《商不变的规律》核心素养导向教学设计（北师大版四年级上册）

《商不变的规律》核心素养导向教学设计（北师大版四年级上册）一、教材与学情分析（一）教材分析【基础】【重要】本节课是北师大版小学数学四年级上册第六单元《除法》中的关键课例，隶属于“数与代数”领域。这部分内容是在学生已经熟练掌握三位数除以两位数笔算技能，并对乘法运算律有了初步探索经验的基础上进行教学的。“商不变的规律”是一个函数思想启蒙的典型范例，它揭示了在除法运算中，被除数和除数如何变化而商保持不变的内在机制。这一规律不仅是进行除法简便运算（如被除数和除数末尾同时去掉0）的直接依据，更是后续学习分数基本性质（分数的分子分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变）、比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变）以及解比例、理解正反比例关系等知识的重要基石。从数学思想方法的角度看，本课承载着渗透“变与不变”函数思想、培养学生合情推理能力（观察、类比、归纳）以及严谨论证意识（举例验证）的重要价值，是学生从算术思维迈向代数思维的一次质的飞跃。（二）学情分析【基础】四年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已经积累了大量的除法计算经验，能够熟练进行计算，并具备了一定的观察和比较能力。然而，对于蕴藏在大量计算实例背后相对抽象的“规律”，学生往往难以自发地进行概括和提炼，容易停留在“看山是山”的表层。根据皮亚杰的认知发展理论，此阶段的学生需要在丰富的具体情境和操作活动中，通过自主探究和合作交流来建构知识意义。他们可能存在的学习障碍包括：对“同时乘或除以相同的数”中“相同”的理解流于表面，容易忽略“0除外”这一重要条件，以及在面对有余数除法时，对商不变但余数变化的本质感到困惑。因此，本课的教学设计必须基于学生的既有经验，搭建“脚手架”，引导他们经历“观察—猜想—验证—结论—应用”的完整探究过程，在思维的碰撞中完成对规律本质的深刻理解。二、教学目标与核心素养（一）教学目标【核心】1.知识与技能【基础】【高频考点】：使学生理解和掌握商不变的规律，能准确表述为“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”。能运用该规律进行除法算式的口算和简便计算。2.过程与方法【重要】【难点】：引导学生经历“观察比较—提出猜想—举例验证—归纳概括”的探索过程，培养学生初步的合情推理能力和严谨的思维习惯。渗透“变与不变”的函数思想和转化思想。3.情感态度与价值观【重要】：让学生在自主探索和合作交流中获得成功的体验，感受数学规律的内在美与逻辑力量，激发学习数学的兴趣和探究欲望，培养独立思考、反思质疑的学习品质。（二）核心素养聚焦点1.抽象能力：从一组具体的除法算式中，抽取出“被除数、除数变化，而商不变”的共同本质特征。2.推理意识：基于个别算式的特征提出初步猜想，并通过大量举例（包括一般例子和特殊例子）来验证或推翻猜想，初步感悟归纳推理的严谨性。3.运算能力：理解商不变规律是除法运算的一种简便策略，能在具体运算中灵活运用，提升运算效率与准确性。4.模型意识：将发现的规律用数学化的语言（文字或字母表达式）表达出来，初步建立数学模型。三、教学重难点（一）教学重点【重要】引导学生通过观察、比较、讨论，自主发现并归纳出商不变的规律。（二）教学难点【难点】【高频考点】1.深刻理解“同时乘或除以”、“相同的数”的含义。2.理解并记住“0除外”这一条件的必要性。3.初步辨析在有余数除法中运用商不变规律时，余数的变化规律（即“商不变，余数变”）。四、教学准备多媒体课件（PPT）、学习任务单（包含探究表格和验证区）、学生自备草稿本。五、教学实施过程【核心环节，占篇幅比重最大】（一）创设情境，激趣导入——“猴王分桃”中的数学【基础】1.故事引入：课件播放《猴王分桃》的动画故事。花果山的猴王要给小猴子们分桃子。猴王说：“把8个桃子平均分给2只小猴子。”小猴子们嚷道：“太少了，太少了！”猴王眼珠一转，说：“那好吧，把80个桃子平均分给20只小猴子。”小猴子们还是不满意，继续嚷嚷。猴王大手一挥，说：“别吵了，我把800个桃子平均分给200只小猴子，总该行了吧？”小猴子们听了，这才高兴地笑了。猴王也捋着胡子笑了。2.设疑激思：同学们，你们说，小猴子们为什么笑了？猴王又为什么笑了呢？这里面藏着什么数学奥秘？