2025-2026学年高二下学期期中考查数学试题含答案

高中2025~2026学年度第二学期期中考查高二数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.曲线在点处切线的斜率为（）A.-3 B.-1 C.1 D.32.的展开式的第2项是（）A. B. C. D.13.函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.54.从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A. B. C. D.5.在的展开式中，含的项的系数是（）A.120 B.15 C. D.6.如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（）A. B.C. D.7.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为A. B.C. D.以上都不对8.记，，则（）A. B. C.0 D.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种B.从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法C.有三张相同的参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法10.某人有10000元全部用于投资，现有甲、乙两种股票可供选择，已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元，则下列说法正确的有（）表1：甲每股收益的分布列收益元-102概率0.10.30.6表2：乙每股收益的分布列收益元012概率0.30.30.4A.甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望B.相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥C.此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元D.收益的方差之和最小时，此人是按照1:1的资金分配方式投资甲、乙两种股票的11.设函数，则下列说法正确的是（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若，则n的值是______．13.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为3%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________．14.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．四、解答题：（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步漂．）15.（1）解方程：；（2）求所有满足且的的值．16.已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值．17.江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品．（1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率；（2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望．18.已知函数．（1）当时，若，当且仅当时，求．（2）若是的极大值点，求．19.品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级．

现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．(Ⅰ)写出的可能值集合；(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．2025~2026学年度第二学期期中考查高二数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.曲线在点处切线的斜率为（）A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】A【解析】【详解】，当时，y'=−3×12.的展开式的第2项是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【详解】展开式第二项为．3.函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数极值点的个数为4个.故选：C.4.从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】袋中原来有个小球，其中白球有个，已知第一次抽到白球，则第一次抽取后：袋中还剩个小球，白球还剩个，所以在“第一次抽到白球”这个条件下，第二次抽到白球的概率为5.在的展开式中，含的项的系数是（）A.120 B.15 C. D.【答案】C【解析】【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可得解.【详解】在中，需要从个因式中的个因式中选择，另个因式中选择常数，相乘即可得到含的项，故含的项的系数为.故选：C.6.如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，根据面积函数的变化趋势，结合图象的变化率先变大在变小，即可求解.【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数，且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小，结合选项，可得选项D复合题意.故选：D.7.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为A. B.C. D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式，分别求出包含事件的基本事件数与基本事件总数即可求得结果.【详解】由于珠子在每个岔口处有“向左”和“向右”两种情况，因为基本事件总数为，而从出口3出来的每条路线中有2个“向右”和3个“向左”，即共有条路线，故所求的概率为.故选:A.8.记，，则（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根据初等函数导数公式及导数运算法则求，观察其规律，确定，由此可得结论.【详解】因为，所以，，，，，，，，，观察可得，所以，所以，故选：C.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种B.从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法C.有三张相同的参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法【答案】ABD【解析】【分析】利用分步乘法原理判断A，利用排除法求解判断B，确定参观券无区别，用组合法求方法数判断C，用插空法求解判断D．【详解】对A，每封信投入邮筒的方法都有3种，因此由分步乘法原理知方法数为，A正确；对B，可以任选4人，去除全是男的或全是女的选法，方法数为，B正确；对C，参赛券没有区别，方法数应为，C错；对D，先排丙、丁二人，然后甲乙二人插入，方法数为，D正确．10.某人有10000元全部用于投资，现有甲、乙两种股票可供选择，已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元，则下列说法正确的有（）表1：甲每股收益的分布列收益元-102概率0.10.30.6表2：乙每股收益的分布列收益元012概率0.30.30.4A.甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望B.相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥C.此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元D.收益的方差之和最小时，此人是按照1:1的资金分配方式投资甲、乙两种股票的【答案】BC【解析】【分析】先分别求出甲、乙两种股票每股收益的数学期望与方差，由数学期望可判断A；由方差可判断哪一种股票更稳妥，从而判断B，设投资甲种股票元，则投资乙种股票元，利用独立随机变量方差可加性，建立方差关于的二次函数，即可判断C，D.【详解】设甲、乙两种股票每股收益分别为随机变量.对于甲种股票，EX又EX所以DX对于乙种股票，EY又EY所以DY判断A：因为EX所以甲每股收益的数学期望不大于乙每股收益的数学期望，故A错误.判断B：因为DX在平均收益相同的情况下，乙种股票收益波动更小，因此投资乙种股票更稳妥，故B正确,判断C：设投资甲种股票元，则投资乙种股票元，由于买入价都是每股元，所以分别买入甲、乙两种股票的股数就是于是甲、乙两部分收益分别为xX,10000−x它们的数学期望之和为E=1.1x+1.110000−x所以不论怎样分配资金，收益的数学期望之和都为元，故C正确.判断D：由独立性知，总收益的方差为D=1.29x设fx则是开口向上的二次函数，其最小值在顶点处取得.令f'得1.29x=0.6910000−x解得此时所以最优分配比为x:10000−x并不是故D错误.11.设函数，则下列说法正确的是（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，【答案】BCD【解析】【分析】利用求导判断函数的单调性，即可判断A项；利用函数单调性即可判断B，C项，利用作差比较法即可判断D项.【详解】对于A，由求导得，由得或，由得，即函数在和上单调递增，在上单调递减，即是的极大值点，故A错误；对于B，当时，，由A项知函数在上单调递增，则，故B正确；对于C，当时，，由A项知函数在上单调递减，故，因，则，故C正确；对于D，因，则，因，则，故，即此时，故D正确.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若，则n的值是______．【答案】10【解析】【分析】根据组合数的性质，结合条件，即可得答案.【详解】根据组合数的性质，且，所以.故答案为：1013.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为3%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________．【答案】0.032【解析】【详解】设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，PA1取到的零件是次品的概率为P(B)=P=20%14.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.【详解】解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，即方程在区间上有解，设函数，其导数，又由，可得：当时，为减函数，当时，为增函数，故函数有最小值，又由；比较可得：，故函数有最大值，故函数在区间上的值域为；若方程在区间上有解，必有，则有，即的取值范围是；故答案为：；【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题,函数零点问题的拓展.由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.四、解答题：（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步漂．）15.（1）解方程：；（2）求所有满足且的的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）（2）利用排列数的阶乘计算公式化简求解即得.【详解】（1）因，则，即，又且，则得．（2）由得，因为且，则得，即，解得；由得，化简得，即，解得或，又因为，，所以且，故．16.已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是（）；单调递增区间是（Ⅱ）见解析【解析】【详解】（Ⅰ）令，得．与的情况如下：x（）（—0+↗↗所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是（Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，所以（x）在区间[0，1]上的最小值为当时，由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为；当时，函数在[0，1]上单调递减，所以在区间[0，1]上的最小值为17.江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品．（1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率；（2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）记

