高等数学少学时教学教案

学习目标2.理解极限的概念，熟练掌握极限的求法.3.熟练掌握极限的运算法则，熟练掌握两个重要极限.4.理解无穷小与无穷大的概念，了解无穷小的性质及无穷小的比较，会利用无穷小的性质价无穷小求极限.6.了解闭区间上连续函数的性质.7.理解多元函数的概念，掌握二元函数定义域的求法，了解二元函数的极限和连续性.1.极限的概念及运算.2.函数连续性的判定.函数连续性的概念及其判别方法.教学方法手段辅助多媒体课件.初等数学，即常数的数学，至少就总的来说，是在形式逻辑的范围内活动的，而变数的数学——其中最重要的部分是微积分——其按本质来说也不是别的，而是辩证法在数学方面的运用.伽利略（GalileoGalilei,1564~1642）创立近代力学的著作《两门新学的.严格处理极限概念的数学家是作为微分学创始人之一的牛顿发表于1693年，全文发表于1704年）中使用了“初始比和终极比”念和理论的真正严格化是由柯西（Cauchy）开始而由魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass,1815~1897）完成的.些主要性质.学习单元一函数的基本知识一下函数的有关知识.定义域.值域.当函数y=f(x)的自变量x=x0时，若函数值f(x0)存在，我们称都有定义，那么称函数y=f(x)在区间（a,b）内有定义.下面介绍邻域的概念．设δ是某个正数，称开区间（x0-δ,x0+δ)为以x0为中心，以δ为半径的邻域，简称为x0的δ邻域，记为U（x0，δ),称开区间（x0-δ,x0）U（x0，x0+δ)为点x0这五类函数统称为基本初等函数.表示函数通常用表格、图像和解析式三种方法.径r之间的函数关系.壁高为h.面积为2πrh=2πrV/πr2=2V/r,又知V=10m3，得侧面积为20/ry=20k/r+5πr2k 2复合而成的复合函数.定义3设y=f(u),而u=φ(x),且函数φ(x（1）y=eu,u=sinx(2)y=lnu,u=2+x2解（1）y=eu=esinx,即y=esinx(2)y=lnu=ln(2+x2),即y=ln(2+x2).有时，一个复合函数也可以由三个或更多的函数如，由函数y=2u,u=sinx和v=x2+1可以复合成函数y=2sin(x2+1)其中u和v是中间变量.（1）y=cos2x(2)y=(arcsin1/x)2(3)y=esinsx-1解（1）y=u2,u=cosx(3)y=eu,u=sinv,v=w,w=x-1合构成的，并且可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.例如，函数y=3sin(x2-1),y=e2xlnx等都是初等函数．初等函数是最常见的函数，它是微积分研究的主要对象.u与u=x2不能用一个数学式表示，因此他不是初等函数如图1-1所示）旋转π/2指向y轴正方向，此时，拇指的指向就是z轴的正方向.y=arcsinu与u=2+x2就不能复域为[2，+∞),它与y=arcsinu即u=2+x2的任何函数值都超出xoy坐标面的上方，按逆时针方向确定．第Ⅴ到第Ⅷ卦限分顺次与x轴、y轴、z轴交于Px、Py，Pz，这三点在各自坐标轴上对应的实数值x,y,z称为点P在x在很多自然现象和工程实际中所涉及的往往是多个变量之间的依存定义5如果在某个变化过程中有三个变量x、y和z，且当取值范围D称为函数f(x,y)的定义域.二元函数z=f(x,y)在点（x0，y0）处的函数值记为为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域.平面上点P0(x0,y0)的δ邻域，记作U（P0,δ),而称不包含P0点的有界区域，否则称为无界区域.包含边界x+y=0如图1-4所示，此【例5】求二元函数z=ln的定义域.21{+y2的圆环域，它包含边界曲线外圆x2+y2=9，但不包含边界曲线内圆x2+y2=1，如图1-学习单元二函数极限的概念再对折，其长度为；„„以此类推对折下去，就得到一系列竹竿的长度：1，,,,,......，„„xnxnx1,x2,...,xn，„叫做数列，简记为{xn}．数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的通项或一般项．（2）即数列„即数列0,1,0,1,„因数列是函数,可将它们在直角坐标系中用点列表示出来,如图定义2对于数列{xn}，当n无限增大时，如果xn无限地趋近于一个常数A，那么称当n趋于无穷大时，数列{xn}以A为极限，记作xn=A或xn→A亦称数列{xn}收敛于A；如果数列{xn}没有极限，就称数列{xn}是发散的.而数列（3）的极限不存在，是发散的.如果数列对于每个正整数n，都有xn+1>xn，那么称数列{xn}那么称数列{xn}为单调递减数列．如果对于数列{xn}，存在一个正的常数M，使得对于每一项xn都有xn≤M，那么称数列{xn}为有届数列.定理2（收敛极限的有界性）若数列收敛，则数列有界.定理3（单调有界定理）单调有界数列必有极限.f(x)→A(x→∞)f(x)→A(x→+∞)定义5如果x<0且x无限或解（12）x→+∞x2x→-∞x2x→(-∞)定理4limf(x)=A的充要条件是limf(x)=limf(x)=Ax→∞x→-∞x→+∞2.2x→x0时函数的极限当x→1时，f(x)→2或或f(x)→A(x→x0)是否存在与其在x0处是否有定义无关.0x→x0x→x0上面讨论了x→x0时的函数极限，对于x→x0+（x从x0的右侧趋近于x0）或x→x0-（x从x0的左侧趋近于x0）时的情形，定义7如果x→x0+（x→x0-）时，函数f(x)无限接近于limf(x)=A(limf(x)=A)x→x0+x→x0-或f(x0+0)=A(f(x0-0)=A)定理5limf(x)=A的充要条件是x→x0limf(x)=limf(x)=Ax→x0+x→x0-【例3】设作出该函数图像，并讨论f(x)和limf(x)的值，以及limf(x→1-+x→1x→1-x→1-x→1-x→1-左右极限存在且相等，所以f(x)存在，且f(x)=3〔x-1断f(x)是否存在？