【奥数培优·六年级下册】比例(一)核心知识清单

【奥数培优·六年级下册】比例(一)核心知识清单一、比例的基本概念与性质（一）比的意义与各部分名称【基础】两个数相除，又叫做这两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比值通常用分数、小数或整数表示。比的定义式：a∶b=a÷b=a/b(b≠0)。其中，a是前项，b是后项，比值是a/b。（二）比的基本性质【核心概念】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这被称为比的基本性质。这一性质是化简比的根本依据。性质表达式：a∶b=(a×c)∶(b×c)=(a÷d)∶(b÷d)，其中c≠0，d≠0。（三）求比值与化简比【高频考点】1.求比值：直接计算前项除以后项的商。结果是一个数（整数、小数或分数），表示前项与后项的倍数关系。2.化简比：利用比的基本性质，将比的前项和后项化成互质整数（即最大公因数为1）。结果仍然是一个比的形式。例如，将分数比或小数比转化为整数比，再进行约简。3.易错辨析：求比值的结果是一个具体的数值，可以不带单位；化简比的结果必须是一个最简整数比，不能写成小数或带分数形式。如“2∶3”不能写成“2/3”虽然数值相等，但化简比要求保留比的形式。（四）比例的定义与各部分名称【基础】表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。比例的定义式：a∶b=c∶d或a/b=c/d(b≠0，d≠0)。其中a和d是外项，b和c是内项。（五）比例的基本性质【核心概念】【★必考】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这被称为比例的基本性质。这是判断两个比能否组成比例、解比例以及进行比例变形的关键依据。性质表达式：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。二、比例的核心方法与解题策略（一）解比例【高频考点】根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。解题步骤：1.将比例形式转化为方程。根据“外项积=内项积”。2.解方程，求出未知数的值。3.检验（将求得的数值代入原比例，看两个比的比值是否相等）。（二）比例的性质推广与应用1.比例的更比定理【拓展】：如果a∶b=c∶d，那么a∶c=b∶d，以及d∶b=c∶a。即交换内项，或交换外项，比例仍然成立。2.比例的合比定理【拓展】：如果a∶b=c∶d，那么(a+b)∶b=(c+d)∶d。3.比例的等比定理【拓展】：如果a∶b=c∶d=e∶f=……=k，那么(a+c+e+……)∶(b+d+f+……)=k。前提是分母之和不为零。（三）按比例分配【难点】【热点】按比例分配是把一个数量按照一定的比来进行分配。它是比例知识在实际问题中的综合应用。解题步骤：1.找出或求出总份数：把各个部分的数量比相加，得到总份数。2.求出每份是多少：用总量除以总份数，得到一份的数量。3.求出各部分的数量：用一份的数量分别乘以各部分对应的份数。或直接用分数乘法：各部分数量=总量×(各部分份数/总份数)。（四）比例与分数、百分数的互化【基础】比、分数、除法三者密切相关。a∶b=a/b=a÷b。在解决问题时，常将比转化为分数，或将分数、百分数转化为比，以便于分析和计算。关键点：看到“甲∶乙=3∶4”，应立刻反应出甲是乙的3/4，乙是甲的4/3，甲占两数之和的3/7，乙占两数之和的4/7。（五）比例问题中的“设数法”【解题技巧】当题目中缺少具体的数量，只给出比例关系时，可以根据比例设出未知数。例如，若已知甲∶乙=3∶4，可设甲为3k，乙为4k（k≠0）。这样就将比例关系转化为具体的代数式，便于参与运算。三、比例在几何与实际问题中的应用（一）比例尺【基础】比例尺是图上距离与实际距离的比。它是比例知识在测绘中的具体应用。公式：比例尺=图上距离/实际距离。实际距离=图上距离÷比例尺。图上距离=实际距离×比例尺。注意点：单位必须统一。通常将比例尺的前项或后项化为“1”。数值比例尺如1∶，线段比例尺如0——50——100km。（二）图形的放大与缩小【热点】图形的放大与缩小，是指按一定的比将图形的各边放大或缩小。这个比指的是“新边长∶原边长”。