复习讲义06 平行四边形（原卷版）

专题06平行四边形（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01利用平行四边形的性质求解题型02利用平行四边形的性质求面积问题题型03利用平行四边形的性质求动点问题题型04平行四边形中的折叠问题题型05判断能否构成平行四边形题型06平行四边形的性质与判定多结论问题题型07平行四边形中的性质和判定综合问题题型08平行四边形中的作图题型09与三角形中位线有关的求解问题题型10平行四边形与中位线综合问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律平行四边形的性质掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，能熟练运用性质进行证明和计算基础必考点，常以选择、填空或简单证明题出现平行四边形的判定理解并掌握从边、角、对角线三个角度的五种判定方法，能根据已知条件选择合适的判定定理高频易错点，容易混淆判定条件，常出现在中档证明题中三角形的中位线理解三角形中位线的定义，掌握“平行于第三边且等于第三边一半”的性质，能解决中点相关的几何问题常与平行四边形结合考查，多见于综合题或辅助线构造题，是期末压轴题的重要工具知识点01平行四边形的定义定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“□ABCD”。几何语言：-∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。易错点：1.只记“对边相等”而忽略“平行”是定义的核心。2.误以为有一组对边平行就是平行四边形（梯形也有一组对边平行）。知识点02平行四边形的性质性质1：边文字：平行四边形的对边平行且相等。几何语言：-∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，且AB=CD，AD=BC。性质2：角文字：平行四边形的对角相等，邻角互补。几何语言：-∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°。性质3：对角线文字：平行四边形的对角线互相平分。几何语言：-∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。性质4：对称性文字：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。示例：在□ABCD中，∠A=50°，求∠B、∠C、∠D的度数。-解：∵∠A+∠B=180°，∴∠B=130°；∠C=∠A=50°，∠D=∠B=130°。易错点：1.邻角互补记成相等：邻角不是相等，是互补（和为180°）。2.对角线互相平分错记成相等：只有矩形对角线相等，一般平行四边形对角线不相等。3.忽略对边平行这个条件：解题时常忘记用平行线性质（如内错角相等）。4.符号书写不规范：如“□ABCD”顶点要按顺序写（顺时针或逆时针）。知识点03平行四边形的判定判定1：定义法文字：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。判定2：边文字：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。几何语言：AB=CD且AD=BC→□ABCD判定3：边+角（一组对边平行且相等）文字：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。几何语言：AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC）→□ABCD判定4：角文字：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。几何语言：∠A=∠C且∠B=∠D→□ABCD判定5：对角线文字：对角线互相平分的四边形是平行四边形。几何语言：OA=OC且OB=OD→□ABCD示例：在四边形ABCD中，AB=CD=5，AD=BC=8，求证：四边形ABCD是平行四边形。-证明：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等）。易错点：1.判定条件不全：如只用“一组对边相等”就下结论（还需要平行或另一组相等）。2.混淆判定与性质：性质是已知平行四边形推结论；判定是已知条件证平行四边形。3.对角线判定：只说“对角线相等”不能判定平行四边形（等腰梯形对角线也相等）。4.“一组对边平行且相等”误写成“一组对边平行，另一组对边相等”（后者可能是等腰梯形）。知识点04平行四边形性质与判定的综合应用常用思路：-证边相等→找全等三角形或用平行四边形性质。-证平行→用同位角/内错角相等，或用平行四边形判定反过来推。-证对角线互相平分→可得平行四边形。示例：如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。-证法：∵□ABCD，∴OA=OC，OB=OD。又AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF。∴OB=OD且OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分）。易错点：1.辅助线错误：构造全等时对应点写错。2.逻辑顺序颠倒：先用判定，再用性质，不要循环论证。知识点05三角形的中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。-一个三角形有3条中位线。定理文字：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。几何语言：-∵D是AB中点，E是AC中点，∴DE∥BC，且DE=12BC示例：在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，BC=8，AC=10，求△DEF的周长。-解：由中位线定理，DE=12AC=5，EF=12AB=3，DF=12BC=4，∴△DEF题型一利用平行四边形的性质求解解｜题｜技｜巧平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；根据这些性质转移边角条件，构造全等三角形或利用勾股定理，设未知数列方程求解边长或角度。【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______．【典例2】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则______．【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________．【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____．题型二利用平行四边形的性质求面积问题解｜题｜技｜巧面积等于底乘高，常用割补法转化为规则图形；利用对角线分面积为四等份，或通过全等、中位线转移面积，注意等高三角形面积比等于底边比，设未知数列方程求解。【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____．【典例2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为___________．【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________．【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，中，点，分别是，上一点，连接，，连接交于点，连接分别交，于点，，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为________．题型三利用平行四边形的性质求动点问题解｜题｜技｜巧利用平行四边形对边平行且相等转移线段长，建立坐标或几何关系；将动点运动转化为代数表达式，利用时间或速度参数，结合勾股定理或全等，列方程求关键点位置。【典例1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________．【典例2】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形．【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，，．点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当__________时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________．题型四平行四边形中的折叠问题解｜题｜技｜巧折叠前后对应边相等、角相等，折痕垂直平分对应点连线；利用平行四边形对边平行转化角，设未知数表示边长，勾股定理或全等列方程，注意重合点位置与折痕性质。【典例1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，将折叠后，点与点重合，点的对应点为，折痕为．若，，，则点到的距离为____________．【典例2】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，点E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上，且．若，则的长度为____．【变式1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是______．【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将折叠，使点A恰好落在边的点F上，若的周长为12，的长为3，则的周长为_______．题型五判断能否构成平行四边形解｜题｜技｜巧根据判定定理：对边平行、对边相等或对角线互相平分；已知四点坐标可用中点坐标公式验证对角线中点重合，或计算边长与斜率，注意三点共线或四点顺序，排除自交情况。【典例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，【典例2】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种题型六平行四边形的性质与判定多结论问题解｜题｜技｜巧逐项分析，判定需从边、角、对角线条件出发，性质则直接应用；每个结论单独验证，避免混淆判定与性质，可用反例排除错误选项，注意对角线不一定平分对角，需具体判断。【典例1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【典例2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式2】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长．其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1题型七平行四边形中的性质和判定综合问题解｜题｜技｜巧先由边角条件判定形状，再运用性质推新结论；常连接对角线作桥梁，构造全等三角形，利用对边相等与对角相等转化条件，设未知数列方程，注意多种可能分类讨论。【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，．求的长．【典例2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且，