解f(x)的图像如图1-14所示．由图可以limx→0+f(x)=lim(x+1)=1limx→0+limf(x)=lim(x-1)=-1x→0-x→0-因为f(x)的左极限和右极限存f(x)不存在.于点（x0,y0）的方式多种多样，因此，二元函数极限的情况要比一元函数复杂得多.（x0,y0）时，f(x,y)总趋向于一个确定的常数A，那么就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限，记为limlimx→x0y→y0(x,yx→x0y→y0应当注意的是，在一元函数y=f(x)的极限定义中，点x只是沿x轴趋于点x0，但二元函数极限的定义中，要求点（x,y）以任意方式趋于点（x0,y0如果点（x,y）只取某种方式（例如，沿平行于坐标轴的直线或沿某一曲线趋于点（x0,y0即使这时函数趋于某一确定的常数，我们也不能断定函数的极限是否存在．因此，（x0,y0）时，函数趋于不同的在.学习单元二函数极限的概念法则1lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)法则2lim[f(x)●g(x)]=limf(x)●limg(x)推论2lim[f(x)]n=[limf(x)]n.x→1解根据极限运算法则，有x→1x→1x→1x→1解1x→3x29法则3求极限.限均不存在，可先通分，再求极限.=（1）对x→x0,x→∞等情形，法则都成立.（2）对数列极限法则也成立.二元函数的极限也有与一元函数的极限类似的四则运算法则.解当x→0时，分子及分母的极限都是0，法则3不能用，可先对分子有理化，再求极限.限.2全体实数．当x→0时，我们列察其变化趋势.根据极限的定义有x→03x 3x→05x33x→0xx→0xcosxx→0xx→0cosxa={0b0a={0b0x→0bxx→0sinbxx→0bxx→0tanbxb【例8】求lim1cosx.x→0x2解2x(x)2sin|sin|2x(x)2sin|sin|x→0x2x→0x2x→02|x(2,【例9】求limsin(xy)x解sin(xy)limsin(xy)xlimsin(xy).limy=1.2=2xyy→2x趋势.为2.718281828459045„. x→0x→∞x x→∞xxux→∞x 2 uu5u←0 1224x_32x→∞(2x+1,x→∞时，u→∞,于是x→∞(2x+1,x→∞(u,x→∞(u,x→∞(u,x→∞(u,1(x)x(x)xx→∞(2,(x)x(x)x(x)xx(x)x(x)x(x)xx→0(2,x→0|(2,||x→0(2,|学习单元四无穷小量与无穷大量定义1如果x→x0（或x→∞)时，函数f(x)的极限为零，则称f(x)为x→x0（或穷小.穷小；3x-3为x→1时的去穷小.=0，所以当x→∞时，2x为无穷小.一个关系.limf(x)=Af(x)=A+α其中limα=0.（1）无穷小是以零为极限的函数．但不要把一个很小的数误以为是数，所以不是无穷小．常数中只有0是无穷小.（2）无穷小是与极限过程相联系的．不能笼统地说某个函数是无穷〔1)列{}为n→∞时的无穷小.ln,定义2如果x→x0（或x→∞)时，f(x)无限增大，limf(x)=∞x→x0(x→∞)如果在无穷大的定义中，把“f(x)无限增大”换成记作例如，当x→0时，是无穷大；当x→∞时，x2是无穷大.（1）无穷大是变化的量．无论多么大的数（例如1010）都不能称为无穷大.的，但为了讨论问题的方便，我们也说“函数的极限是无穷大”（3）当说某个函数是无穷大时，必须同时指出它的极限过程.（4）当x→x0+,x→x0-,x→+∞,x→-∞时可得到相应的无穷大的定义．无穷大的定义对数列也适用.2x-3性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小.性质3有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小.推论常数与无穷小的乘积仍是无穷小.x→∞x们给出一下定义.变化过程中，α和β都是无穷小.记作α~β.定理.设α~α‘,β~β’,且lim存在，则lim=limsinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1-cosx~~x,ex-1~x,小结：无穷小的性质，无穷小的比较.学习单元五函数的连续性的变化也很微小，这种特点就是所谓的连续性.下面先引出增量的概念.定义1如果变量u从它的初值u0变到终值与初值之差u1-u0就叫做变量u的增量，又叫做该变量，记作△u=u1-u0积.假定函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，当自变量x在这个邻域内从x0变到x0+△x时，函数值对应地从f(x0)变到△y=f(x0+△x)-f(x0)如图1-16所示的曲线则在x=x0点处断开.x的该变量△x→0时，函数的相应该变量△y的绝对值可以无限变的改变，显然当△x→0时，△y的绝对值不能够无限变limΔy=lim[f(x0+Δx)-f(x0)]则称函数f(x)在点x0处连续.即因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可叙述为定定义3设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，且则称函数f(x)在点x0处连续.若函数y=f(x)在点x0处有则分别称y=f(x)在点x0处是左连续或右连续．由此可知，函数f(x)在点x0处连续的充要条件是函数在点x0处左、右连续.区间（a,b）内连续；若函x→x0〔x-1x≤0则有f(x)不存在，所以f(x)在x=0处不连续.则有f(x)=2=f(1)，所以，函数f(x)在x=1处连续.f(x)=在x=0处连续.连续.定义4设函数y=f(x)在点x01.在点x0处没有定义；2.