高等数学（上册）课程标准教学教案

《高等数学》课程标准【课程名称】《高等数学（上册）》【课程编码】【课程类别】公共基础课 【适用专业】所有专业【授课单位】 【总学时】72【编写执笔人】 【编写日期】一、课程定位和课程设计本课程是面向高等职业院校各专业学生一门公共基础课，通过本课程的学习，旨在培养学生的数学运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，以及综合运用、分析解决实际问题的能力，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。课程设计上，本书根据教育部高等学校教学指导委员会的基本要求，紧密围绕高等职业院校的人才培养方案，通过素质教育与立德树人、内容全面和适用广泛、引例先行和例题紧跟、互动讨论和加深理解、精选习题和随学随练、平台支撑和资源丰富等特色，深入浅出、由易到难地讲解相关知识，既符合高等职业教育的教学规律，又便于教师授课和学生学习，全面提升学生的数学素养和实践能力。二、课程内容、课时分配本课程分为函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、微分方程、定积分、定积分的应用，共7章。具体课程内容和课时分配如表1所示。表1《高等数学》课程内容及课时分配表所用教材课程内容课时分配高等数学第1章函数与极限1.1函数12721.2数列的极限1.3函数的极限1.4无穷小与无穷大1.5极限的运算法则1.6极限存在准则与两个重要极限1.7无穷小阶的比较1.8函数的连续性1.9闭区间上连续函数的性质第2章导数与微分1.1导数的概念101.2求导法则与基本初等函数的导数公式1.3高阶导数1.4隐函数与参数方程确定的函数的求导法则1.5函数的微分及其应用第3章微分中值定理和导数的应用1.1微分中值定理141.2洛必达法则1.3泰勒公式1.4函数的单调性与凹凸性1.5函数的极值与最值1.6函数图形的描绘1.7曲率第4章不定积分1.1不定积分的概念与性质81.2换元积分法1.3分部积分法1.4几何特殊类型函数的积分第5章常微分方程1.1微分方程的基本概念121.2一阶微分方程式1.3可降阶的微分方程1.4二阶线性微分方程解的结构1.5二阶常系数线性微分方程1.6微分方程的应用举例第6章定积分1.1定积分的概念与性质81.2微积分基本公式1.3定积分的换元法和分部积分法1.4反常积分第7章定积分的应用1.1定积分的微元法81.2定积分的几何应用1.3定积分在物理学上的应用1.4定积分在经济分析中的应用三、课程实施(一)教学条件我校十分注重建设和完善本课程的教学设施，如多媒体教室、实训室、网络教学平台、网络数据库等。此外，有一支强大且专业的师资队伍，可以为本课程的教学和课程建设提供有力保障。在网络资源方面，我校选择与建立课程合作，可有效利用的文旌教学管理平台实施“线上+线下”的混合教学模式，可以帮助教师进行教学，促进学生高效学习。(二)教学方法建议在课堂授课和实践教学中可以灵活运用以下教学方法：1．讲授教学法：由教师对每一项目的理论知识进行教授；2．例题讲解法：以实际案例导入，加深学生对知识的理解和掌握；3．互动讨论法：将学生分成若干小组，围绕问题互动讨论、交流学习；4．自学法：利用的平台资源进行自学。(三)成绩考核与评定本课程考核体现多元评价方法，重视教学过程评价，突出阶段评价、目标评价、理论与实践一体化评价等。考核成绩包括形成性测评（50%）和终结性测评（50%）。形成性测评占50%，其中1．考勤（10%）：本项考核通过课前点名考核学生的课堂出勤率。迟到15分钟以内每次扣1分，迟到15分钟以上或无故缺勤一节课每次扣2分，无故缺勤5次及以上者，取消本课程成绩。2．课程参与度（20%）：本项考核主要通过线上课程参与度、线下课堂提问和课堂积极发言来评判学生的学习态度、学习主动性、课堂参与程度，以及学生的思辨能力、问题解决能力及其对课堂教学知识的掌握情况等。只要学生能按时参加线上和线下听讲，即可获得10分的基本分。学生上课发言一次或线上讨论区有效发言（与话题相关）一次，即可另外获得0.5分，课堂和讨论区发言最多可得10分。学生的最后成绩为“10+发言得分”。3．作业情况（20%）：本项考核主要通过学生作业来检测其对教学主体内容的掌握与理解程度、实际应用知识的能力、自主学习能力、信息收集与处理能力等。每次作业成绩按照相应标准而定，学生作业质量划分为优秀（10分）、良好（8分）、中等（7分）、及格（6分）和不及格（0分）五个档次。最后的作业成绩为学生作业完成质量成绩的平均数。终结性测评占50%。主要考核学生在学完本课程后所达到的水平，通过期末考试进行考核。期末考试考核由学院统一命题，闭卷考试。四、课程资源开发与利用(一)推荐使用教材(二)数字化资源《高等数学》教案课时分配表章序课程内容课时备注1函数与极限122导数与微分103微分中值定理与导数的应用144不定积分85常微分方程126定积分87定积分的应用8合计72

课题第1章函数与极限课时12课时（540min）教学目标知识技能目标：（1）理解函数的概念，理解分段函数及函数的表示法，掌握函数四种特性：奇偶性、单调性、周期性和有界性的定义，并会建立简单应用问题中的函数关系式（2）掌握复合函数的概念，掌握初等函数的性质和图像（3）理解数列极限的概念，能观察出简单收敛数列的极限（4）理解函数极限的概念，理解函数的左右极限的概念，理解自变量不同变化趋势的极限（5）理解无穷小与无穷大的概念（6）掌握无穷小的性质，并掌握运用性质求极限，掌握等价无穷小的替换原则及求极限的方法（7）掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限（8）理解并掌握两个重要极限公式，掌握两个重要极限的推广式，并能运用其求函数的极限（9）理解函数的连续性概念，熟悉函数在一点连续的等价定义（10）掌握初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质素质目标：（1）让学生明白建立简单应用问题中的函数关系式，体会联系的多样化（2）培养学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质教学重难点教学重点：函数的几种特性，数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限的运算法则，极限存在准则与两个重要极限，无穷小阶的比较，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质教学难点：极限的运算法则，极限存在准则与两个重要极限，无穷小阶的比较教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因新课预热【教师】自我介绍，与学生简单互动，介绍课程定位、内容安排、考核要求等【学生】聆听、互动【教师】讲述一些用高等数学解决现实问题的例子，强调学习本课程的意义【学生】聆听、思考、理解问题导入【教师】提出问题：请大家思考现实生活中还有哪些与函数有关的应用？