为“恰好获得1个纪念品”，列出事件包含的子事件，求出这些子事件的概率再求和即可；（2）据题意得到

的可能值并求对应事件的概率，求

x

的分布列，再根据期望公式计算即得.【小问1详解】设每次抽中纪念品为事件，未抽中为事件

，且，

.记

为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况：第1次中，第2次未中，第3次未中：；第1次未中，第2次中，第3次未中：；第1、2两次均未中，则第3次必得：；所以.【小问2详解】记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则

的可能取值为1,2,3.；；.分布列.18.已知函数．（1）当时，若，当且仅当时，求．（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）本小问解题关键是将“若，当且仅当时”转化成“对，有”，利用导数，求出函数的单调性，从而求出的值；（2）根据极大值点处导函数为，且左侧单调递增，右侧单调递减，求出所有极值点，再讨论是否符号极大值即可.【小问1详解】解：由题意知的定义域为，当时，，则，令，则g'x当时，，∴在单调递减，当时，，∴在单调递增，又，∵在取极小值也是最小值，∴g(x)=f'x≥0在恒成立，∴在由题知，，当且仅当，则对，有，∵单调递增，∴是时的最小值，∴，代入得，∴，当时，，且在上单调递增，，当，则当，则，因此，当且仅当成立，综上，.【小问2详解】由，则f'令，．当，时，，单调递增，∴，即．∴在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．当时，令．则，显然单调递减，要使是的极大值点，则，即，且在两侧左正右负.注意到，即，①令，，∴当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴单调递减，又，∴当时，，即，当时，，即，∴在上单调递增，在上单调递减，∴是的极大值点，符合题意；②若，则，m'e−1