在点x0处有定义，但极限limf(x)不存在；x→x0x→x0则称函数y=f(x)在点x0处不连续或间断，点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.通常间断点分为两类：如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限limx→0-f(x)和右极限limf(x)都存在，那么limx→0-x→0+类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，统称为第二类间断点.-x-xx处产生跳跃现象，因而这类间断点又称为跳跃间断点.第一类间断点．在第一类间断点中，如果函数f(x)在点x0处的左、右极限都存在并且相等，则称点x0是f(x)所以是函数y=tanx的第二类间断点，如图1-20所示．因 定理1若函数f(x)和g(x)在点x0处均连续，则函数f(x)±g(x)、f(x).g(x)在该点也连续，又若g(x0)≠0,则函数在x0处也连续.定理2设函数y=f(u)在u0处连续，函数u=φ(x)在x0处连续，且u0=φ(x0)，则复合函数y=f[φ(x)]在x0处连续.limf[φ(x)]=f[limφ(x)]=f[φ(x0)]x→x0x→x0定理3初等函数在其定义区间内是连续的.间即可.解因为ln(2cos2x)是初等函数，且x=是定义区间内的点，x→66小值.示.实根.证明设f(x)=x34x2+1，由于f(x)在[0,1]上连续且得f(ε)=0，这表明所给方程在（0，1）内至少有一个实根.定义5设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有则称二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续．如果函数f(x,y)在如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处不连续，则称点P0(x0,y0)为函数f(x,y)的不连续点或间断点.求x的绝对即求x的模数，即arcsinx x数，即arccosx即ex数，即arctanx即lnx数，即arccotx即lgx数，即arcsecx2x数，即arccscxAns=4.2000说明MATLAB会将计算结果直接存入一变量ans，代表2.用MATLAB作函数的图像下面四种常用格式.【例2】绘制y=tanx在[0，10]上的图形figure(1)；%生成自变量数组,在[0，2π]上的图形．title('legend('y=sin(x)','z=cos(x)')-i只对几种常用命令通过例子作简单介绍.Z=sin(R)./R；（2）在计算过程中，我们定义的变量都保存在工作空间中，为了避免上次定义的变量影响下次的计算，经常在程序高等数学（少学时）教案教学目的要求1．理解导数和变化率的定义，会用导数定义求3．掌握反函数求导法则，熟练运用对数求导确理解并掌握微分形式的不变性，并会求函5．理解偏导数的定义，掌握偏导数的基本求法，理解全微分的定义，掌握7.理解最值的概念，会求函数的最值，能够解决实8.掌握微分的近似计算公式，能够解决实际问题中的导数与微分定义的理解；隐函数求导数；偏导数.教学方法手段辅助多媒体课件.高等数学（少学时）教案数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学．微分学和积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直到16世纪才应运萌生.事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时到了很大的发展．生产实践的发展对自然科学提出了新的问题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展．在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学（3）求最大值和最小值.对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题．牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的定义.义创始人之一.（2）牛顿(I.Newton,1642-1727)，英国数学家.设物体沿直线作变速运动，其经过的路程s与时间t的函数关系是s=s(t)，求该物体在时刻t0处的瞬时速度v.设物体从t0到t0+Δt时间段经过的路程为Δs，即0如果物体作匀速运动，则v是常数，它就是物体在时刻t0的瞬时 v只是t0时刻速度的近似值，而且Δt越小，这种近似程度就越好， 于是当Δt→0时，平均速度v就应趋向于物体在时刻t0处的瞬时速度v．即有变速直线运动在时刻t0处的瞬时速度反映了路程s对时刻t变化快慢的程度，因此，速度v又称为路程s在时刻t0处的变化率.设l是坐标平面内的一条曲线（图2—1其方程为y=f(x).M0(x0,y0)是曲线l上的一点,求曲线在该点处切线M0T的斜率k.在M0点附近任取一点M(x0+Δx,y0+Δy),作割线M0M,倾角为β,其斜率为k1=tanβ=沿曲线l接近M0点时,割线就越小，其接近程度就越高,从而当Δx→0时，点M0，割线M0M就趋向于曲线在M0处的切线M0T，于是割线M0M的斜率k1就应趋向于切线M0T的斜率k．设切线M0T倾角为α,则曲线l在点M0处的切线反映了曲线y=f(x)在点M0处升降的快慢程度．因此，切线斜率k，又称为曲线y=f(x)在x=x0处的变化率.数量关系上的共性，便得出了函数导数的概念.定义1设函数y=f(x)在点x0的某一邻城内有定义，当自变量在点x0处取得增量Δx(Δx≠0）时，函数f(x)取得相应的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，若Δx→0时，极限存在，则称此极限为f(x)在x0处的导数，记为dydxf0),dydxf0),或记为x=x0x=x0x=x0并称函数y=f(x)在点x0处可导，即若极限不存在，则称函数y=f(x)在x0处不可导.