3.列式汇报：引导学生根据故事中的信息列出算式，并计算。1.4.第一次：8÷2=4（个）2.5.第二次：80÷20=4（个）3.6.第三次：800÷200=4（个）7.初步感知：学生通过观察发现，虽然桃子的总数和分给猴子的只数都发生了变化，但每只猴子分到的桃子个数（即商）始终是4，没有变。8.揭示课题：大家都有一双善于发现的慧眼。在被除数和除数变化的过程中，商却坚守着自己的“不变”。这里面到底藏着怎样的规律呢？今天，我们就一起来探索《商不变的规律》。【板书课题】（二）自主探究，发现规律——“计算王国”里的发现【核心】1.提供素材，引导观察（第一层次：从上往下看）【重要】1.2.课件出示第一组算式（聚焦“乘”）：8÷2=480÷20=4800÷200=42.3.任务驱动：请同学们仔细观察这一组算式。我们从上往下看（课件闪烁引导），第2个算式与第1个算式相比，被除数和除数发生了怎样的变化？商呢？3.4.小组讨论：学生在四人小组内交流自己的发现。4.5.汇报交流：1.5.6.生1：从8到80，被除数乘了10；从2到20，除数也乘了10；商还是4，没变。2.6.7.生2：从8到800，被除数乘了100；从2到200，除数也乘了100；商也没变。7.8.教师提炼：说得真清楚！谁能把大家的意思用一句话概括出来？1.8.9.生3：被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。9.10.【板书】被除数和除数同时乘相同的数，商不变。11.反向观察，深化感知（第二层次：从下往上看）【重要】1.12.变换视角：刚才我们是从上往下看，发现了这样的规律。如果反过来，从下往上看（课件闪烁引导），也就是把第3个算式和第2个算式，或者和第1个算式相比，被除数和除数又发生了什么变化？商变了吗？2.13.独立观察：学生独立观察并思考。3.14.汇报交流：1.4.15.生4：从800到80，被除数除以了10；从200到20，除数也除以了10；商还是4。2.5.16.生5：从800到8，被除数除以了100；从200到2，除数也除以了100；商也没变。6.17.教师提炼：观察得真细致！这次我们发现了什么？1.7.18.生6：被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变。8.19.【完善板书】被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变。20.举例验证，建立信任（第三层次：丰富实例，排除偶然）【重要】【难点】1.21.引发思考：刚才我们只观察了这一组有特殊关系的算式（都是整十、整百倍），就得出这个结论，是不是太草率了？万一这只是个巧合呢？数学讲究严谨，我们还需要做什么来确认这个规律是普遍存在的？2.22.生答：再举一些例子来验证。3.23.任务布置（学习任务单核心环节）：1.4.24.请每个同学独立写出一组或者两组具有这种“被除数和除数变化而商不变”特点的算式。2.5.25.可以先写一个最基础的算式，比如6÷3=2，然后对它进行“同时乘或除以一个数”的操作，看看商到底变不变。3.6.26.计算要准确，并记录下你的验证过程。7.27.学生自主验证，教师巡视指导（选取典型案例，包括乘或除以整数、小数（虽未学但可尝试）、乘或除以1等不同情况，特别注意是否有学生考虑了0的情况）。8.28.汇报展示，思维碰撞：1.9.29.案例A（一般情况）：我以12÷4=3为基础。同时乘2：24÷8=3，商不变；同时除以2：6÷2=3，商不变。2.10.30.案例B（乘或除以1）：我以15÷5=3为基础。同时乘1：15÷5=3，商不变；同时除以1：15÷5=3，商也不变。（引导学生发现，乘或除以1虽然数没变，但也符合“相同数”的要求）。3.11.31.案例C（乘或除以非整十数）：我以9÷3=3为基础。同时乘3：27÷9=3，商不变；同时除以3：3÷1=3，商也不变。4.12.32.教师追问（逼近核心）：大家的例子都很有力。现在老师想问问，有没有同学尝试把被除数和除数同时乘或除以“0”的？如果同时除以0，算式成立吗？如果同时乘0，会变成什么样？5.13.33.引导辨析“0除外”【难点攻克】：1.6.14.34.除以0的情况：比如6÷3=6，如果同时除以0，变成（6÷0）÷（3÷0），除数为0，算式没有意义，所以除以0是绝对不行的。2.7.15.35.乘0的情况：比如6÷3=2，如果同时乘0，变成（6×0）÷（3×0）=0÷0，0除以0的结果是不确定的，可以说商是任何数，也就不存在“商不变”的规律了。