复习讲义04 因式分解（原卷版）

专题04因式分解（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01判断是否是因式分解题型02已知因式分解的结果求参数题型03公因式题型04判断能否用公式法分解因式题型05综合提公因式和公式法分解因式题型06利用因式分解求值题型07十字相乘法因式分解题型08分组分解法因式分解题型09因式分解的应用过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律因式分解的定义理解因式分解的概念，能辨别变形是否为因式分解基础概念题，常以选择、判断形式出现提公因式法能准确找出多项式各项的公因式，并熟练完成提取高频必考点，易错点为公因式提取不彻底或符号处理错误公式法——平方差公式掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用分解因式常与提公因式结合考查，注意分解要彻底公式法——完全平方公式识别完全平方式，能正确应用公式分解因式中档题常见，易与平方差公式混淆，需关注首项系数为负的情况十字相乘法（二次项系数为1）理解十字相乘法的原理，能对形如x²+px+q的式子分解部分地区选学，高频出现在综合题中，需注意常数项符号因式分解的综合应用能综合运用多种方法（先提后套、换元等）进行因式分解压轴小题或解答题常考，核心要求是“分解到不能再分解为止”知识点01因式分解的定义定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（或分解因式）。示例：m(a+b+c)=ma+mb+mc是整式乘法，不是因式分解。ma+mb+mc=m(a+b+c)是因式分解。易错点：1.混淆因式分解与整式乘法（两者是互逆过程）。2.分解结果必须为乘积形式，如x2-4=(x+2)(x-2)正确，写成(x+2)(x-2)也算积，但不能写成x(x-2)+2(x-2)（仍是和的形式）。3.分解要彻底（最终每个因式不能再分解）。知识点02提公因式法定义：多项式各项都含有的公共因式，提取出来写成乘积形式。步骤：1.确定公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂）。2.多项式除以公因式，得到另一个因式。示例：-8a3b2+12a2b3=-4a2b2(2a-3b)：-2x2+4x=-2x(x-2)（提负号时注意括号内变号）易错点：1.公因式漏项：如3x2y+6xy2=3xy(x+2y)正确，若写成3xy(x)漏了+2y错误。2.提公因式后括号内项数与原多项式项数相同（不要丢掉“1”项）。例：4x2-2x=2x(2x-1)，括号内是两项，不要写成2x(2x)。3.首项为负时，一般提出负号（使括号内首项为正）。4.公因式可能是多项式，如(a-b)+c(a-b)=(a-b)(1+c)。知识点03公式法（平方差公式）公式：a2-b2=(a+b)(a-b)特征：两项、都是平方、符号相反。示例：9x2-25=(3x)2-52=(3x+5)(3x-5)；x4-16=(x2+4)(x2-4)=(x2+4)(x+2)(x-2)（注意分解彻底）易错点：1.误用于和的形式（a2+b2不能分解）。2.系数未写成平方形式：如2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2)，不能直接套公式。3.分解不彻底：如x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)还要再分解为(x2+y2)(x+y)(x-y)\)。知识点04公式法（完全平方公式）公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2特征：三项、首尾是平方、中间项是首尾积的2倍（可正可负）。示例：x2+6x+9=(x+3)2；4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2-x2+4x-4=-(x2-4x+4)=-(x-2)2易错点：1.中间项符号判断错误x2-4x+4=(x-2)2，不是(x+2)2。2.忽略首尾项必须是平方且为正，如x2+4x+16不能直接用公式（4x≠2·x·4）。3.系数要配成平方：9x2+12x+4=(3x+2)2（检查12x=2·3x·2）。4.忘记先提公因式：2x2+8x+8=2(x2+4x+4)=2(x+2)2。知识点05十字相乘法（补充知识点，教材有时选学）适用：二次三项式x2+(p+q)x+pq方法：常数项分解成两个数，和等于一次项系数。示例：x2+5x+6=(x+2)(x+3)；x2-7x+12=(x-3)(x-4)；x2+x-6=(x+3)(x-2)易错点：1.符号错误：x2-5x+6=(x-2)(x-3)，不是(x+2)(x-3)。2.忽略系数不为1的情况：2x2+5x+2=(2x+1)(x+2)需要拆首项系数。3.忘记验证交叉相乘再相加是否等于一次项系数。知识点06因式分解的一般步骤（提、公、式、十）顺序：1.提：先看有无公因式，先提出来。2.公：提公因式后，看项数。-两项→平方差公式（或立方和差，但教材以平方差为主）-三项→完全平方公式或十字相乘法3.式：检查每个因式是否还能分解。4.十：十字相乘作为补充工具。示例：2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2)（先提公因式，再平方差）3a3-6a2+3a=3a(a2-2a+1)=3a(a-1)2（先提，再用完全平方）易错点：1.不按步骤：看到三项直接用公式，忽略有公因式。2.分解不彻底，例如a4-b4分解成(a2+b2)(a2-b2)就停下（少了一步）。3.结果写成连乘不用括号括起来（如2·x·(x+2)·(x-2)不规范，应写作2x(x+2)(x-2)）。题型一判断是否是因式分解解｜题｜技｜巧因式分解结果必须是整式乘积，无加减运算，每个因式不能再分解；检查恒等变形，可用整式乘法验证，注意提取公因式要彻底，避免漏项或符号错误，常见形式如平方差、完全平方。【典例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（）A． B．C． D．【典例2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（

