《概率论与数理统计》期末考试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试题及答案一、选择题（每小题3分，共15分）1.设A、B、C为三个随机事件，已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(C)=0.6，P(AB)=0.2，P(AC)=0.3，P(BC)=0.25，且P(ABC)=0.1，则P(A∪B∪C)=（）A.0.85B.0.90C.0.95D.1.002.已知P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A|B)=0.6，则下列结论正确的是（）A.A与B互斥B.A与B独立C.P(B|A)=0.5D.P(AB)=0.353.设F(x)为随机变量X的分布函数，则下列说法错误的是（）A.F(x)是单调非减函数B.F(x)右连续C.F(-∞)=0，F(+∞)=1D.对任意x，P(X=x)=F(x)-F(x-)4.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=0，则（）A.X与Y独立B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.E(XY)=E(X)E(Y)D.以上都不对5.设X₁,X₂,…,Xₙ为独立同分布的随机变量，E(Xᵢ)=μ，D(Xᵢ)=σ²>0，当n充分大时，根据中心极限定理，样本均值¯XA.N(μ,σ²)B.N(nμ,nσ²)C.N(μ,σ²/n)D.N(0,1)二、填空题（每小题4分，共20分）1.设随机变量X服从参数为p=0.3的几何分布，即P(X=k)=(1-p)^{k-1}p（k=1,2,…），则P(X>3)=________。2.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律如下：Y\X1200.2a1b0.1已知X的边缘分布律为P(X=1)=0.5，P(X=2)=0.5，则a=________，b=________。3.设随机变量X服从指数分布，且P(X>1)=e^{-2}，则X的期望E(X)=________，方差Var(X)=________。4.设总体X的概率密度为f(x;θ5.设总体X~N(μ,4²)，从中抽取容量为16的样本，样本均值¯x三、计算题（共55分）1.（10分）某电子厂有三条生产线生产同一种芯片，第一条生产线的产量占30%，第二条占50%，第三条占20%。已知第一条、第二条、第三条生产线的次品率分别为2%、1%、3%。现从该厂生产的芯片中随机抽取1件，求：（1）该芯片是次品的概率；（2）若抽到的是次品，求它来自第二条生产线的概率。2.（12分）设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x（1）求常数k；（2）求X的边缘概率密度f_X(x)和Y的边缘概率密度f_Y(y)；（3）判断X与Y是否独立（说明理由）；（4）求条件概率密度f_{X|Y}(x|y)（y>0时）。3.（10分）设随机变量X~N(1,4)，Y~N(2,9)，且X与Y独立，令Z=2X-Y+3，求Z的概率密度f_Z(z)。4.（11分）设总体X的概率密度为：f(x其中λ>0为未知参数，X₁,X₂,…,Xₙ为来自X的简单随机样本，观测值为x₁,x₂,…,xₙ（均大于0）。（1）求λ的矩估计量；（2）求λ的极大似然估计量；（3）判断是否为无偏估计（说明理由）。5.（12分）某食品厂声称其生产的饼干每袋平均重量为250克。现从一批产品中随机抽取25袋，测得样本平均重量为253克，样本标准差为5克（假设重量服从正态分布）。（1）在显著性水平α=0.05下，检验该厂声称是否成立（H₀:μ=250vsH₁:μ≠250）；（2）若实际平均重量μ=252克，求该检验的功效（β错误的概率，Z₀.₀₂₅=1.96，Z₀.₀₅=1.645，结果保留两位小数）。四、应用题（10分）某快递公司对某区域的快递送达时间进行统计，已知送达时间X（单位：分钟）服从正态分布N(μ,σ²)，其中σ=10分钟。现随机抽取100个快递，测得样本平均送达时间为45分钟。（1）求μ的99%置信区间（Z₀.₀₀₅=2.576）；（2）若要求置信区间的误差不超过2分钟，在95%置信水平下（Z₀.₀₂₅=1.96），至少需要抽取多少个快递？答案一、选择题1.A2.B3.D4.B5.C二、填空题1.=0.3432.a=0.3，3.E(X)4.=¯X（其中5.(10三、计算题1.（1）设Aᵢ表示“芯片来自第i条生产线”（i=1,2,3），B表示“芯片是次品”。由全概率公式：P(（2）由贝叶斯公式：P(2.（1）由联合密度归一化条件：∈∈f(（2）X的边缘密度：(xY的边缘密度：(y（3）不独立。因为f(x,（4）当0<y<1时，(x3.因X~N(1,4)，Y~N(2,9)，且独立，故Z=2X-Y+3的期望为：E(方差为：D(因此Z~N(3,25)，概率密度为：(z4.（1）一阶矩E(X)=∈（2）似然函数L(λ)−∑=0（3）=，而E(¯X)