复习讲义06 变量之间的关系（原卷版）

专题06变量之间的关系（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01常量与变量（自变量、因变量）题型02用表格表示的变量间关系题型03用关系式表示变量之间的关系题型04用图象表示变量之间的关系题型05从图象中获取信息过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律常量与变量的概念能准确辨识具体情境中的变量与常量，理解变量是可以变化的量，常量是数值始终保持不变的量基础必考点，常以选择题、填空题形式考查，易混淆点是判断一个量是否为常量需结合具体变化过程来分析自变量与因变量的区分能确定变化过程中的自变量与因变量，理解自变量是主动发生变化的量，因变量是随之发生变化的量高频易错点，容易混淆主动变量和被动变量的关系，常结合实际问题情境考查用表格表示变量间的关系能从表格中获得变量之间关系的信息，能根据表格数据描述变化趋势并进行初步预测基础考查形式，多出现在数据分析和规律探求小题中，需注意列表中自变量应按从小到大的顺序排列用关系式表示变量间的关系能根据具体情境列出关系式，并能利用关系式根据自变量的值求因变量的值，或根据因变量的值反求自变量期末必考点，常与代数式求值、解方程等题型结合，注意关系式必须将因变量单独写在等号左边用图象表示变量间的关系能读懂各种类型的变化图象（路程—时间、速度—时间、温度—时间等），能准确描述图象中的上升、下降、拐点等变化的实际意义压轴和难点题目，选择和填空均有出现，常与生活实际情境结合（如行程问题、注水问题等），易错点是忽略横轴和纵轴的不同含义，以及忽视图象中的关键点和拐点知识点01变量与常量1.基本概念定义：-变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量。-常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量。示例：在汽车以60km/h的速度匀速行驶的过程中，路程s随时间t的变化而变化。指出其中的变量与常量。解：变量是路程s和时间t；常量是速度60km/h。2.自变量与因变量定义：-自变量：在变化过程中主动变化的量（通常是自己变化的）。-因变量：在变化过程中随自变量变化而变化的量（通常是由自变量决定的）。判断方法：-谁先变、谁主动、谁是原因→自变量-谁后变、谁被动、谁是结果→因变量示例：在“气温随着海拔的升高而降低”中，自变量和因变量分别是什么？解：自变量是海拔，因变量是气温（海拔变化导致气温变化）。易错点：1.变量与常量混淆：常量的数值不变，变量的数值在变。如公式\(s=60t\)中，60是常量，s和t是变量。2.自变量与因变量颠倒：误将因变量当作自变量。可以问自己：哪个量的变化导致了另一个量的变化？3.多个变量时区分不清：需要根据变化过程中的因果关系来判断。知识点02变量之间关系的表示方法方法一：表格法定义：通过列表格来表示变量之间的关系。通常第一行是自变量，第二行是因变量。优点：具体、直观，可以直接看出对应值。缺点：数据有限，不能反映整体变化趋势。示例：某日的气温变化情况如下表：时间t（时）024681012气温T（℃）8657111518问题：一天中什么时刻气温最高？什么时刻气温最低？解：由表格可知，12时气温最高（18℃），4时气温最低（5℃）。易错点：1.看错自变量和因变量：表格中哪一列是自变量要明确（通常第一列或第一行）。2.找对应值错误：横竖对应位置要准确，不能串行。3.对表格数据描述不准确：如说“12时气温是18”漏单位“℃”。方法二：关系式法定义：用含自变量的代数式表示因变量的方法。如\(y=2x+1\)。优点：精确，可以求出任意自变量的对应因变量值。缺点：不直观，不能直接看出变化趋势。示例：某汽车油箱中原有汽油100L，汽车每行驶10km耗油1L。（1）写出油箱剩余油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的关系式。（2）求行驶150km时的剩余油量。解：每千米耗油0.1L，∴Q=100-0.1s（2）当s=150时，Q=100-0.1×150=85（L）易错点：1.关系式化简错误：运算过程要仔细，避免符号或系数错误。2.自变量范围忽略：实际问题中自变量有取值范围（如路程不能为负，时间不能超过某值），解题时要考虑。3.单位不统一：如题中给出“每10km耗油1L”，要转化为“每km耗油0.1L”，不能直接用10。4.字母含义混淆：设未知数时要用不同字母表示不同的量，避免混淆。方法三：图像法定义：在平面直角坐标系中用图像表示变量之间的关系。通常横轴表示自变量，纵轴表示因变量。画图步骤：1.列表：取几组自变量的值，求出对应的因变量值。2.描点：在坐标系中描出这些点。3.连线：用平滑的线连接各点（实际问题的图像可能是折线或曲线）。读图要点：-看横坐标：确定自变量的值-看纵坐标：确定因变量的值-看走向：上升表示因变量随自变量增大而增大；下降表示因变量随自变量增大而减小-看陡缓：越陡变化越快，越平缓变化越慢示例：2024年12月2日是第13个12·2“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”，学校里也纷纷开展了校园安全宣讲活动，提醒同学们在上下学途中特别要注意骑车安全，不满16周岁不得骑行电动车，小明每天骑自行车上学，一天，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：(1)图中自变量是________；(2)小明家到学校的路程是________米．小明在书店停留了________分钟；(3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请通过计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？解：（1）根据图象可得，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离家的时间，故答案为：离家的时间；（2）轴表示路程，起点是家，终点是学校，小明家到学校的路程是米，由图象可知：小明在书店停留了（分钟），故答案为：；4；（3）由图象可知：分钟时，平均速度米/分，分钟时，平均速度米/分，分钟时，平均速度米/分，∴在整个上学的途中分钟时速度最快，在安全限度内．易错点：1.横纵坐标看反：横轴是自变量（如时间），纵轴是因变量（如路程），不能颠倒。2.忽视坐标轴单位：每个小格代表多少要看清，不能凭感觉读值。3.误以为图像是实际路线：路程—时间图像反映的是路程随时间的变化，不是实际奔跑的路线。4.“上升”“下降”判断错误：图像向上走（y增大）表示因变量增大，向下走（y减小）表示因变量减小。5.连线时用折线代替光滑曲线：实际问题应根据数据趋势连线，不一定都用直线段连接。知识点03三种表示方法的比较与选择方法优点缺点适用情况表格法具体、直观，便于查值数据有限，不能看整体趋势数据量小，需要精确值时关系式法精确，可求任意值不直观，不能直接看变化趋势需要精确计算时图像法直观看出变化趋势和整体情况读数可能不精确分析变化规律和趋势时示例：要研究某商品的价格随季节的变化规律，应该选用哪种表示方法？解：应选用图像法，因为图像可以直观地看出价格随时间上升、下降或波动的整体趋势。知识点04从图像中分析变量之间的变化趋势1.常见变化类型图像特征含义示例上升（从左到右）因变量随自变量增大而增大速度不变时的路程—时间图下降（从左到右）因变量随自变量增大而减小匀速耗油时的油量—时间图水平（不变）因变量不随自变量变化静止不动时的路程—时间图越来越陡变化速度越来越快加速运动的路程—时间图越来越平缓变化速度越来越慢减速运动的路程—时间图示例：下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（

）篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系A． B． C． D．解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系；第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系；第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系；第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系；故选：．易错点：1.混淆“匀速”与“加速”的图像：匀速是直线（斜率不变），加速是曲线（斜率增大）。2.速度大小的比较：在同一路程—时间图中，越陡的速度越大，不是越高。3.路程—时间图与速度—时间图混淆：七年级不要求速度—时间图，但容易和路程图弄混。知识点05用图像表示速度的变化（拓展）虽然七年级主要学路程—时间图，但也涉及速度的变化描述。速度—时间图像要点：-水平线→匀速运动-上升线→加速运动-下降线→减速运动-与横轴重合（v=0）→静止易错点：1.速度—时间图中，图像的高低表示速度大小，不是路程长短。2.路程—时间图中，图像的高低表示路程多少，不是速度快慢。知识点06变量关系的实际应用解题步骤：1.确定自变量和因变量2.根据题意建立关系（列关系式或画图像）3.利用关系式或图像解决问题4.检验结果是否符合实际意义示例：某出租车收费标准：起步价10元（3km内），超过3km后每千米加收2元（不足1km按1km计费）。（1）写出车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系式。（2）行驶5km需付多少元？解：（1）当0<x≤3时，y=10；当x>3时，y=10+2(x-3)=2x+4（2）x=5>3，∴y=2×5+4=14（元）易错点：1.分段函数的取值范围分界点处理不当：分界点属于哪一段要明确（如x=3时，y=10）。2.实际意义忽略：如行驶路程不能为负数，人数为整数等。3.“不足1km按1km计费”的处理：要用取整函数（或分段讨论），但七年级通常直接按整数处理或题目会说明。题型一常量与变量（自变量、因变量）解｜题｜技｜巧常量数值固定，变量可变化；自变量主动改变，因变量随之变化。判断时看关系式中量是否可任意取值，注意实际问题中变量的实际意义与取值范围，常通过表格或图象分析。【典例1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（

）A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量【典例2】（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（

）金额元数量单价元A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量【变式1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（

）A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量【变式2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是___________，因变量是________题型二用表格表示的变量间关系解｜题｜技｜巧观察表格中两列数据变化趋势，找对应关系；看自变量增加时因变量增加、减少或波动，可求差值或比值找规律，注意异常数据，推断关系式时选两组数据定系数。【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表：时间010203040油温1030507090则下列说法不正确的是（