）A． B．C． D．【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）．A． B．C． D．题型二已知因式分解的结果求参数解｜题｜技｜巧将结果展开后与原多项式对应项系数相等列方程求解；注意分解彻底性，可代特殊值（如x=0）快速求部分参数，再用比较系数法验证，确保所有参数满足恒等关系。【典例1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________．【典例2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________．【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____．【变式2】（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____．题型三公因式解｜题｜技｜巧公因式取系数最大公约数、相同字母最低次幂；多项式先化最简再提取，注意首项负号可提出，括号内项数不变，提取后可用整式乘法检验，避免漏项或符号错误。【典例1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______．【典例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________．【变式1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是______【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为______________．题型四判断能否用公式法分解因式解｜题｜技｜巧先看项数：两项看平方差，三项看完全平方；检查是否标准形式，系数是否为平方数，符号是否符合，注意提取公因式后看能否再用公式，避免忽略负号或系数非平方情况。【典例1】（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（

）A． B．C． D．【典例2】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A． B． C． D．【变式1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（

）A． B．C． D．题型五综合提公因式和公式法分解因式解｜题｜技｜巧先提公因式，再检查括号内是否可用平方差或完全平方；注意公因式提尽，公式要完全套对，分解到每个因式不能再分为止，结果写成乘积形式，可用整式乘法验证。【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）因式分解：(1)；(2)．【典例2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）将下列各式分解因式．(1)；(2)．【变式1】（25-26八年级上·山东·期末）因式分解：(1)(2)(3)【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．题型六利用因式分解求值解｜题｜技｜巧先整体分解因式，再代入已知条件求值；常将代数式化为积的形式，利用整体代入降低运算量，注意条件变形如移项、平方等，巧用配对法或拆项重组，结果化简后计算。【典例1】（24-25八年级上·全国·期末）若，且，则值是________．【典例2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，，则的值为___________．【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，，则的值是_____．【变式2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________．题型七十字相乘法因式分解解｜题｜技｜巧将二次项与常数项拆成两数乘积，交叉相乘和等于一次项；注意符号，正负常数项分解要试，先排系数竖写，检验交叉和，熟练后心算，分解后写为两因式乘积。【典例1】（25-26八年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习：因为，所以；因为，所以；因为=，所以=；因为，所以；因为_________，所以__________=．请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶(1)；

(2)；

(3)【典例2】（24-25八年级上·甘肃临夏·月考）阅读下列材料：将分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：，．②交叉相乘，验中项：．③横向写出两因式：．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．试用上述方法分解因式：(1)；(2)；(3)．【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料：将分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：，．②交叉相乘，验中项：．③横向写出两因式：．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．试用上述方法分解因式：(1)；(2)；【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．材料：分解因式：解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．【迁移运用】(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：；(2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：；．题型八分组分解法因式分解解｜题｜技｜巧将项分组，使每组有公因式或可用公式，再提取组间公因式；分组要有目的，常按系数比例或相同结构分，四项常用二二分组，三项加一项可考虑拆项，分解后验证。【典例1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【阅读理解】对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式：例如：分解因式．解：原式．像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：．【典例2】（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：．方法一：原式；方法二：原式．对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式．请尝试利用材料中的方法分解因式：(1)；(2)．【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解解：原式

第一步

第二步．

第三步①提公因式法；②公式法；③十字相乘法．(1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）；(2)请你按照上述方法分解因式：．【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：(1)分解因式：；(2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值．题型九因式分解的应用解｜题｜技｜巧用于简化计算、解方程、判断整除或变形代数式；先整体分解，再根据条件代入或分析符号，解高次方程常化积为0，注意结果检验是否合理，避免增根或丢失解。【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长．(1)若，求c的取值范围；(2)若，试判断的形状并说明理由．【典例2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程：，利用上述分解因式的方法，解决以下问题：(1)分解因式：；(2)已知，求的值；(3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形．【变式1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）阅读材料，解决问题：【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式．【材料2】因式分解：．解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式．上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：；(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：；(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例1：因式分解：．解：原式．例2：若，利用配方法求的最小值．解：．，，当时，有最小值1．请根据上述阅读材料，解决下列问题：(1)用配方法因式分解：________；(2)已知，求的值．(3)已知，，试比较，的大小．(4)若为有理数且满足，求的最小值．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（

）A．B．C．D．2．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（

）A．140 B．70 C．35 D．244．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______．5．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知，，则M与N的大小关系是__．6．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________．7．（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解：(1)(2)8．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”．(1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有；（填序号）(2)求证：当正整数时，是“可乐数”；(3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如果，，那么的值为（

）A．1 B．3 C．4 D．82．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：密文…8…明文…恩爱施美我丽…把密文用因式分解解码后，明文可能是（

）A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽3．（25-26八年级上·四川泸州·期末）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（

）A．17是和谐数B．（，是整数）不一定是和谐数C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数”D．当时，（，是整数）是“和谐数”4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）因式分解：________．5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，图中