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解函数的的相关知识1.1函数1.1.1、区间和领域1.区间数集常用区间或邻域的形式表示．常见的区间有：开区间；闭区间；半开半闭区间，；无穷区间，，．2.领域设a是一实数，是一正数，则称集合为点a的邻域，记作，即．其中，点a称为邻域的中心，称为邻域的半径．1.1.2、函数的概念定义1设数集，若当变量x在数集D内任取一数值时，变量依照某一对应法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称y为x的函数，通常记作，．其中，x称为自变量，y称为因变量，自变量x的取值范围D称为函数的定义域，因变量y的取值集合称为函数的值域．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习1.1.3、函数的几种特性1.奇偶性2.单调性3.周期性4有界性1.1.4、反函数与复合函数1.反函数【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.复合函数【注意】教师讲解注意事项（1）不是任何两个函数都可以构成一个复合函数．例如，和就不能构成复合函数，因为对任意x，函数；而中必须才有意义．（2）复合函数可以有一个中间变量，也可以有多个中间变量．例如，，，复合成函数，这里u，v都是中间变量．（3）复合函数很多不是由纯粹的基本初等函数复合而成的，而是由基本初等函数经过有限次的四则运算形成的简单函数复合而成的，这种复合函数的合成和分解往往是对简单函数来说的．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习1.1.5、初等函数1.基本初等函数基本初等函数通常是指常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数2.初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合并且能用一个式子表示的函数称为初等函数3.分段函数有些函数，对于其定义域内自变量x不同的取值，不能用一个统一的数学表达式表示，而要用两个或两个以上的数学表达式表示，这类函数称为分段函数。【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点区间和邻域函数的性质反函数复合函数分段函数基本初等函数初等函数【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题1.1【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解数列的极限、函数的极限、无穷小与无穷大等相关知识1.2数列的极限1.2.1、数列极限的定义定义1对数列和常数a，若对任意给定的正数，总可以找到正整数N，使得所有满足的自然数n，都有成立，则称数列收敛于a，a称为数列的极限，记为．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习1.2.2、收敛数列的性质定理1（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限唯一．定理2（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界．定理3（收敛数列的保号性）如果数列收敛于，且（或），那么存在正整数，使得当时，有（或）成立．定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是．【注意】教师讲解注意事项在子数列中，一般项是第项，而在原数列中却是第项．显然，．【学生】聆听、思考、记录【问题讨论】教师提问1．若，能否得到结论：对任意给定的正数，总可以找到正整数，使得所有满足的自然数n，都有（或）成立？2．在数列极限定义的语言中对任意给定的正数，可否规定？3．有界数列是否一定收敛？发散的数列是否一定无界？4．如果数列收敛于，且，有（或），是否一定有（或）？5．若数列的任何子数列都收敛，那么此数列是否一定收敛？发散数列的子数列都发散吗？．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论1.3函数的极限1.3.1、函数极限的概念1.自变量趋于无穷时函数的极限定义1设在上有定义，为实常数，若对，，使得当时，有成立，则称函数在时，以为极限，记为或．【注意】教师讲解注意事项（1）这里的与相当于数列极限中的和．函数极限定义中，取时的所有实数，即连续地无限增大；而数列极限定义中，仅取时的正整数，即离散地无限增大．（2），保证时．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.自变量趋于有限值时函数的极限定义2设在的某个去心邻域上有定义，为实常数，若对，，使得当时，成立，则称函数当趋于时，以为极限，记作或．【注意】教师讲解注意事项（1）这里的相当于数列极限中的，表示与的接近程度，它不是唯一的，要通过确定．（2）函数在点处的极限只表示时的变化趋势，当时，函数的极限是否存在，与函数在点处有无定义以及在点处函数值的大小无关．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习1.3.2、函数极限的性质定理3（极限的唯一性）如果存在，则极限是唯一的．定理4（局部有界性）如果，则存在常数和，使得当时，有成立．局部有界性是指函数在的去心邻域内有界．定理5（局部保号性）设，如果（或），则，使得当时，（或）成立．【问题讨论】教师提问1．证明如下函数极限，并指出这些函数的极限有什么特点．（1）(C为常数)； （2）；（3）； （4）．2．从函数极限定义的角度考虑，若令，数列极限还可以怎样叙述？3．若对于，有，且，则是否一定有？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论1.4无穷小与无穷大1.无穷小的概念定义1在自变量的某一变化过程中，以0为极限的函数称为无穷小量，简称无穷小，常用，，等表示．【注意】教师讲解注意事项（1）无穷小是以0为极限的变量，它不是一个很小很小的数，如不是无穷小．（2）常数中只有“0”是无穷小．（3）变量是否为无穷小一定要考虑变化过程，同一个变量在不同的变化过程中，情况会不同．例如，当时，是无穷小，但当时，不是无穷小．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小的性质1.4.2、无穷大1.无穷大的概念定义2在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大，记作．【注意】教师讲解注意事项（1）无穷大必须是变量，它不是一个很大很大的数，如不是无穷大．（2）变量在变化过程中其绝对值越来越大且可以无限大时，才能称为无穷大．例如，当时，的值可以无限增大，但不是越来越大，所以它不是无穷大，但它是个无界量．（3）变量是否为无穷大一定要考虑变化过程，同一个变量在不同的变化过程中，情况会不同．例如，当时，是无穷大，但当时，是无穷小．