为了我们规律的严谨和普适，我们必须把“0”这个特殊情况排除在外。16.36.【板书补充完整（红笔标注）】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。37.阅读课本，内化规范1.38.引导学生打开课本，默读教材中关于商不变规律的表述，与自己总结的进行对照。2.39.齐读规律，加深印象。（三）分层练习，深化理解——“智慧闯关”我能行1.第一关：基础关——我会填【基础】1.2.在○里填上运算符号，在□里填上合适的数。2.3.(1)24÷8=3(24×5)÷(8○□)=33.4.(2)120÷30=4(120÷□)÷(30÷10)=44.5.(3)1600÷200=8(1600÷100)÷(200○□)=85.6.设计意图：巩固对规律中“同时乘或除以”、“相同的数”基本结构的理解。7.第二关：辨析关——我是小法官【重要】【高频考点】1.8.判断下面的说法或计算是否正确，并说明理由。2.9.(1)因为12÷4=3，所以(12×5)÷(4×5)=3。（√）3.10.(2)因为24÷8=3，所以(24+6)÷(8+2)=3。（×）（强调：必须是乘或除以，不能是加或减）4.11.(3)因为30÷5=6，所以(30÷2)÷(5×2)=6。（×）（强调：必须是“同时”且运算类型要一致，不能一个乘一个除）5.12.(4)因为48÷12=4，所以(48×0)÷(12×0)=4。（×）（强调：0除外，因为0不能作除数）6.13.设计意图：通过反例和变式，从反面加深对规律中关键词语（同时、相同数、乘或除以、0除外）内涵的深刻理解。14.第三关：应用关——简算小高手【热点】1.15.运用今天学习的规律，快速计算出下面各题的结果。2.16.350÷50=？你是怎样想的？（引导学生想成35÷5=7，也就是被除数和除数同时除以10）3.17.4800÷1200=？4.18.400÷25=？（提示：25乘以4是100，我们可以把除数和被除数同时乘4，转化成1600÷100=16）5.19.设计意图：让学生初步体会商不变规律在简化计算中的巨大价值，特别是“凑整”思想的渗透，提升运算能力。20.第四关：拓展关——火眼金睛看余数【难点】【拔高】1.21.课件出示：670÷30=？2.22.冲突创设：大部分学生运用商不变规律，将被除数和除数同时除以10，转化成67÷3，得到67÷3=22……1。但也有学生直接列竖式计算670÷30，得到22……10。3.23.辩论场：到底哪个答案对？为什么会出现不同的余数？4.24.小组讨论，教师引导：借助数位图或乘法验算。22×30+10=660+10=670，而22×30+1显然不等于670。所以正确答案应该是22……10。5.25.辨析本质：为什么商不变，余数却变了？因为我们在应用规律时，被除数和除数同时除以10，相当于把被除数和除数缩小到了原来的十分之一，那么余数（表示剩余的部分）也相应地被缩小了十分之一。要得到原来的余数，需要把简化后的余数“还原”，即乘回相同的倍数（1×10=10）。6.26.小结：在有余数的除法里，应用商不变的规律进行简算时，商虽然不变，但余数要随着被除数和除数的变化而变化。【板书：商不变，余数要还原】（四）课堂总结，回顾升华——“我收获了……”1.知识梳理：请同学们闭上眼睛，在脑海里把这节课的探索之旅回忆一遍。今天我们研究了什么？我们是怎样一步步发现这个规律的？（引导学生回顾：观察算式→提出猜想→举例验证→得出结论）2.思想感悟：你最喜欢哪个环节？你觉得哪个地方最容易出错，要提醒大家注意？3.结语：同学们，今天我们不仅找到了“商不变的规律”，更重要的是，我们经历了一次像数学家一样的探索之旅。数学世界里，变化是永恒的，但变化之中往往隐藏着不变的本质，只要我们有一双善于观察的眼睛和一个善于思考的头脑，就能发现这些奇妙的规律。（五）布置作业，课后延伸1.必做题：课本练习与应用相关习题。2.选做题【探究性】：1.3.（1）查一查：商不变规律在生活中有哪些应用？（例如：购物时的单价问题、按比例分配等）2.4.（2）想一想：分数的基本性质和我们今天学的商不变规律有联系吗？试着写出一组相等的分数来说明。3.5.设计意图：打通知识脉络，为后续学习做铺垫，培养跨学科视野和知识迁移能力。六、板书设计（结构化、可视化）`商不变的规律观察：8÷2=480÷20=4（同时乘10）800÷200=4（同时乘100）（同时除以10）↑