放大或缩小后，图形的形状不变，大小改变。核心：所有对应边的长度比都相等，对应角的大小不变。因此，放大或缩小后的图形与原图形相似。（三）正比例与反比例【核心概念】【★必考】1.正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。表达式：y/x=k(一定)。常见实例：速度一定，路程与时间成正比例；工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例；单价一定，总价与数量成正比例。2.反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。表达式：x×y=k(一定)。常见实例：路程一定，速度与时间成反比例；工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例；总价一定，单价与数量成反比例。（四）比例应用题解题策略【综合应用】1.归一法：先求出单一量（一份数），再求几个单一量是多少。2.分数法：把比转化为分率，用分数乘除法的知识解答。3.方程法：根据比例关系设未知数，列方程求解。4.正反比例法：先判断题中两种量成什么比例关系，再根据比例关系列出等式求解。四、典型例题与考点剖析（一）基础概念型【基础】例1：把10克盐溶解在100克水中，盐与水的比是（），盐与盐水的比是（）。考向：考察比的意义，找准比较的对象。易错点是盐水是盐与水的质量之和。解答：盐与水：10∶100=1∶10。盐与盐水：10∶(10+100)=10∶110=1∶11。例2：如果3a=5b（a，b均不为0），那么a∶b=（）∶（）。考向：考察比例的基本性质的逆向应用。解答：根据比例的基本性质，两个内项积等于两个外项积。在比例a∶b=（）∶（）中，a和（）是外项，b和（）是内项。由3a=5b，将a和3看作外项，b和5看作内项，可得a∶b=5∶3。关键：哪个数跟a乘，哪个数就跟a在一边。（二）化简比与求比值型【高频考点】例3：化简下面各比，并求比值。(1)1.2∶0.36(2)2/5∶1/4考向：考察化简比和求比值的区别与联系。解答要点：(1)化简比：1.2∶0.36=(1.2×100)∶(0.36×100)=120∶36=(120÷12)∶(36÷12)=10∶3。求比值：10∶3=10/3或3.33……（也可直接用1.2÷0.36=10/3）。(2)化简比：2/5∶1/4=(2/5×20)∶(1/4×20)=8∶5。求比值：2/5÷1/4=2/5×4=8/5。（三）解比例型【高频考点】例4：解比例x∶12=3/4∶1/3。考向：运用比例基本性质解比例。解题步骤：1.根据内项积等于外项积：1/3×x=12×3/4。2.化简右边：12×3/4=9。3.方程化为：1/3×x=9。4.解得：x=9÷1/3=27。（四）按比例分配型【热点】【重点】例5：一个三角形，三个内角度数的比是2∶3∶5。这个三角形是什么三角形？考向：考察按比例分配在三角形内角和中的应用。解题步骤：1.总份数：2+3+5=10。2.三角形内角和为180°。3.最大的角：180°×5/10=90°。4.结论：有一个角是90°，所以这个三角形是直角三角形。（五）比例与几何综合型【难点】例6：一个长方形的周长是120厘米，长与宽的比是3∶2。这个长方形的面积是多少平方厘米？考向：易错点在于周长包含两个长和两个宽，需先求出一组长与宽的和。解题步骤：1.一组长与宽的和：120÷2=60（厘米）。2.总份数：3+2=5。3.长：60×3/5=36（厘米）。4.宽：60×2/5=24（厘米）。5.面积：36×24=864（平方厘米）。（六）正反比例判断型【核心考点】例7：判断下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例？(1)圆的周长和它的直径。(2)正方形的面积和它的边长。(3)步测一段距离，每步的平均长度和走的步数。考向：考察对正反比例定义的理解及常见数量关系的辨析。解答要点：(1)圆的周长C=πd，所以C/d=π（一定），比值一定，成正比例。【重要】(2)正方形面积S=a²，S/a=a（不一定），比值不一定，乘积也不一定，所以不成比例。(3)距离=每步平均长度×步数，距离一定，即乘积一定，所以每步平均长度和步数成反比例。