（1）如果不可导的原因是极限为无穷大，了以后方便起见，也称函数y=f(x)在x0处的导数为无穷大.（2）导数概念是函数变化率的精确描述，化率的本质：函数增量与自变量增量的比值Δy是函数y在以x0和则是函数y在x=x0x0则是函数y在x=x0点x0处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度.定义2如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点都可导，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导．这时对(a,b)内每一确定的x，都对应着f(x)的一个确定的导数值f’(x),当x取遍(a,b)内一切值时，这样就构成了一个新函数，这个函数y=f(x)的导函数，记为x=x0f0)x=x0是指求函数的导函数.（4）运动员在某个时刻t0时的瞬时速度如何表示？定义3limf(x0+Δx)f(x0)称为函数y=f(x)在x0处的左导数，记作f,称为函数y=f(x)在x0处的右导数，记作f,(x0+0).定理1f(x)在点x0处可导左导数、右导数存在并且相等.注：本定理常用于判断分段函数在分段点处是否可导.定理2如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且f,(a+0)和f,(b0)都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导.Δy=f(x+Δx)f(x)=CC=0即【例2】求幂函数f(x)=xn(n∈N)的导数.+Cxn2(Δx)2+„+C(Δx)nnnnxn12xn2Δx+„+Cnnnnf即n1.2)一般地，对任意一实数α,有(xα)α1这就是幂函数的导数公式. 2【例4】设f(x)【例4】设f(x)=J解因为f(x)=J=(x.x2)24【例5】求函数y=sinx的导数.Δy=f(x+Δx)f(x)=sin(x+Δx)sinx即这就是正弦函数的导数公式.即高等数学（少学时）教案由前面切线问题的讨论及导数的定义可知，函数y=f(x)在点x0处的导数f0)在几何上表示为曲线y=f(x)在点M0(x0,y0)处切线的斜率，即如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大，即tanα不存在，这时，曲线y=f(x)在点M0(x0,y0)处的切线垂直于x轴；如果y=f(x)在点x0处的导数为零，这时曲线y=f(x)在点M0(x0,y0)处的切线平行于x轴.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，我们即可得y=f(x)在点M0(x0,y0)处的切线方程为yy0=f0)(xx0)0))即高等数学（少学时）教案即解设曲线y=lnx上点M(x0,y0)处的切线与直线x=x0将x0=2代入y=lnx，得y0=ln2所以曲线y=lnx在点定理3如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必连续.证明因为f(x)在点x0处可导，故有存在，0αΔy=f’(xΔy=0，这就是说，函数y=f(x)在点x0处是连续的.在某点处连续，但在该点处函数却不一定可导．举例说明【例9】讨论函数在点x=0处的连续性与可导性.x所以y=x所以y=这在图形中的表现为y=x点x=0处没有切线(如图2-3所示).限.（1）=A存在，称函数f(x)有极限.（2）称函数在点x0处连续.存在，称函数在点x0处可导.yxx对于比较复杂的函数，直接利用定义来求它们的导数往往是很地求出任意可导的初等函数的导数.xlna；x；x；2x；定理1设函数u=u(x),v=v(x)都在x处可导，则它们的和、32)=4xcosx(12x2)sinx.【例3】求函数y=tanx的导数.即2x这就是正切函数的导数公式.类似地可以得到余切函数的导数公式：2x.【例4】求函数y=secx的导数.=cos2x类似的，可得到余割函数的求导公式：就可以得到了所有基本初等函数的导数公式，必须熟记.于时间t的瞬时变化率，如果一电路中的电量（1）求其电流函数i(t)；dq33dq332（3）解方程i(t)=28，即3t2效果，t小时后冰箱的温度为T=一20.问冰箱温度T关于解冰箱温度T关于时间t的变化率为2(0.05t+1)2(0.05t+1)2t×0.052(0.05t+1)2定理2设函数y=f(u)在u处可导，u=φ(x)在x处可导，则复合函数y=f[φ(x)]在x处可导，且有 间变量的复合函数上去，例如y=f(u)，u=φ(v)，v=φ(x)均可dydydudvdydydudv简单函数的形式为准.3，则yxux43)4×6x2=30x2(1+2x3)4.【例6】求函数y=lntanx的导数.解设y=u3，u=sinv，v=cost，t=2x；则yxuvx2.cosv(sint).2=6u2cosvsint=6sin2(cos2x)cos(cos2x)sin2x.变量，按求导的链导法则直接由外往里，逐层求导即可.dtmmdtmmm2mm2mm称为相位.解(1)因为(2)因为y=log5x5y=f(x)的二阶导数，记为相应地，把y=f(x)的导数f’(x)称为函数y=f(x)的一阶导数.ff依次类推，就可以定义函数y=f(x)的n阶导数，并且记为二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.中反复运用了一阶导数的求法.【例9】求函数y=x2(1+lnx)2)21【例10】求函数y=xn(n∈N)的n阶导数.n1，y1)(n2)xn3„„y(n)=n(n1)„„1xnn=n!.y=xexxxxx„„y(n)=(n+x)ex.