）A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表：降价金额（x/元）1030405060日销量（y/盒）6090105120135(1)上表中，自变量是________，因变量是________；(2)可以估计降价前的日销量是________盒；(3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量．【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）中牟西瓜是河南中牟的水果类特产，享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”的美誉．研究发现，某品种西瓜的甜度与每日的光照时长有如下关系：每日光照（h）456789101112西瓜甜度（）则以下说法错误的是（

）A．在这一变化过程中，每日光照时长是自变量，西瓜的甜度是因变量B．随着光照时长的增加，西瓜的甜度越来越高C．为了保证西瓜更甜，最适合的光照时长约为小时D．估计当光照时长大于时，西瓜甜度小于【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下：运动时间0135891012151号车与货仓A的距离（单位：）0103080801002号车与货仓A的距离（单位：）101850748290130请根据以上信息和数据，解决下列问题：(1)表中___________，2号车的速度为___________；(2)求2号车与A货仓的距离为时的值．题型三用关系式表示变量之间的关系解｜题｜技｜巧根据题意找等量关系，设字母表示变量，列出等式；注意单位统一，明确自变量取值范围，关系式可变形求其他变量，代入已知值验算，实际问题需考虑非负等限制。【典例1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）加密技术是保障数据安全的一种方式，常常被用于军事通信，移位加密技术是其中一种简单且有效的方法，移位是一种通过将文本中的字或者字母移动一定数量的位置来加密信息的技术．现有如下的移位法则：把A~Z每个字母按顺序前移3位，A，B，C三个字母依次对应X，Y，Z，以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成“XOJV”传递．(1)按照上述的移位法则，“STOP”加密后的信息是“”，如果收到的加密后的信息是“ANY”，那么该信息在加密前是“”；(2)如果将字母A~Z依次赋值1~26，设加密前的数值为自变量，加密后对应的函数值为，那么，当，且为整数时，与的关系式是；当，且为整数时，与的关系式是．【典例2】（25-26七年级上·广东广州·期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表：每天装订的本数需要的天数请回答以下问题：(1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）；(2)这批练习本一共有多少本？(3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系．【变式1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．(1)在这个变化过程中，因变量是_________．(2)若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）．(3)当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高．(1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？(2)当每增加时，如何变化？(3)当时，等于什么？此时表示的是什么？(4)当的值为多少时，梯形的面积为？题型四用图象表示变量之间的关系解｜题｜技｜巧横轴自变量，纵轴因变量；看图找趋势：上升、下降或平缓，注意拐点表示变化，交点表示相等，根据图象求值或范围，实际问题中注意轴起点与单位，避免误读。【典例1】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：(1)楼顶距离地面的高度是_______m；(2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______；(3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某无人机爱好者操纵无人机进行航拍，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：(1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度为多少米/分钟？(2)无人机最高上升到多少米？在最高处停留了多少分钟？(3)请用简短的语句描述0～7分钟无人机的升降情况．【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图．(1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？(2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况．【变式2】（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答：(1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________；(2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度：(3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由．题型五从图象中获取信息解｜题｜技｜巧先看横纵轴含义与单位，找关键点（起点、终点、交点、拐点），分段分析变化趋势；计算斜率得速度或增长率，注意图象不在原点时不代表从零开始，结合实际意义解读。【典例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为_____．【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（

）

A． B．长方形的周长为C．当秒时， D．当时，秒【变式2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是（

）A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量2．（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系：x012345y101112下列说法不正确的是（

）A．y是x的函数，且x是自变量B．弹簧不挂重物时的长度为C．物体质量每增加，弹簧长度y增加D．所挂物体质量为时，弹簧长度为3．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（）①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽；②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间；③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________．5．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______．6．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）．物体质量0123…a（a不超过20）弹簧长度6…_____7．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表：气温01234声速331331.6332.2332.8333.4(1)此表反映的是________随________变化的情况；(2)请直接写出与之间的关系式：________；(3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温．8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：(1)图象所表示的两个变量中，自变量是；因变量是(2)小亮家到学校的距离是米；本次上学途中，小亮一共骑行了米；(3)点A的实际意义是什么？(4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：）之间的关系，若下落高度，则弹跳高度的值是（

）50100150255075A．100 B．95 C．90 D．1052．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系：时间123456水的高度1.534.567.59下列说法中，不正确的是（

）A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系B．当容器中水的高度为时，对应的时间为C．当经过的时间为时，容器中水的高度是D．时间每增加，容器中水的高度增加3．（22-23八年级下·广东广州·期中）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（）A． B． C． D．4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是______．（填“自变量”“因变量”或“常量”）5．（24-25七年级下·河南开封·期末）甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次________米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快_____；（3）乙在这次赛跑中的速度为_____米/秒．6．（24-25六年级下·山东烟台·期末）下列三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x；③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的