安徽黄山市屯溪区第一中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷（含答案）

安徽黄山市屯溪第一中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题一、单选题1．若（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（

）A． B． C． D．3．如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（

）A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（

）A． B． C．4 D．6．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（

）A．1 B．2 C．4 D．87．等腰梯形中平行于，，，，为线段上任意一点，则的最小值是（

）A． B． C．4 D．8．棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为10．设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积可能为（

）A． B． C． D．11．在△ABC中，角的对边分别为，且则下列说法正确的是（

）A．为钝角三角形B．C．若为边的中点，则|AM|的取值范围为D．三、填空题12．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则正四棱锥的侧面积为________.13．已知，是两个互相垂直的单位向量，若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围___________．14．若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______．四、解答题15．已知复数，且为纯虚数．(1)求复数；(2)若复数，求复数的模．16．在中,内角所对的边分别为,已知,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求的周长17．在中，内角的对边分别为，其中，分别以直角边和斜边所在的直线为轴，旋转形成的几何体的体积分别是．(1)若，求：的最大值；(2)探究的关系；依据探究所得，若，求的最小值18．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．(1)求角．(2)为边上一点，且．①若，求当取最小值时的值；②若为角平分线，求的取值范围．19．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根重根按重数计下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，容易得到设实系数一一元三次方程①在复数集C内的根为、、，可以得到，方程①可变形为展开得：②比较①②可以得到根与系数之间的关系：阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：已知函数，函数的图象上有四个不同的点A、B、C、(1)对于方程在复数集C内的根为、、，求的值；(2)已知函数，对于方程在复数集C内的根为、、，当时，求的取值范围.(3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设，求代数式的值.参考答案1．C【详解】,所以,.2．B【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则.3．C【详解】依题意得，且，又平面平面，所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱.4．B【详解】因为该三角形有两解，所以，即，所以的取值范围是.5．A【详解】因为，，在中，由正弦定理可得，则．在中，由正弦定理可得，则．在中，由余弦定理可得，则．6．D【详解】过作交轴于点，可得，因为，所以为等腰直角三角形，所以，根据斜二测画法，可得，如图所示，则，所以的面积，故选项D正确.7．B【详解】以为原点，建立如图平面直角坐标系，则，，.设，，则，，所以.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.8．C【详解】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值，

设正方体为，球，的半径分别为，，作出对角线及球心，所在的截面，如图所示，正方体的棱长为，，在直角中，，，，，，，，解得，即正方体的棱长的最小值为，所以故选：C.9．ABD【详解】对于A，由，得，即，解得，则，而，因此，A正确；对于B，由，得，B正确；对于C，，C错误；对于D，在上的投影向量为，D正确.10．AB【详解】由题意知为等边三角形且其面积为，故，即得，设的外接圆圆心为，设三棱锥的外接球球心为O，因为平面，当共线且O位于之间时，设外接圆的半径r，则，由于平面，平面，故，而，故，所以点D到平面的最大距离为，点D到平面的最小距离为，所以三棱锥体积的最大值为，最小体积为．所以三棱锥的体积可能为或.故选：AB．11．ACD【详解】对于A，因，，由余弦定理得，整理得，即角为钝角，所以是钝角三角形，A正确；对于B，.而，，B错误；对于C，由中线长公式，​，则.在△ABC中，有，且，则得，解得，进而，即得​，故，C正确；对于D：由正弦定理，​，​，则等价于,即，即,也即(*)，因，则​​，故，当且仅当时取等.即(*)成立,故不等式恒成立，D正确.12．.【详解】正四棱锥底面边长为2，高为3，则侧面的高，故此正四棱锥的侧面积．故答案为．13．【详解】设.∵是互相垂直的单位向量，∴.两向量夹角为钝角且与不反向共线.计算数量积，由得.排除反向共线：设，则，解得.当时，夹角为（不是钝角），故应舍去.综上，的取值范围是.14．【详解】根据题意，设三角形的三条边长分别为，对应的三个角分别为，因为最大角是最小角的2倍，所以.根据正弦定理得，而，所以，化简得①.根据余弦定理得②，①②联立得，化简解得，所以三角形三条边长分别为.又，所以，所以.所以该三角形的面积为.15．(1)(2)【详解】（1）因为复数，且为纯虚数，所以，解得，故.（2），所以，则，故.16．(1)；(2)【详解】（1）

由正弦定理得：即：

（2）

由余弦定理得：

的周长17．(1)(2)【详解】（1）若绕旋转：斜边上的高，体积，当时，，所以，当且仅当时等号成立，此时，即几何图形体积的最大值为．（2）因为，所以，当，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.18．(1)(2)①；②【详解】（1），由正弦定理得：，展开得：，，而,，故，，，，故．（2）①，，，，，根据余弦定理：，，令，则，则当且仅当时等号成立，解得：时，时，取最小值．②为的角平分线在中，由正弦定理得，即，,,，．又，,，，当且仅当时等号成立，故19．(1)11；(2)；(3).【详解】（1）将变形，已知，则方程为，由材料得这里，若根为，根据根与系数的关系有，，（2）由题有的三个实根为，设，展开得，故，则，又，故，综上：当时，的取值范围为；（3）设菱形的对角线的交点为M点，坐标为，先证点M为函数的对称中心，证明如下：由题意，A，