【例12】求函数y=sinx的n阶导数.„„路程对时间的导数，所以加速度是路程对时间的二阶导数.即设物体作变速直线运动，其运动方程为s=s(t)，则物体运动的加速度a为这就是二阶导数的力学意义.第三章中专门讨论.阶导数和部分简单函数的n阶导数.即函数是由一个方程F(x,y)=0所确定的，这种由含x和y的方程F(x,y)=0所确定的函数，称为隐函数．下面我们就讨论隐函数的求导方法.遇到y时，就视y为x的函数；遇到y的函数时，就看成是x的复合数.解把y=ax改写成logay=x，两边同时对x求导得y/=ylna=axlna即(ax)/=axlna这就是指数函数的导数公式.【例4】求反三角函数y=arcsinx的导数.解把y=arcsinx改写成siny=x，两边同时对x求导得即这就是反正弦函数的导数公式.类似地可以得到其它反三角函数的导数公式定理（反函数求导法则）如果函数y=f(x)在区间内单调且连续，并在该区间内处处有不等于0的导数f/(x)，那么它的反函数x=f1(y)在相应区间内也处处可导，并且y.化成隐函数后，再求导.两边同时对x求导得，解两边取自然对数，得lny=xlnx两边同时对x求导，得从而解决了初等函数的求导问题.【例7】求函数y=(arcsinx)2的导数.【例8】求函数y=earctan的导数.掌握隐函数的求导法则,将方程F(x,y)=0两边对x求导，遇到y为中间变量；然后从所得的等式中解出y,.能够利用隐函数求导法则求幂指函数的导数.际应用中并一定需要它的精确值，只要能求出它的近似值即可.02，面积y的增量可以近似的用2x0Δx来近似代替，即0Δx由于面积y=x2，所以yx=x0=2x0，即f0)这个结论具有一般性.设函数y=f(x)在x处可导，则有其中α是Δx→0时的无穷小．所以——x0x0Δxx0y=f(x)在x处的微分.定义设函数y=f(x)在x处可导，则称f’(x)Δx为函数f(x)若令y=x，则即表达式中可用dx代替Δx，即由此可见即函数y=f(x)的导数等于函数的微分dy与自变量微分dx的商，因此导数又称微商.可微函数．反之，函数在点x处可微，必有函数在该点处可导.（1）y=lnsinx2）y=x2tanx.’cosx’cosx=(2xtanx+x2sec2x)dx.高等数学（少学时）教案设函数y=f(x)的图形如图2-5所示，MT为曲线在点M(x,y)变量Δx时，就得到曲线上另一点N(x+Δx,y+Δy)，由图可知QP=MQ.tanα=Δx.tanα即因此，微分dy就是曲线y=f(x)在点(x,y)处切线纵坐标的改变量QP，它是曲线y=f(x)在M点处纵坐标改变量QN的近似值；略去的PN是比Δx高阶的无穷小.所以由导数公式和运算法则立刻就可得到微分公式及运算法则.（3）d(ax)=axlnadx；（4）d(ex)=exdx；（7）d(sinx)=cosxdx；（8）d(cosx)=sinxdx；（9）d(tanx)=sec2xdx；（10）d(cotx)=csc2xdx；（11）d(secx)=secxtanxdx；高等数学（少学时）教案（12）d(cscx)=-cscxcotxdx；）； 设u=u(x)，v=v(x)都是可微函数，则（1）d(u±v)=du±dv；（2）d(uv)=vdu+udv；由函数y=f(u)，u=φ(x)复合而成的函数y=f[φ(x)]的导所以复合函数y=f[φ(x)]的微分为为微分形式的不变性.（1）y=ln(1+ex)2）y=esinx.（2）dy=d(esinx)=esinxd(sinx)=cosxesinxdx.（1）d()=x2dx2）d()=cos6xdx.即（2）因为d(sin6x+C)=6cos6xdx，于是即和运算法则，能够求初等函数的微分，并理解微分的形式不变性.掌握微分在近似计算公式.例，如果只有自变量x变化，而自变量y固定（即看作常数这时偏导数.定义1设函数z=f(x,y)在点（x0,y0当y固定在y0，而x在x0处有改变量Δx时，相应地函数有改变量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，记为Δxz．如果存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点（x0,y0）处对x的偏导数.y=y0y=y0即类似地，函数z=f(x,y)在点（x0,y0）处对y的偏导数定义为y=y0y=y0即定义2如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是x,y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记为即类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记为即由偏导数的概念可知，f(x,y)在点（x0,y0）处对x的偏导数fx0,y0)显然就是偏导函数fx’(x,y)在点(x0,y0)处的函数值；fy0,y0)就是偏导函数fy’(x,y)在点（x0,y0）处的函数值．就像为偏导数.商，它与一元函数的导数可看作是两个微分dy与dx之商是不同的，它只是一个整体记号.仍然是一元函数的求导问题.高等数学（少学时）教案【例3】求z=xysin(x+y)（x>0）的偏导数.异．例如，函数但f(x,y)在点（0，0）处不连续（证明略）.在空间直角坐标系中，函数z=f(x,y)表示一曲面，如果把z=f(x,y)与平面y=y0相交的一曲线（图2-6中的AM0B由一0,y0)是交线AM0B上点M0(x0,y0,z处切线Tx的斜率，即fx’(x0,y0)是这曲线上点M0处高等数学（少学时）教案的切线对x轴的斜率（图2-6这就是偏导数fx,(x0,y0)的几何意义.同理，偏导数fy,(x0,y0)的几何意义是曲面z=f(x,y)与平面x=x0定义3设函数z=f(x,y)在区域D内有偏导数那么在D内fx,(x,y)，都是x,y的函数．如果这两个函数的偏导数都存在，则它们的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数．