2.无穷大与无穷小的关系【问题讨论】教师提问1．给出无穷小的定义．2．无穷小的性质与极限的性质有什么联系与区别？3．如何定义，？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点数列的极限函数的极限无穷小与无穷大【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题1.2、习题1.3和习题1.4【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解极限的运算法则、极限的求解方法、两个重要极限、以及无穷小量的比较等知识1.5极限的运算法则1.5.1、极限的四则运算法则【注意】教师讲解注意事项（1）法则要求每个参与运算的函数的极限都存在．（2）商的极限运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习1.5.2、复合函数的极限运算法则定理3设函数是由函数与复合而成的，在点的某个去心邻域上有定义，若，，且当时，，则．【问题讨论】教师提问若存在，存在，一定有存在．若不存在，不存在，是否一定有不存在？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论1.6极限存在准则与两个重要极限1.6.1、准则Ⅰ与第一个重要极限准则Ⅰ（夹逼准则）设数列，，满足：（1）时，；（2）(为常数)，则．【注意】教师讲解注意事项此定理在，，时依然成立．【注意】教师讲解注意事项（1），其中“”代表相同的变量，且是无穷小．（2）当所求极限是“”型且含有三角函数时，往往考虑适当变形后使用该结论来求极限．1.6.2、准则Ⅱ与第二个重要极限定义1如果数列满足，则称数列是单调增加的；如果数列满足，则称数列是单调减少的．单调增加数列与单调减少数列统称为单调数列．【注意】教师讲解注意事项（1）第二个重要极限是“”型．（2），其中“”代表相同的变量．（3）该极限的另一形式为，但．（4）利用这一重要极限求函数极限的关键是将底数写成形式或形式，然后对指数作相应的变换，从而在形式上出现．【学生】聆听、思考、记录【问题讨论】教师提问1．夹逼准则与极限的定义有何内在联系？2．单调增加（减少）有上界（下界）的数列一定是有界数列吗？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论1.7无穷小阶的比较【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．当时，与或是否是同阶无穷小或等价无穷小？2．若，，且存在，则是否成立？若结论正确请给予证明；若结论不正确请举反例。【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点极限的运算法则极限存在准则与两个重要极限无穷小阶的比较【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题1.5、习题1.6和习题1.7【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解函数连续的概念、函数连续的几何意义、函数的间断点、连续函数的四则运算、常见函数的连续性、以及闭区间上连续函数的性质等知识1.8函数的连续性【注意】教师讲解注意事项教师补充知识点（1）增量可以是正的，可以是负的，也可以是零．（2）记号并不表示与u的乘积，而是一个不可分割的整体．【学生】聆听、思考、记录1.8.1、函数的连续性【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习1.8.2、函数间断点的分类【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习1.8.3、初等函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性2.反函数的连续性3.复合函数的连续性【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习4.初等函数的连续性【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．函数在点处有定义、极限存在、连续三个结论有什么区别与联系．2．若函数在点处无定义，则点是函数的第一类间断点，还是第二类间断点？3．分段函数的分段点一定是间断点吗？4．举几个非初等函数的例子．5．求函数极限有哪些方法？（通过全章学习思考）。【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论1.9闭区间上连续函数的性质1.9.1、有界性与最值定理1.9.2、零点定理与介值定理【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点函数的连续性闭区间上连续函数的性质【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题1.8和习题1.9【学生】完成课后任务教学反思

课题第2章导数与微分课时10课时（450min）教学目标知识技能目标：（1）掌握导数的定义，理解导数的几何意义（2）掌握可导与连续的关系（3）掌握函数的和、差、积、商的求导法则（4）掌握复合函数的求导法则、理解反函数的导数（5）掌握函数的高阶导数定义（6）掌握函数的高阶导数的计算（7）掌握隐函数所确定的函数的求导法则（8）理解函数微分的概念，掌握微分的几何意义（9）熟练掌握微分的运算法则，了解微分的近似计算素质目标：（1）培养学生的观察能力和灵活运用能力（2）在学习导数的计算过程中，培养学生的逻辑思维能力与计算能力教学重难点教学重点：导数的定义，可导与连续的关系，函数的和、差、积、商的求导法则，函数的高阶导数定义，函数的高阶导数的计算，隐函数所确定的函数的求导法则教学难点：能利用导数公式、导数的四则运算法则求函数的导数，能够求复合函数的导数教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：什么是导数？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系等知识2.1导数的概念2.1.1、导数产生的背景【教师】讲解例题【学生】认真听讲2.1.2、导数的定义1．函数在一点处的导数定义1设函数在的某个邻域内有定义，当自变量x在点取得改变量（仍在该邻域内，且）时，相应有函数的改变量，若极限存在，那么称函数在点处可导，且极限值称为函数在点的导数，记为，即。【注意】教师补充知识点上述求极限公式中是常量，，，，才是变量．【教师】讲解例题，带领学生进行随堂练习，并补充知识点（1）在导数定义中，是函数在以和为端点的区间上的“平均变化率”；而导数是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．（2）在导数定义中，可正可负，式（2-1）中的极限是双侧的．如果将双侧极限换为单侧极限，随之便产生了左（右）导数的概念．