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长．【变式1】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在中，于点E，于点F，连接，．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，求的长．【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，，，，求的长．题型八平行四边形中的作图解｜题｜技｜巧根据边角条件，利用作平行线、截取相等线段或对角线中点；已知三顶点找第四点，可作已知边平行线或利用对角线互相平分，保留作图痕迹，注意两种可能情况。【典例1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接．(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法）(2)在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由．【典例2】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．(1)如图（1），过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分；(2)如图（2），若，过点作的中线．【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形是平行四边形，点在边上，且．(1)尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形；【变式2】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，是边上一点，连接．(1)用尺规完成以下基本作图：作，交于点，连接，交于点，连接，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形．题型九与三角形中位线有关的求解问题解｜题｜技｜巧中位线平行于第三边且等于其一半；由此得平行关系与线段倍分，构造中点三角形，转移边长与角度，常结合平行四边形性质，设未知数利用中位线条件列方程求解。【典例1】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，点F分别是，中点，若，则的长为___________．【典例2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____．【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______．【变式2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则_______．题型十平行四边形与中位线综合问题解｜题｜技｜巧先利用平行四边形对角线互相平分得中点，再应用中位线定理得平行与倍分关系；构造三角形中位线，将边角条件集中，通过等量代换与全等三角形建立联系，列方程求解。【典例1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，点E是的中点，，交于点F，，．(1)求证：四边形为平行四边形．(2)若，，，求的长．【典例2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，交于点，若，求的长．【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明．（2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点．①求证：四边形为平行四边形；②若，求的长．【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F．【初步尝试】（1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由；【深入探究】（2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G，①猜想与的数量关系，并说明理由；②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，将平行四边形的边延长，若，则（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（

）A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米3．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（

）A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关4．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________．5．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____．6．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为____________．7．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，．(1)证明：；(2)证明：四边形为平行四边形．8．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)如果，，，求的长．期