依照对变量求导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数，并分别表以上的更高阶的偏导数；二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.【例4】求函数z=x3y2+2xy3-x2y的二阶偏导数.定理1如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数、在区域D内连续，则在该区域内这两个混合偏导数相等.换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关.是一个比Δx高阶的无穷小，所以当Δx很小时，可以用微分近似代替函数的改变量，对于二元函数也有类似情形.高等数学（少学时）教案 第二部分是ΔxΔy则当p→0时，ΔxΔy是p的高阶无穷小，即ΔxΔy=o 个比p=J(Δx)2+(Δy)2的高阶无穷小.为z=xy在点(x,y)处的全增量.定义4如果二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处的改变量（称为Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)可以表示为 p=J(Δx)2+(Δy)2．则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，称AΔx+BΔy为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dz，即高等数学（少学时）教案保证函数在该点连续；由上述定义可知，如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，那么这函数在该点必定连续，事实上因此，函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续.定理2（可微分的必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分为证明因为函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，所以Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)=f(x+Δx,y)f(x,y)=Δxz上式两边同除以Δx，再令Δx→0而取极限和一元函数类似，习惯上将自变量的改变量Δx和Δy分别记作dx,dy，并分别称为自变量x,y的微分．这样，函数z=f(x,y)的全存在的必要条件而不是充分条件.例如，函数f在点（0，0）处的两个偏导数均存在，但f(x,y)在点（0，0）处不可微．事实上，若f(x,y)在点（0，0）处可微，则f(x,y)在点（0，0）处应该连续，但前面我们已知f(x,y)在点（0，0）处不连续，从而f(x,y)在点（0，0）处不可微．因此定理2只给出了二元点(x,y)处连续，则函数z=f(x,y)在点（x，y）处可微.而而显然，全微分dz是全增量Δz的近似值.xyxy+x(x+y)exy=(1+xy+2dx2dy.在理解偏导数与全微分概念的基础上求多元函数的偏导数与全微分.法，它是通过函数的导数来确定函数的单调性.定理1设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导：（1）若在(a,b)内f(x)>0，则函数f(x)在[a,b]上单调增；（2）若在(a,b)内f(x)<0，则函数f(x)在[a,b]上单调减.值得注意的是，定理中的闭区间改为其它各种区间结论也成立.x13f(x)+0—0+f(x)↗↘↗导数不存在的点.因此，求函数f(x)的单调区间的一般步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出f(x)=0的点和f(x)不存在的点，并用这些点作为高等数学（少学时）教案无驻点；当x=1时,f,(x)不存在.x1f,(x)—+f(x)↘↗定义1设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义，若对点x0附（1）f(x)<f(x0),则称f(x0)为f(x)的极大值，称点x0为f(x)的极大值点;（2）f(x)>f(x0),则称f(x0)为f(x)的极小值，称点x0为f(x)的极小值点.称函数的极值点.如图2-8所示，x1和x3是f(x)的极大值点，f(x1)和f(x3)为f(x)的极大值；x2和x4是f(x)的极小值点，f(x2)和f(x4)为f(x)的极小值.f(x1)小于极小值f(x4).高等数学（少学时）教案由图2-8可见，可导函数f(x)的极值点是函数由增（减）到减（增）的分界点，在这一点处曲线的切线总是与x轴平行的，极值，例如，函数f，在x=0处不可导，而x=0是 的极小值点.定理2（极值存在的必要条件）若x0是f(x)的极值点，则f0)0)不存在.f0)=0只是可导函数f(x)在x0处有极值的必要条件，而不0)定理3（第一充分条件）设函数在点x0处连续，在x0的附近可导（点x0可除外）（1）如果在点x0的左侧附近f’(x)>0，在x0的右侧附近ff(x0)是f(x)的极大值；（2）如果在点x0的左侧附近f’(x)<0，在点x0的右侧附近ff(x0)是f(x)的极小值；则f(x)在x0处没有极值.根据定理3，我们可以按下列步骤来求f(x)的极值点和极值：（1）确定函数f(x)的定义域；（4）求出各极值点处的函数值，就得到函数f(x)的全部极值.0)x1(1,3)3f+0—0+f(x)↗值↘↗因此，x1=1为极大值点，极大值为f(1)=10；x2=3为极又函数f(x)在点x=0和x=2处的导数都不存在.x012f-不存在+0-不存在+f(x)↘0↗1↘0↗高等数学（少学时）教案f(0)=f(2)=0.