【学霸提优】人教版数学六上知识清单·重难点突破

【学霸提优】人教版数学六上知识清单·重难点突破一、第一单元：分数乘法（一）知识梳理与核心概念1、分数乘法的意义：【基础】（1）分数乘整数：与整数乘法的意义相同，表示求几个相同加数和的简便运算。例如：2/7×3表示3个2/7相加的和是多少。（2）一个数乘分数：表示求这个数的几分之几是多少。这是本单元的核心，也是后续学习分数除法、百分数的基础。例如：12×2/3表示求12的2/3是多少；5/8×1/2表示求5/8的1/2是多少。2、计算法则：【核心·高频考点】（1）分数乘整数：用分子乘整数的积作分子，分母不变。能约分的要先约分，再计算，结果化成最简分数。公式：a/b×c=(a×c)/b（2）分数乘分数：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的要先约分，再计算。公式：a/b×c/d=(a×c)/(b×d)（3）小数乘分数：可以把小数化成分数再乘，也可以把分数化成小数再乘（当分数能化成有限小数时），还可以直接约分后计算。推荐先将小数化成分数，或直接进行约分，更为简便通用。（二）运算定律与简便计算【重要·技巧】1、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法同样适用。（1）乘法交换律：a×b=b×a（2）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)（3）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；a×c+b×c=(a+b)×c（逆用）2、典型题型：（1）利用分配律进行简便计算，如：(5/9+5/12)×36=5/9×36+5/12×36=20+15=35。（2）稍复杂的题型，如：2017×2015/2016，可变形为(2016+1)×2015/2016或2017×(11/2016)，再运用分配律计算。（三）核心问题解决：求一个数的几分之几是多少【高频考点·难点】1、基本数量关系：单位“1”的量×分率=分率的对应量。2、关键步骤：【解题要点】（1）找准单位“1”：通常在“的”字前面、“比”字后面。例如“男生人数是女生的3/5”，单位“1”是女生人数；“实际产量比计划增产1/4”，单位“1”是计划产量。（2）确定乘除关系：求单位“1”的几分之几是多少，用乘法。（3）列式解答。3、连续求一个数的几分之几是多少：【难点】例如：超市运来120kg苹果，运来的梨是苹果的3/4，运来的香蕉是梨的2/3，运来香蕉多少kg？解答：先求梨的质量120×3/4=90（kg），再求香蕉的质量90×2/3=60（kg）。综合算式：120×(3/4×2/3)=120×1/2=60（kg）。4、稍复杂的求一个数的几分之几是多少：【难点·拉分题】已知一个数，求比它多（或少）几分之几的数是多少。解题模型：单位“1”的量±单位“1”的量×分率=所求量；或单位“1”的量×(1±分率)=所求量。例如：书店原有故事书800本，第一天卖出总数的1/4，第二天卖出余下的1/3，两天一共卖出多少本？易错点为第二天是以“余下的”为单位“1”。（四）易错点警示1、约分时混淆分子分母：约分必须在乘法运算中进行，且只能分子与分母约分，不能分子与分子、分母与分母约分。2、数量关系混淆不清：尤其是对于“比……多/少几分之几”的理解，这里的几分之几是相对于单位“1”的量的。例如“甲比乙多1/4”，不能误解为甲是乙的1/4，而应是甲是乙的(1+1/4)=5/4。3、计算顺序错误：分数混合运算顺序与整数相同，先乘除，后加减，有括号先算括号里面的。二、第二单元：位置与方向（二）（一）知识梳理与核心概念1、确定物体位置的条件：【基础·高频考点】在平面图上，确定一个物体的准确位置，需要两个条件：方向和距离。（1）方向：通常用“北偏东”、“北偏西”、“南偏东”、“南偏西”来描述。例如，“北偏东30°”是指以正北方向为起始边，向东旋转30°。（2）距离：物体与观测点之间的图上距离和实际距离的对应关系，需结合比例尺计算。2、描述路线图：【重要·应用】按照行走路线，依次描述每一段行走的方向和距离。描述时，观测点是在不断变化的。例如：从A点出发，先向东偏北30°方向走200米到达B点，再改变观测点，从B点出发，向南偏西15°方向走150米到达C点。（二）核心方法与步骤【解题要点】1、绘制物体位置“三步骤”：（1）定点：确定观测点（即参照点），画好方向标（十字坐标，上北下南左西右东）。（2）定向：用量角器找准方向，画出射线（标明角度）。（3）定距：根据比例尺，计算出图上距离，并在射线上量取相应长度，标出物体位置（注明名称和实际距离）。2、描述或绘制路线图的“两注意”：（1）观测点的切换：每到一个新地点，都要以该地点作为新的观测点重新建立方向标。