区别。9．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．10．若关于的不等式组有6个整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．11．若关于x的不等式组的解集为，则值是（

）A． B． C． D．12．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“关联解”．例：已知方程与不等式，当时，同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联解”．(1)是方程和下列不等式（组）______的“关联解”；（填序号）①；②；③；(2)若关于x，y的二元一次方程组和不等式组有“关联解”，且m为整数，求m的值．(3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“关联解”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．题型四不等式组和方程组结合的问题易错：代换后等号取舍出错，不等关系转化失误；原因：不会用方程组的解代入不等式，忽视取值边界。13．若方程组的解，满足，则的取值范围为___________．14．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______．15．关于的方程组的解满足为非正数，为正数．(1)求的取值范围；(2)已知关于的不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数的值．16．已知关于、的二元一次方程组．(1)若方程组的解、互为相反数．求的值；(2)若方程组的解满足，求的取值范围．题型五不等式组的方案选择问题易错：忽略未知数取正整数，列式不等方向出错；原因：审题疏漏实际限制，不会结合整数筛选可行方案。17．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍．(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？18．根据以下信息，按要求完成下列任务．“诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目项目背景学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养项目要求运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性素材展示素材1已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍．素材2我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元．素材3学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑．一方面：投入的经费不能超过1020元；另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量．问题解决任务一：精准定价(1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱．任务二：方案规划(2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量．任务三：成本优化(3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案．19．2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：信息一A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）2334031300信息二A型机器人每台每天可分拣快递24万件；B型机器人每台每天可分拣快递20万件．(1)求A，B两种型号智能机器人的单价；(2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？20．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨．(1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？(2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？题型六不等式组的阶梯收费问题易错：分段区间分界点取值错误，列式区间混淆；原因：看不懂收费分段标准，分不清各段计费范围。21．大连地铁票收费标准如下：不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为___________．22．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________．23．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）．已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍．(1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围；(2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；(3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量．24．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人．(1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？(2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？题型一巧用不等式性质解题1.加减同一个数，不等号方向不变，移项同方程，注意不移项不变号。2.乘除正数，不等号方向不变；乘除负数，必须调转不等号，是高频易错点。3.含参数不等式，先定未知数系数正负，再结合解集反向求参数范围。4.不等式组先分别求解，再借助数轴找公共部分，熟记同大取大、同小取小口诀。65．下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务．解不等式．解：，…第一步，…第二步，…第三步，…第四步…第五步(1)任务一：该题第______步出现错误，错误的原因是______；(2)任务二：张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程．解不等式①，得______；解不等式②，得______；把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来；原不等式组的解集为______．66．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．(1)求a的取值范围．(2)化简：．(3)关于k的不等式的解集为______．67．已知方程组中x为非正数，y为负数．(1)求a的取值范围；(2)化简：；(3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为68．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立．(1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”；①；②；③；(2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围；(3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围．题型二用配方法求最值1.配方先提二次项系数，仅对含未知数项配方，常数留在括号外侧。2.补上一次项系数一半的平方，同时减去该数，保证式子大小不变。3.化成完全平方式加常数形式，平方项恒大于等于0。4.二次项系数为正，平方取0时式子得最小值；系数为负，平方取0时得最大值。69．已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（

）A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为70．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：①，∵，∴，∴代数式有最小值；②，∵，∴，∴代数式有最大值4．阅读上述材料并完成下列问题：(1)代数式的最小值为；代数式的最大值为；(2)求代数式的最小值；(3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值．71．利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料：材料一：已知，求的值．解：，，，．材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？①．代数式有最小值；②，．代数式有最大值4．学习方法并完成下列问题：(1)代数式的最___________（填“大”、“小”）值为___________；(2)已知为有理数，且满足．若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）；若没有最大（或最小）值，请说明理由；(3)已知的三条边的长度分别为，且，且为正整数，求周长的最小值．72．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．解：；∵无论x取何实数，都有，∴，即的最小值为1．【尝试应用】（1）请直接写出的最小值；【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于．题型三巧用绝对值几何意义1.代数转图形，将代数式、不等式、函数式子转化为数轴、函数图像，直观判断数值大小与取值范围。2.函数题型依托图像，交点坐标对应方程组的解，图像上下位置可直接判定不等式解集。3.几何问题转代数，利用边长、角度公式列式计算，简化复杂的几何推理过程。4.动点、最值题目优先画图，借助图形变化规律，快速锁定答案，规避逻辑漏洞。73．阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．

参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程的解为________________；(2)解不等式：；(3)解不等式：．74．阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．例1.解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为；例2.解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：(1)的解为____________；(2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________；(3)不等式的解集为____________．75．已知关于、的方程组的解为非正数，为负数．(1)求的取值范围；(2)化简；(3)当为何整数时，不等式的解集为？76．阅读理解：例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或