定理4（第二充分条件）设函数f(x)在点x0处二阶可导，且f,(x0)=0，f,,(x0)≠0，则x0必是f(x)的极值点，并且（1）如果f,,(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点；（2）如果f,,(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点.为f(x)的极小值点，极小值为f(1)=2.—9（ab）所示，两条曲线弧y=f(x)与y=g(x)都是单调增的，中曲线弧上的每点的切线都总在其曲线下方.高等数学（少学时）教案定义2如果在区间(a,b)内曲线弧上各点的切线总位于其曲线的上方，则称曲线在区间(a,b)内是凸的，区间(a,b)称为曲线的凸则称曲线在区间(a,b)内是凹的，区间(a,b)称为曲线的凹区间.而连续曲线上凹与凸两段弧的分界点，称为曲线的拐点.如果按定义来判断曲线的凹凸性是十分困难的，对于曲线的凹定理5设函数f(x)在区间(a,b)内有二阶导数：（1）如果在(a,b)内f(x)>0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是（2）如果在(a,b)内f(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的.通过图形可直观地说明该定理的正确性.若曲线y=f(x)呈凸状，由图2—9（a）可直观地看出：当自变量x增大时，切线的斜率随之变小，说明一阶导数f(x)在(a,b)内这说明，若曲线为凸的，必有f(x)<0；同理，若曲线为凹的，必有f(x)>0.从另一角度来讲，该定理正是二阶导数的几何意义.标与纵坐标同时表示．根据定理5易知，如果点(x0,y0)是曲线y=f(x)的拐点，那么x0或者是使f(x)=0的点，或者是使f(x)不存在的点.于是，求连续曲线y=f(x)拐点的步骤如下：（1）确定f(x)的定义域；（2）求出使f,,(x)=0及f,,(x)不存在的点x；（3）讨论f,,(x)在上述点x左右的符号，如果符号相异，则点(x,f(x))就是拐点，如果符号相同，则点(x,f(x))不是拐点.令f,,(x)=0,解得x=2；x2f,,(x)—0+f(x)从而拐点存在，由于f(2)=3，故点(2,3)为曲线的拐点.在理解导数定义的基础上掌握导数的几何应用.问题在数学上有时可归结为求某一函数的最大值或最小值问题.定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一（1）若对于任意x∈[a,b]，有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值，称点x0为f(x)在[a,b]上的最大值点；（2）若对于任意x∈[a,b]，有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最小值，称点x0为f(x)在[a,b]上的最小值点.最大值和最小值统称为最值.概念，因此,如果函数f(x)在开区间(a,b)内的某点x0处达到最值，那么这个最值一定是极值，点x0一定是f(x)的极值点.定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值.最值可能在闭区间[a,b]的端点a或b取得，也可能在开区间(a,b)内取得，而若在(a,b)内某点取得，则该点一定是极值点．因此，求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的一般步骤为：（1）求出函数f(x)在(a,b)内所有驻点和不可导的点；（2）求出函数f(x)在这些点的函数值及在端点的函数值f(a),f(b)；（3）比较这些函数值的大小，其中最大者就是函数f上的最大值，最小者就是f(x)在[a,b]上的最小值.高等数学（少学时）教案和最小值.+1)(x3)计算得f(—2)=3，f(1)=10，f(3)=22，f(6)=59比较可得f(x)在[—2,6]上的最大值为f(6)=59，最小值为f(3)=22.到铁路的距离C为20千米，若在AB上某一点D处向C修一条公路DB=100x，由于铁路与公路的运费之比C的总运费为这问题就归结为求y在[0，100]上的最小值.函数y在[0,100]上的最小值为yx=15380k（显然它也是极小值从而当AD=15（千米）时，运费最省.在求函数的最值时，特别指出下述情形：若f(x)在一个区间（有限或无限、开或闭）内可导且只有一个驻点x0，并且x0是函数f(x)的极值点，则当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值（图2—11(a));当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在(a)(b)高等数学（少学时）教案该区间上的最小值（图2—11(b)).域内只有一个驻点x0，就不必讨论f(x0)是不是极值，就可断定f(x0)是最大值或最小值.爆破体积最大.解设h为炸药包埋藏的深度，则爆破体积为由实际问题可知，V在(0,R)内一定有最大值，而令V,=0，解得h=±其中只有在区间(0,R)内即V在定义域内只有一个驻点，这个驻点就是V取得最小值的点，于是，当爆破体积最大.掌握最值的求解步骤，能够解决生活中的最值问题.高等数学（少学时）教案算公式改用简单的近似公式来代替.设函数y=f(x)在点x0处可导，由微分定义知，当|Δx|充分小Δx)f(x0)≈f,(x)Δx，f(x0+Δx)≈f(x0)+f,(x0)Δx（2）用来计算函数y=f(x)在点x0附近函数值的近似值.量.因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积3，当R在R0取得改变量ΔR时的改变量ΔV.而2解设f(x)=tanx，则f/(x)=sec2x，由于取,因为很小,即 f(7.988)≈f(8)+f/(8)Δx即f(x)≈f(0)+f/(0)x（3）当x很小时，可用公式（3）求函数f(x)在x=0附近函数值的近似值.