（2）方向的转换：描述下一段方向时，要基于新的观测点。（三）易错点警示1、混淆方位描述：不清楚“北偏东”和“东偏北”的区别。通常约定俗成，先说主方向（北或南），后说偏转方向（东或西）。角度是指与主方向的夹角。2、忽视比例尺的应用：题目中给出的比例尺是图上距离与实际距离转换的关键，计算距离时务必代入比例尺。3、观测点错误：在填空题或判断题中，描述一个物体的位置，必须明确是“相对于哪个点来说的”。如“学校在小明家的东偏南30°方向上”，观测点是“小明家”。三、第三单元：分数除法（一）知识梳理与核心概念1、倒数的认识：【基础】（1）意义：乘积是1的两个数互为倒数。倒数表示的是两个数之间的关系，它们是相互依存的。（2）求倒数的方法：①求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置。②求整数的倒数：把整数看成分母是1的分数，再交换分子分母的位置。例如，5的倒数是1/5。③求小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。④求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再求倒数。（3）特殊数的倒数：1的倒数是1；0没有倒数。2、分数除法的意义：【核心】已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。与整数除法的意义相同。3、计算法则：【核心·高频考点】除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。公式：a÷b=a×1/b(b≠0)；a/b÷c/d=a/b×d/c(c,d≠0)。统一的运算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。（二）混合运算与简便计算【重要】1、分数四则混合运算的顺序：与整数四则混合运算的顺序相同。先乘除，后加减，有括号先算括号里面的。2、简便计算：同样可以运用运算定律进行简算。但在除法中，没有除法分配律，需要先将除法转化为乘法，再运用乘法运算定律。例如：(5/6+3/4)÷1/12应转化为(5/6+3/4)×12，再运用乘法分配律。（三）核心问题解决：已知一个数的几分之几是多少，求这个数【高频考点·难点】1、基本数量关系：单位“1”的量×分率=分率的对应量。已知分率的对应量和分率，求单位“1”的量。（1）方程法：设单位“1”的量为x，根据数量关系列方程解答。这是最通用、最能体现逆向思维转化为顺向思维的方法。（2）算术法：分率的对应量÷分率=单位“1”的量。即用除法计算。2、关键步骤：【解题要点】（1）找准单位“1”。（和乘法问题相同）（2）判断单位“1”是否已知。如果单位“1”已知，用乘法；如果单位“1”未知，要求单位“1”，通常用除法或方程。3、稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数：【难点·拉分题】已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。解题模型：（1）方程法：设单位“1”的量为x，根据关系式x±x×分率=已知量，或x×(1±分率)=已知量，列方程解答。（2）算术法：已知量÷(1±分率)=单位“1”的量。例如：某工厂四月份实际用水480吨，比原计划节约了1/9，原计划用水多少吨？解答：原计划用水是单位“1”，且未知。实际用水比计划节约1/9，则实际用水是计划的(11/9)=8/9。列式为480÷(11/9)=480÷8/9=540（吨）。4、和倍、差倍问题：【高频·综合应用】已知两个数的和（或差）以及这两个数之间的倍数关系（几分之几），求这两个数。解题方法：设单位“1”的量为x，用含有x的式子表示另一个量，再根据和（或差）列方程求解。（四）易错点警示1、计算时忘记变号：把除法转化为乘法时，不仅要变倒数，还要把“÷”变成“×”。容易出现符号忘记改变的错误。2、单位“1”判断错误：在应用题中，分率句的理解是核心，错误判断单位“1”会导致全盘皆错。3、方程法解设不规范：解设未知数时，要写清楚设哪个量为x，并且最后的结果不带单位名称。四、第四单元：比（一）知识梳理与核心概念1、比的意义：【基础】（1）定义：两个数的比表示两个数相除。（2）比的各部分名称：前项、比号、后项、比值。（3）求比值：比的前项除以后项所得的商。比值通常用分数、小数或整数表示。（4）比与除法、分数之间的关系：【核心·联系】比前项:（比号）后项比值除法被除数÷（除号）除数商分数分子—（分数线）分母分数值核心联系：a:b=a÷b=a/b(b≠0)。比的后项、除数和分母都不能为0。