【学生】认真听讲，并参与练习2．左导数和右导数【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3．函数的导函数【注意】教师补充知识点【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.1.3导数的几何意义【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.1.4函数可导性与连续性的关系定理1如果函数在点处可导，则函数在点处必连续．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．若存在，观察下列极限，指出表示什么？（1）； （2）；（3）．2．若函数在处可导，在什么情况下，在处也可导？3．总结求导数的步骤．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点导数产生的背景导数的定义导数的几何意义函数可导性与连续性的关系【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题2.1【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解导数的四则运算法则、反函数的求导法则、复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式等知识2.2求导法则与基本初等函数的导数公式2.2.1导数的四则运算法则【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.2.2反函数的求导法则定理2（反函数导数运算性质）若函数在区间上单调、可导，则其反函数在区间内可导，且，即。【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.2.3复合函数的求导法则【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.2.4基本初等函数的导数公式1．基本初等函数的导数公式2．基本初等函数的求导法则【问题讨论】教师提问1．设与在处都不可导，能否断定(，为常数)在处一定可导或一定不可导？2．若是的反函数，且在区间上单调可导，则其反函数的导数，这个结论正确吗？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点导数的四则运算法则反函数的求导法则复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题2.2【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解高阶导数的概念、高阶导数的计算等知识2.3高阶导数2.3.1高阶导数的概念2.3.2高阶导数的计算【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．初等函数在其定义域上有任意阶导数吗？2．莱布尼茨公式中的各项有什么特点？求n阶导数时，一般来说和如何确定先后，才方便求出的n阶导数？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点高阶导数的概念高阶导数的计算【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题2.3【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数等知识2.4隐函数与参数方程确定的函数的求导法则2.4.1隐函数的导数定义1在一个方程中，若在某一数集D内任意取值都有唯一确定的y使是该方程的解，那么就称在数集D上确定了一个隐函数．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.4.2由参数方程确定的函数的导数【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．关于，的方程都能确定是的函数吗？2．由参数方程确定的函数的导数为，则函数的二阶导数为，这一结论是否正确？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点隐函数的导数由参数方程确定的函数的导数【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题2.4【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解微分的定义、微分的几何意义、基本初等函数的微分与函数微分的运算法则、微分的应用等知识2.5函数的微分及其应用2.5.1微分的定义【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.5.2微分的几何意义2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则1．基本初等函数的微分公式2．函数微分的四则运算法则3．复合函数的微分法则【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.5.4微分的应用1．函数的近似计算【注意】教师补充知识点使用时，要注意先简化，保证，易求，且比较小．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*2．误差估计【注意】教师补充知识点通常，我们把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差．在实际问题中，绝对误差与相对误差是不可求的．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．解释函数在点可微与在点连续的关系，并说明理由．2．函数的微分与导数的概念有何区别与联系？由导数定义能推出微分定义吗？反之如何？3．微分用于函数值的近似计算有何优点与缺点？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点微分的定义微分的几何意义基本初等函数的微分与函数微分的运算法则微分的应用【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题2.5【学生】完成课后任务教学反思

