重点中学数学教材全解（七年级上册）

重点中学数学教材全解（七年级上册）注意：1.有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都是有理数。例如：0.3=3/10，0.333...=1/3。2.无限不循环小数不能化为分数，因此不是有理数，我们称之为无理数（如π，这将在后续学习中接触到）。3.0是一个特殊的有理数，它既不是正数也不是负数。1.2.3数集的概念把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有有理数组成的数集叫做有理数集。类似地，有整数集、分数集、正数集、负数集、正整数集、负整数集等等。典型例题精析例3：把下列各数填入表示它所在数集的圈里：-18，22/7，3.1416，0，2023，-3/5，-0.____，95%分析：根据有理数的两种分类方法，先判断每个数的属性，再填入相应的集合。注意0既不是正数也不是负数，但它是整数。解：正数集：22/7，3.1416，2023，95%负数集：-18，-3/5，-0.____整数集：-18，0，2023分数集：22/7，3.1416，-3/5，-0.____，95%（95%=19/20，是分数）例4：下列说法正确的是（）A.有理数就是正数和负数的统称B.整数一定是正数C.分数一定是有理数D.0是最小的有理数分析：A选项：有理数包括正数、负数和0，故A错误。B选项：整数包括正整数、0和负整数，故B错误。C选项：整数和分数统称有理数，所以分数一定是有理数，C正确。D选项：没有最小的有理数，因为负有理数可以无限小，故D错误。解：C方法指导：理解有理数的概念和分类是本节的重点。在分类时，要明确分类标准，不重不漏。特别注意0的归属以及小数与分数的关系。---1.3数轴1.3.1数轴的概念与三要素数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：1.原点：在直线上选取的一个点表示数0，这个点叫做原点。2.正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，用箭头表示。3.单位长度：选取适当的长度作为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，...；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，...。注意：*数轴是一条直线，可以向两端无限延伸。*三要素缺一不可，是判断一条直线是否为数轴的依据。*单位长度的选取要根据实际需要，可长可短，但在同一条数轴上，单位长度必须统一。1.3.2数轴上的点与有理数的对应关系*任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。*正数用原点右边的点表示。*负数用原点左边的点表示。*0用原点表示。*反之，数轴上的任意一个点是否都表示有理数呢？（答案是否定的，它可以表示无理数，如π，这将在以后学习）1.3.3利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。根据这个规定，可以得到：*正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。*两个正数比较大小，绝对值大的数大（后续学习绝对值）。*两个负数比较大小，绝对值大的数反而小（后续学习绝对值）。典型例题精析例5：画出数轴，并在数轴上表示下列各数：4，-2，-4.5，1/2，0，-1/3分析：画数轴时，先画一条直线，确定原点，标出正方向，再根据需要选取合适的单位长度。然后根据各数的正负和绝对值在数轴上找到对应的点。解：（此处应有数轴图像，文字描述如下）1.画一条水平直线，在直线中间选取一点为原点O。2.规定向右为正方向，画上箭头。3.选取适当长度为单位长度，在原点右边依次标出1，2，3，4；原点左边依次标出-1，-2，-3，-4，-5。4.在数轴上标出各点：*4在原点右边第4个单位长度处。*-2在原点左边第2个单位长度处。*-4.5在原点左边第4.5个单位长度处（即-4和-5中间）。*1/2在原点右边第0.5个单位长度处（即0和1中间）。*0在原点处。*-1/3在原点左边第1/3个单位长度处（即0和-1之间靠近0的地方）。例6：在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”号连接起来：3，-1，0，-2.5，1.5，-3/2分析：先在数轴上准确标出各点，然后根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的原则进行排序。解：（此处应有数轴图像）在数轴上表示后，从左到右的顺序为：-2.5，-3/2，-1，0，1.5，3。所以，-2.5<-3/2<-1<0<1.5<3。方法指导：数轴是数形结合思想的重要工具。画数轴时务必规范，三要素齐全。利用数轴比较数的大小直观明了，是学好有理数大小比较的基础。---1.4相反数1.4.1相反数的概念相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。例如：*5和-5互为相反数，即5的相反数是-5，-5的相反数是5。*2/3和-2/3互为相反数。*-(-3)的相反数是什么？（先化简，-(-3)=3，所以它的相反数是-3）理解相反数的几点注意：1.“只有符号不同”是指除了符号外，数字部分完全相同。例如：-3和5不是相反数，因为数字部分不同。2.“互为”一词表明相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数。应该说“a是b的相反数”或“a和b互为相反数”。3.0的相反数是它本身，这是一个特殊规定。1.4.2相反数的几何意义在数轴上，表示互为相反数的两个点（0除外），分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。1.4.3相反数的表示方法一般地，数a的相反数可以表示为-a。这里的a可以是正数、负数或0。*当a是正数时，-a是负数。*当a是负数时，-a是正数。*当a是0时，-a是0。例如：*a=5，则-a=-5。*a=-7，则-a=7。*a=0，则-a=0。多重符号的化简：一个数前面有多个“+”或“-”号时，化简的规律是：*“+”号可以全部省略。*“-”号的个数是偶数个时，结果为正；“-”号的个数是奇数个时，结果为负。即“奇负偶正”（只看“-”号的个数）。例如：*-(-3)=3（两个“-”号，偶正）*-(+5)=-5（一个“-”号，奇负）*+(-4)=-4（一个“-”号，奇负）*-[-(+2)]=-(-2)=2（两个“-”号，偶正）典型例题精析例7：写出下列各数的相反数：3，-7，-2.8，0，3/4，-(-1)分析：根据相反数的定义，在每个数前面加上“-”号（0的相反数是0）。注意化简多重符号。解：3的相反数是-3；-7的相反数是7；-2.8的相反数是2.8；0的相反数是0；3/4的相反数是-3/4；-(-1)=1，所以-(-1)的相反数是-1。例8：化简下列各数：(1)-(+0.78)(2)-(-3/5)(3)+(-2)(4)-[-(-4)]分析：根据多重符号化简的规律“奇负偶正”进行化简。解：(1)-(+0.78)=-0.78（一个“-”号）(2)-(-3/5)=3/5（两个“-”号）(3)+(-2)=-2（一个“-”号）(4)-