（二）比的基本性质与化简比【核心·高频考点】1、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这基于商不变的规律和分数的基本性质。2、化简比：把比化成最简单的整数比（前项和后项只有公因数1）。（1）整数比的化简：前项和后项同时除以它们的最大公因数。（2）分数比的化简：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。或者用求比值的方法，将比值写成最简分数形式，再还原成比。（3）小数比的化简：根据比的基本性质，将小数比转化成整数比，再化简。通常先移动小数点位置，将前后项同时扩大相同的倍数。（三）按比例分配【重要·高频考点】1、意义：把一个数量按照一定的比来进行分配。这类问题称为按比例分配问题。2、解题方法：【解题要点】（1）方法一（归一法）：先求出总份数，再求出一份是多少，最后求出各部分对应的数量。（2）方法二（分数乘法）：先求出总份数，再求出各部分数量占总量的几分之几，最后用总量乘这个几分之几，求出各部分数量。例如：用120cm的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3:2:1。这个长方体的长、宽、高分别是多少？注意：这里的120cm是棱长总和，需要先除以4，得到一组（长+宽+高）的和，再按比例分配。（四）易错点警示1、混淆比值与化简比：比值是一个数（结果），而化简比的结果仍然是一个比，可以有前项和后项。2、比的基本性质应用错误：在利用比的基本性质化简时，前项和后项必须同时乘或除以同一个不为0的数，不能只乘或除其中一项。3、按比例分配时单位不统一：题目中给出的数量单位不同时，要先统一单位，再按比例分配。4、找错分配总量：按比例分配必须先找准要分配的总量是多少，避免张冠李戴。五、第五单元：圆（一）知识梳理与核心概念1、圆的认识：【基础】（1）圆心：用字母O表示，是圆中心的一点。圆心决定圆的位置。（2）半径：用字母r表示，连接圆心和圆上任意一点的线段。半径决定圆的大小。在同一个圆内，半径有无数条，长度都相等。（3）直径：用字母d表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段。在同一个圆内，直径有无数条，长度都相等。（4）直径与半径的关系：d=2r或r=d/2。（前提：在同圆或等圆中）2、圆的周长：【核心·高频考点】（1）圆周率（π）：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用π表示。它是一个无限不循环小数，π≈3.……，计算时通常取近似值3.14。（2）周长公式：C=πd或C=2πr。（3）半圆的周长：等于圆周长的一半加上一条直径。公式：C半圆=πr+2r或(π+2)r。极易出错，常被误认为只是πr。3、圆的面积：【核心·高频考点·难点】（1）面积公式推导：采用化圆为方、变曲为直的转化思想。把一个圆等分成若干偶数份（如32等份），剪开后可以拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆周长的一半（πr），宽相当于圆的半径（r）。（2）面积公式：S=πr²。（3）圆环的面积：S=πR²πr²=π(R²r²)。其中R为大圆半径，r为小圆半径。（二）与圆相关的组合图形面积【难点·拉分题】1、外方内圆：在正方形内画一个最大的圆（圆的直径等于正方形的边长）。正方形面积:圆面积=4:π。2、外圆内方：在圆内画一个最大的正方形（正方形的对角线等于圆的直径）。圆面积:正方形面积=π:2。3、常见解题思路：利用割补法、整体减部分、平移旋转等方法，将不规则图形转化为规则图形求面积。（三）扇形1、定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。2、圆心角：顶点在圆心的角。在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形就越大。3、扇形周长=弧长+2×半径。弧长=n/360×C圆=n/360×2πr。4、扇形面积=n/360×S圆=n/360×πr²。（四）易错点警示1、圆周率概念不清：π不是一个具体的数，而是一个比值，它代表的是周长与直径的商，不能说成“圆的周长是直径的3.14倍”。2、半圆周长公式记忆错误：半圆周长由两部分组成，不要忘记加直径。3、面积计算时混淆r²与2r：r²表示r×r，而2r表示r×2，两者意义完全不同。4、单位名称混淆：周长是长度单位，用“cm、dm、m”；面积是面积单位，用“cm²、dm²、m²”。六、第六单元：百分数（一）（一）知识梳理与核心概念1、百分数的意义和读写法：【基础】（1）意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。