课题第3章微分中值定理与导数的应用课时14课时（630min）教学目标知识技能目标：（1）掌握微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理（2）掌握洛必达法则的概念（3）掌握泰勒公式（4）掌握函数的单调性与凹凸性（5）掌握函数的极值与最值（6）掌握函数图形的描绘（7）掌握曲率的概念和计算公式素质目标：（1）培养学生感受数学的美，激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣（2）通过引导探究，开发学生的学习潜能，逐步培养学生养成运用数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯教学重难点教学重点：微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与凹凸性、函数的极值与最值、函数图形的描绘、曲率的概念和计算公式教学难点：洛必达法则、泰勒公式、函数图形的描绘、曲率的概念和计算公式教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：同学们知道哪些微分中值定理？中值定理成立的的条件是？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等知识3.1微分中值定理3.1.1罗尔定理费马引理设在的某一邻域内有定义，且在点处可导，如果对任意的，都有或，则定理1（罗尔定理）设在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点罗尔定理的三个条件缺一不可，只要缺少一个就不能保证结论成立．例如，，都不满足罗尔定理，因为在处不连续，在处不可导，的两端点函数值不相等，即【学生】聆听、思考、记录3.1.2拉格朗日中值定理定理2（拉格朗日中值定理）设函数在上连续，在内可导，则至少存在一点，使得．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3.1.3柯西中值定理定理3（柯西中值定理）设函数，在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得．【问题讨论】教师提问证明函数在区间上不满足罗尔定理，在区间上不满足拉格朗日中值定理。【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题3.1【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解型与型未定式、可化为型或型的未定式等知识3.2洛必达法则3.2.1型与型未定式【注意】教师补充知识点（1）如果仍为型或型未定式极限，且，满足定理1或定理2的条件，则可继续对利用洛必达法则求极限．（2）将定理1、定理2中的换为，，，，，结论仍成立。【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3.2.2可化为型或型的未定式【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问函数极限，是否存在？若存在，可否用洛必达法则求出？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点型与型未定式可化为型或型的未定式【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题3.2【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解泰勒公式、函数的单调性与凹凸性等知识3.3泰勒公式，称为函数按的幂展开的阶泰勒多项式．泰勒中值定理设在内具有阶导数，，则对有其中(介于与x之间)．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问给出求函数麦克劳林公式的一般方法．说明在一定精度要求下，用函数麦克劳林公式近似计算函数值的方法。【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论3.4函数的单调性与凹凸性3.4.1函数单调性的判别法【注意】教师补充知识点如果把闭区间换成其他各种区间，定理结论仍成立．如果只在上有限个点处的导数为0或导数不存在，定理结论仍成立．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点虽然函数单调性发生改变的分界点一定在函数导数为0的点和不可导点，但导数为0的点和不可导点不一定是函数单调性发生改变的分界点．例如，例4的不可导点就不是分界点．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3.4.2函数的凹凸性与拐点【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点函数二阶导数为0的点不一定是拐点；同样地，使二阶导数不存在的点也不一定是拐点．【问题讨论】教师提问1．举例说明函数导数为零的点和不可导点不一定是函数单调性发生改变的分界点．2．举例说明二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点，不一定是函数曲线的拐点．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点泰勒公式函数的单调性与凹凸性【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题3.3、3.4【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解函数极值及其求法、函数的最大值与最小值、曲线的渐近线、函数图形的描绘等知识3.5函数的极值与最值3.5.1函数极值及其求法【注意】教师补充知识点（1）函数的极值是在局部范围内定义的，是的极大值是指在的某个邻域上是的最大值，就的整个定义域来说不一定是最大值，关于极小值也有类似的结论．（2）极值只能是区间内部的点，不能在区间端点上取得．（3）极小值不一定比极大值小，如图3-10所示（详见教材）．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点定理2中，当时，点可能是极值点，也可能不是极值点．例如，对于函数，是驻点，且，是的极小值点；对于函数，是驻点，且，但不是的极值点．因此，当时，还要用第一充分条件判别点是否是极值点．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3.5.2函数的最大值与最小值【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．驻点一定是极值点吗，函数的极值点会在哪些点取得？2．极值与最值有何区别与联系？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论3.6函数图形的描绘3.6.1曲线的渐近线【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3.6.2函数图形的描绘定义1如果曲线上的点沿曲线无限远离原点时，点到一条直线的距离趋近于0，则这条直线就称为曲线的渐近线．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问描绘函数图形时主要应关注哪些问题？