应用公式（3）可以推得以下几个在工程上常用的近似公式（下面都假定x是很小的数值）.①sinx≈x（x用弧度作单位来表达 【例4】计算J1.05的近似值.到近似公式.设二元函数z=f(x,y)的偏导数f(x,y)，f(x,y)在点Δz≈dz=fx(x0,y0)Δx+f(x0,y0)Δy（4）≈f(x0,y0)+fx(x0,y0)Δx+f(x0,y0)Δy（5）用来计算函数z=f(x,y)在点(x0,y0)附近函数值的近似值.20cm增大到20.05cm，高由50cm增大到50.09cm，求此圆柱体体积变化的近似值.h代入上式，得23【例6】计算(1.04)2.02的近似值.解设f(x,y)=xy，则fx(x,y)=yxy—1，f(x,y)=xylnx取x0则f(1.04,2.02)≈f(1,2)+fx,(1,2)Δx+fy,(1,2)Δy即掌握微分近似计算公式，能够解决近似计算问题.在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度．例如火车铁轨由直道转入圆弧形弯道之前，需要先在直道线路的末端处接上一段适当的曲线，以便火车转弯时能平稳行驶．又如，在工程施工中，梁在负荷的作用下要产生弯曲变形，设计时要考虑梁的允许弯曲程度．本节我们来讨论如何用数量来描述曲线的弯曲程度.如图2-15所示，在曲线y=f(x)上取定点A作为度量弧长的起点，并规定依x增大的方向作为弧的正向．设M(x,y)为曲线上任意一点，以s表示曲线弧AM的弧长，即s=AM．显然，弧长s是随点M(x,y)的确定而确定的，也就是说s是x的函数，记为s=s(x)下面用已知函数y=f(x)来表示弧长s的微分ds.给x的增量Δx，于是y相应地有增量Δy=RN，s有增量 22..2dx2TyNNMdxRMsAxOxx+dxxOyNNMxOxx+ΔxxO我们约定ds只取正值，就得到弧微分公式从图2-15可以看出，弧微分就是曲线上点M(x,y)处的切线段MT.所以由弧微分公式，得 2xdx我们先从几何图形上分析哪些量与曲线弯曲程度有关.如图2-17(1)所示，设曲线上一段弧MN的长为Δs，在M点作切线MT，当点M沿曲线变到N时，切线MT相应地变到切线NP，它比MN弯曲程度大，其切线转过的角度为Δα2（图2-17（2显度就愈大.角都是Δα,那么弯曲程度与弧线长短相反．因此，曲线的弯曲程度还与曲线弧的长度Δs有关.的转角这两个因素.如图2-19，如果曲线弧段MN的长度为Δs，M、N两点的切Δα为曲线弧段MN的平均曲率当Δs→Δα为曲线在点M处的曲率，记作K，即ΔαdαΔs→0ΔsdsΔαdαΔs→0ΔsdsPNTMP'NN'ΔΔα2TT'M'TTPN1MN'Δα2M'CP'yMM0u)αTα+Δα高等数学（少学时）教案【例2】求半径为R的圆的曲率.解如图2-20所示，设弧MN的长度为Δs，切线由M点转到N点的转角为Δα,由几何学得Δs=R.Δα曲率越大.面给出计算曲率的公式.设曲线的方程为y=f(x)，且f(x)具有二阶导数，则曲线y=f(x)的曲率为这就是曲线y=f(x)在点(x,y))处的曲率的计算公式.代入曲率的计算公式，即得K=在点(0,0)处，Kx=0=0PNPNΔαΔαRMT高等数学（少学时）教案设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0)，在点M处该曲线的法线（与切线垂直的直线）上凹向的一侧取一点C，使个圆叫做曲线在点M处的曲率圆，把曲率圆的圆心C叫做曲线在点线的曲率K就较大，则曲线在该点附近就弯曲得较厉害.3y,x=1 理解曲率的定义，会求曲率和曲率半径.yy=yy=f(x)11OKMOx学习目标2.掌握原函数、不定积分的定义，熟记基本积分公式；理解变上限定积分的概念和原函数存在定理，熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式；并会用直接积分法求不定积分和定积分.3.熟练掌握积分的换元积分法与分部积分法及换元积分法和分部积分法；定积分的应用.定积分定义的概念、换元积分法和定积分的应用.教学方法手段辅助多媒体课件.主要内容时间分配4.广义积分(2学时）5.定积分在专业中的应用(4学时）物理量微元变化累计的计算1在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里.经过的距离．14世纪中叶，法国学者奥而斯姆（N.Oresme,约1323-1382）应用他的均匀变化率概念和图解表示法给出了上述例题国数学家费马（P.deFermat,1601-1665）完成了一篇手稿《求最大致命弱点，而且几乎采用了近代定积分的全部过程.面积的分割求和或者说是微分的无穷和，也就是今天所说的定积物上．后来获得普遍的接受并沿用至今.物理量微元变化累计的计算2内容包括定积分和不定积分.定积分在工程和科学技术领域用.y=f(x)(f(x≥0))，直线x=a,x=b及x轴围成的平面图形叫作下面讨论曲边梯形面积的计算问题.在初等数学中，我们知道矩形面积＝底×高，将曲边梯形和矩形样就导致曲边梯形的高f(x)是随x的变化而变化的，计算其面积就变化很小时，则相应的高f(x)也就变化不大．基于这种想法，可以用一组垂直于x轴的直线将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形(如图零，则所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形的面积.分成n个小区间[x0,x1]ii-xi-1(i=1,2,L,n),相应的曲边梯形被分割成n个小曲边梯形.ξi(xi-1≤ξi≤xi)，以f(ξi)为高，Δxi为底作小矩形，用此小矩形yy=f(x)ya0ba0x物理量微元变化累计的计算3⑶求和:把各个小矩形面积相加，得到曲边梯形面积S的近似值间长度无限接近于零.这时上述小矩形面积之和的极限值就是曲边梯形的面积，即