（2）百分数的特征：它表示的是两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，因此百分数的后面不能带单位名称。（3）读写法：通常不写成分数形式，而用“%”表示。例如：百分之四十五写作45%；35%读作百分之三十五。2、百分数、分数、小数的互化：【核心·高频考点】（1）小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时添上百分号。（2）百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。（3）分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。（4）百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，再约成最简分数。（二）核心问题解决：百分数的应用【高频考点·难点】1、求百分率：求一个数是另一个数的百分之几。与求一个数是另一个数的几分之几方法相同，只是结果要写成百分数形式。公式：比较量÷单位“1”的量×100%=百分率。常见的百分率：（1）达标率=达标人数÷总人数×100%（2）发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%（3）出勤率=出勤人数÷应出勤人数×100%（4）合格率=合格产品数÷产品总数×100%（5）成活率=成活数量÷总数量×100%2、求一个数的百分之几是多少：用乘法计算。单位“1”的量×百分率=百分率的对应量。3、已知一个数的百分之几是多少，求这个数：用除法计算或列方程。对应量÷百分率=单位“1”的量。4、百分数应用题的三种基本类型（与分数乘法、除法应用题模型一致）：【重要·对比】（1）类型一：求一个数是另一个数的百分之几。如：5是8的百分之几？5÷8×100%=62.5%（2）类型二：求一个数的百分之几是多少。如：求80的15%是多少？80×15%=12（3）类型三：已知一个数的百分之几是多少，求这个数。如：一个数的75%是30，求这个数？30÷75%=405、求一个数比另一个数多（或少）百分之几：【难点·拉分题】解题模型：相差量÷单位“1”的量×100%。注意：关键是找准单位“1”，除以谁，谁就是单位“1”。例如：5比4多百分之几？(54)÷4×100%=25%。4比5少百分之几？(54)÷5×100%=20%。（三）易错点警示1、百分数后面带单位：如“一堆煤重80%吨”，这是错误写法，因为百分数表示的是比率，不能表示具体数量。2、互化过程中小数点移动方向错误：小数化百分数是小数点右移加百分号；百分数化小数是去掉百分号小数点左移。3、在解决“多/少百分之几”的问题时，找错单位“1”：导致结果错误。4、百分率不会大于100%的理解：像增长率、利润率可以超过100%，但出勤率、发芽率、成活率、合格率等最多是100%。七、第七单元：扇形统计图（一）知识梳理与核心概念1、扇形统计图的认识：【基础】（1）特点：用整个圆的面积表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比。（2）作用：可以清楚地反映各部分数量与总数之间的关系，即部分与整体的关系。2、选择合适的统计图：【重要·应用】（1）条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数量，便于比较。（2）折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势。（3）扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。（二）核心方法与数据分析【解题要点】1、利用扇形统计图解决问题：（1）根据统计图提供的百分数和其中一个部分的具体数量，求出总数。公式：部分量÷对应百分率=总量。（2）已知总数，求某一部分的具体数量。公式：总量×部分对应的百分率=部分量。（3）求一个部分比另一个部分多（或少）多少，或求一个部分占另一个部分的百分之几。2、数据解读与分析：不仅要会看图计算，还要能根据图中的信息，提出数学问题并解答，或者对数据所反映的现象做出合理的解释和推断。例如，根据扇形统计图分析班级同学的爱好分布，为开展活动提出建议。（三）易错点警示1、不理解扇形统计图的含义：误将扇形的大小当成绝对数量的比较，忘记它是表示百分比。2、计算总量或部分量时百分数对应错误：要仔细看准题目中给出的部分量对应的是哪个百分数。3、统计图的选择标准不清：题目要求反映某地区近五年的降水量变化情况，应选择折线统计图，而不是扇形统计图。八、第八单元：数学广角——数与形（一