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点函数极值及其求法函数的最大值与最小值曲线的渐近线函数图形的描绘【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题3.5、3.6【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解弧微分、曲率的概念及计算公式、曲率圆与曲率半径等知识3.7曲率3.7.1弧微分【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3.7.2曲率的概念及计算公式【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3.7.3曲率圆与曲率半径【注意】教师补充知识点曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数，曲率半径越大，曲率越小，反之曲率越小，曲率半径越大．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问曲率与曲率半径有何关系？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点弧微分曲率的概念及计算公式曲率圆与曲率半径【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题3.7【学生】完成课后任务教学反思

课题第4章不定积分课时8课时（360min）教学目标知识技能目标：（1）理解原函数与不定积分的概念（2）理解不定积分的基本性质（3）熟记不定积分的基本积分公式（4）掌握不定积分的换元积分法（5）利用换元法求不定积分（6）掌握不定积分的分部积分法（7）利用分部积分法求不定积分素质目标：（1）培养学生善于洞察研究对象本质的能力，掌握数学知识间的逻辑结构，形成恰当的推理并作出正确的猜想（2）通过积分的运算，训练学生的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度教学重难点教学重点：不定积分的基本积分公式、不定积分的换元积分法、不定积分的分部积分法教学难点：应用不定积分的基本积分公式、应用换元法求不定积分、应用分部积分法求不定积分教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：已知一个函数的导数（或微分），如何求这个函数？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、基本积分公式、不定积分的基本性质等知识4.1不定积分的概念与性质4.1.1原函数与不定积分的概念定义1如果在区间上，可导函数的导数为，即对任意，都有或，那么函数就称为在区间I上的原函数．定理如果函数在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数，使对任意都有．【注意】教师补充知识点（1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．（2）求不定积分，只需求出它的某一个原函数，再加上一个任意常数C，即，其中为任意常数．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习4.1.2不定积分的几何意义【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习4.1.3基本积分公式由不定积分的定义可直接推出下列运算关系：（1）或；（2）或．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习4.1.4不定积分的基本性质性质1(k是常数，)．性质2．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．如何理解不定积分与导数运算的互逆关系？2．一个函数如果存在原函数，它一定有无数个原函数吗？3．如何理解公式？。【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点原函数与不定积分的概念不定积分的几何意义基本积分公式不定积分的基本性质【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题4.1【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解换元积分法、分部积分法等知识4.2换元积分法4.2.1第一类换元法定理1（第一类换元法）设具有原函数，可导，则有换元公式．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点一般情形：．【学生】认真听讲【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点一般情形：．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师讲解注意事项当被积函数是三角函数的乘方时，可以拆开奇次项去凑微分．【学生】认真听讲4.2.2第二类换元法定理2（第二类换元法）设是单调、可导函数，并且，具有原函数，则有换元公式，其中是的反函数．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：（1）当被积函数中含有，可令；（2）当被积函数中含有，可令；（3）当被积函数中含有，可令．【学生】聆听、思考【问题讨论】教师提问1．第一类换元法的思想是什么，步骤有哪些？2．说明第一类换元法的各种常见形式．3．第二类换元法有哪几种常见类型？。【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论4.3、分部积分法定理1设函数，具有连续的导数，则．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点例1和例2本身就是的结构，可以直接利用分部积分公式．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点采用上面这种选择方式，积分能很顺利地计算出，但如果作如下的选择：令，，即，则，显然积分会变得更加复杂，难以解出．由此可见，利用分部积分公式的关键是恰当地选择u和．如果选择不当，就会使原来的积分变得更加复杂．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会还原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，这称为“循环法”，但要注意两次凑微分函数的选择要一致．【学生】聆听、思考【问题讨论】教师提问1．可以用分部积分法的类型有哪些？2．对于各种不同类型的积分，如何选择u，v？3．举例说明循环法适用的不定积分的类型．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点换元积分法分部积分法【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题4.2、4.3【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解有理函数的积分、三角函数有理式的积分等知识4.4几种特殊类型函数的积分4.4.1有理函数的积分【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习4.4.2三角函数有理式的积分【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．如何将有理假分式化为多项式+有理真分式？2．如何拆分有理真分式？有何方法和规律？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点有理函数的积分三角函数有理式的积分【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题4.4【学生】完成课后任务教学反思

课题第5章常微分方程课时12课时（630min）教学目标知识技能目标：（1）掌握常微分方程的基本概念（2）掌握一阶微分方程（3）掌握可降阶的微分方程（4）掌握二阶线性微分方程解的结构（5）掌握二阶常系数性微分方程素质目标：（1）培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识不同类型微分方程之间的关系，培养学生善于探索的思维品质（2）培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质教学重难点教学重点：常微分方程、一阶微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程解、二阶常系数性微分方程教学难点：二阶线性微分方程解、二阶常系数性微分方程教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：在研究问题时，人们通常会用函数表达事物内部之间的联系．但是在解决问题的过程中，往往很难找到所需的函数关系，但却容易找到未知函数及其导数或微分与自变量之间的关系．这种关系式就是所谓的微分方程．你能举出几个现实中的例子吗？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解微分方程的基本概念、一阶微分方程等知识5.1微分方程的基本概念5.1.1引例【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习5.1.2基本概念定义1含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程，称为微分方程，简称方程．未知函数为一元函数的方程称为常微分方程；未知函数为多元函数的方程称为偏微分方程．本章只讨论常微分方程．定义2微分方程中所含未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点这里必须指出，在阶微分方程中，是必须出现的，而等变量则可以部分或全部不出现．例如，方程就是阶微分方程，除以外，其余变量都没有出现.【学生】聆听、思考、记录定义3任何能满足微分方程的函数都称为微分方程的解．如果阶微分方程的解中含有个彼此独立的任意常数，则称该解为方程的通解．通解中的任意常数确定后，则称其为特解．【注意】教师补充知识点通解中的任意常数必须是相互独立的，即它们之间不存在相关性，因此不能把两个或多个常数合并成一个常数．例如，例2的通解中，是相互独立的，不能合并；而，它是的解，但不是通解，因为不是两个独立的任意常数，它们可以合并成为一个任意常数.【学生】聆听、思考、记录定义4用来确定任意常数的条件称为初始条件或初值条件．求一阶微分方程满足初始条件的特解的问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．微分方程的通解中是否包含方程的所有解？2．当n阶微分方程的解中含有n个任意常数时，该解是否为方程的通解？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论5.2一阶微分方程5.2.1可分离变量微分方程定义1如果一阶微分方程可以化为的形式，则称该方程为可分离变量的微分方程.【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习5.2.2齐次型微分方程定义2一阶微分方程中，若能写成的函数，即，则称为齐次型微分方程，简称齐次方程。【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习5.2.3一阶线性微分方程定义3形如的方程称为一阶线性微分方程（因为它对于未知函数及其导数是一次方程），其中，是的已知连续函数【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点在用公式求解一阶非齐次线性微分方程时，应先将方程化为标准形式，才能正确找出对应的，.【学生】聆听、思考、记录*5.2.4伯努利方程定义4方程称为伯努利方程．当或时，方程就是线性微分方程【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．一阶齐次线性微分方程与齐次方程是否相同？2．一阶非齐次线性微分方程有哪些解法？*3．伯努利方程和一阶非齐次线性微分方程有何区别【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点微分方程的基本概念一阶微分方程【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题5.1、5.2【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解可降阶的微分方程、二阶线性微分方程解的结构等知识5.3可降阶的微分方程5.3.1型【注意】教师补充知识点此方程解法可推广到更高阶的微分方程．例如，，只要将其连续积分次，就可以得到方程的通解.【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习5.3.2型【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习5.3.3型【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问比较可降阶的微分方程型与型解法的区别．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论5.4二阶线性微分方程解的结构定义1形如的微分方程称为二阶线性微分方程．其中为定义在某区间上的连续函数，若，则称方程是二阶非齐次线性微分方程；若，则方程变为，称为对应于前一个方程的二阶齐次线性微分方程，称为自由项．5.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构定理1设都是方程（5-23）的解，则也是该方程的解，其中为任意常数．定理2如果是方程（5-23）的两个线性无关的解，则线性组合(为任意常数)是该方程的通解．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习5.4.2二阶非齐次线性微分方程解的结构定理3设是方程（5-22）的一个特解，是对应的二阶齐次线性微分方程（5-23）的通解，则是二阶非齐次线性微分方程（5-22）的通解【问题讨论】教师提问1．如果个函数线性无关，应该满足什么条件？2．设，为任意常数，是方程（5-23）的两个解，那么是否为该方程的通解？3．设是二阶非齐次线性微分方程的三个线性无关的解，如何利用这三个解来表示该方程的通解？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点可降阶的微分方程二阶线性微分方程解的结构【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题5.3、5.4【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解型与型未定式、可化为型或型的未定式等知识5.5二阶常系数线性微分方程定义1在线性方程中，如果，为常数，即称该方程为二阶常系数线性微分方程．当时，方程（5-27）称为二阶常系数非齐次线性微分方程．当时，称为二阶常系数齐次线性微分方程．5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习5.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法1．型【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．型【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．在二阶常系数齐次线性微分方程的通解推导过程中，当特征方程有两个相等实根，即时，特解除了可以取，还可以取其他形式吗？2．若阶常系数齐次线性微分方程的特征根为个相异的实根，其通解形式是什么？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论5.6微分方程的应用举例【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点二阶常系数线性微分方程微分方程的应用举例【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题5.5、5.6【学生】完成课后任务教学反思

课题第6章定积分课时8课时（360min）教学目标知识技能目标：（1）理解定积分的概念（2）理解定积分的几何意义（3）理解定积分的基本性质（4）掌握微积分基本公式的应用（5）掌握定积分换元积分法和分部积分法的应用（6）理解无穷极限和无界函数反常积分素质目标：（1）通过积分的运算，训练学生的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度（2）培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质教学重难点教学重点：微积分基本定理的应用、定积分换元积分法和分部积分法的应用教学难点：利用定积分的基本性质进行计算教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：什么是定积分？定积分与不定积分有何区别？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解定积分的概念与性质6.1定积分的概念与性质6.1.1定积分问题举例1．曲边梯形的面积由非负连续曲线和直线，及轴所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。2．变速直线运动的路程6.1.2定积分的定义【注意】教师补充知识点关于定积分的定义，必须说明下列几点：（1）一般把称为的积分和．所谓和式的极限存在，是指不论对怎样分，也不论在小区间上点怎样取，极限都存在且相等．（2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即．（3）当时，．当时，．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习6.1.3定积分的性质性质1（线性性质）．式中的是常数．性质2（积分区间的可加性）．式中的可在内，也可在外．例如，当时，有．性质3如果在区间上，则．性质4（比较性质）如果在区间上，则．性质5（估值定理）设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则．性质6（积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使得．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点（1）不论还是，积分中值定理都成立．（2）通常称为积分平均值，它是连续函数在区间上的平均值．【问题讨论】教师提问1．在定积分的定义中，能否将改为？为什么？2．能否用定积分计算数列的极限？试举例说明．3．若函数在上可积，则在上有界吗？反之成立吗？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点定积分问题举例定积分的定义定积分的性质【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题6.1【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解微积分基本公式6.2微积分基本公式6.2.1引例6.2.2积分上限函数及其导数定理1如果函数在区间上连续，则函数在上可导，且其导数为．定理2设函数在区间上连续，则函数是在上的一个原函数．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习6.2.3牛顿-莱布尼茨公式定理3（微积分基本公式）如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点当被积函数中含有绝对值时，应先结合积分区间将绝对值去掉再求值．【问题讨论】教师提问1．关于积分下限函数，是否有类似于定理1的结果？能否给出更一般的表达式？2．利用定义计算几个简单函数的定积分，并验证牛顿-莱布尼茨公式的正确性【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点积分上限函数及其导数牛顿-莱布尼茨公式【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题6.2【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解定积分的换元法和分部积分法等知识6.3定积分的换元法和分部积分法6.3.