（七）比例尺应用型【高频考点】例8：在比例尺是1∶的地图上，量得A、B两地的距离是6厘米。一辆汽车以每小时75千米的速度从A地开往B地，需要多少小时？考向：比例尺的应用，结合路程、速度、时间的关系。解题步骤：1.根据比例尺求实际距离：实际距离=图上距离÷比例尺=6÷1/=6×=（厘米）。2.单位换算：厘米=300千米。3.求时间：时间=路程÷速度=300÷75=4（小时）。五、易错点与难点突破（一）易错点1：混淆比与比值【☆易错】在答题时，要求化简比，结果却写成了比值。务必注意化简比的最终形式是“a∶b”，而求比值的结果是一个数。（二）易错点2：比例各项的顺序【☆易错】在根据题意写比时，要严格注意前项和后项的对应关系。例如，“甲与乙的比是3∶4”与“乙与甲的比是4∶3”是完全不同的。在比例a∶b=c∶d中，a和d是外项，b和c是内项，不能混淆。（三）易错点3：按比例分配中的总量【难点】题目给出的总量有时不是直接可分配的份数和。如前面例6的周长问题，需要先求出“长+宽”的和。再如，在配制问题中，总量可能是各部分之和，也可能是被分配的对象。（四）易错点4：正反比例判断中的隐含条件【难点】判断正反比例时，需要找准不变的量（定量）。如“圆的面积与半径”，常被误判为正比例，因为S/r=πr，πr不是一个固定的值，所以不成正比例。要写出关系式，看是比值一定还是积一定。（五）难点突破：用比例思想解题【思想方法】许多应用题，尤其是分数、百分数应用题，用比例思想解答往往更简洁。关键是找到题目中的不变量（总量、差量、单量等），然后用份数思想表示各个量，化繁为简。六、奥数培优专题：比例在复杂情境中的综合运用（一）比例与分数混合应用题【拓展】例9：甲、乙两校原有图书本数的比是7∶5，如果甲校给乙校650本，那么甲、乙两校图书本数的比就是3∶4。甲校原有图书多少本？考向：考察总量不变情况下的比例变化问题。【▲难点】解题思路：1.找出不变量：两校图书的总本数不变。2.统一总份数：原来甲占总数的7/(7+5)=7/12。后来甲占总数的3/(3+4)=3/7。3.分析变化原因：甲校减少了650本，导致其占总数的分率减少了(7/123/7)。4.求总量：650÷(7/123/7)=650÷(49/8436/84)=650÷13/84=650×84/13=50×84=4200（本）。5.求甲校原有：4200×7/12=2450（本）。（二）比例中的“不变量”问题【热点】【▲难点】例10：某工厂有三个车间，第一车间人数与第二车间人数的比是9∶10，第二车间人数与第三车间人数的比是5∶4。已知第三车间比第一车间少30人，三个车间共有多少人？考向：考察通过中间量（第二车间）统一三个量的连比。解题步骤：1.统一比：第一∶第二=9∶10，第二∶第三=5∶4=10∶8。所以，第一∶第二∶第三=9∶10∶8。2.设份数：设第一车间为9k人，第二车间10k人，第三车间8k人。3.列方程：根据“第三车间比第一车间少30人”，得9k8k=30，解得k=30。4.求总人数：总人数=9k+10k+8k=27k=27×30=810（人）。（三）比例与行程问题【综合应用】【▲难点】例11：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。A、B两地相距多少千米？考向：考察速度比、路程比的关系，以及变化后速度比的变化。解题步骤：1.相遇前的路程比：时间相同，速度比等于路程比。相遇时，甲走了全程的5/(5+4)=5/9，乙走了全程的4/9。2.求变化后的速度比：甲新速度：5×(120%)=5×0.8=4。乙新速度：4×(1+20%)=4×1.2=4.8。新速度比：甲∶乙=4∶4.8=40∶48=5∶6。3.相遇后的路程关系：从相遇点到B地，甲需要走乙原来走的4/9。甲用新速度走完这段路程的同时，乙也用新速度往前走。时间相同，路程比等于速度比。设甲相遇后走的路程为S甲后，乙相遇后走的路程为S乙后，则S甲后∶S乙后=5∶6。S甲后=全程的4/9，所以S乙后=4/9÷5×6=4/9×6/5=24/45=8/15。4.分析剩余路程：乙相遇后走的8/15，加上相遇前走的4/9，是乙总共走的路程。乙总路程=4/9+8/15=20/45+24/45=44/45。乙离A地（也就是甲出发点）还差：全程的144/45=1/45。这1/45对应10千米。5.求全程：10÷1/45=450（千米）。（四）比例与工程问题【综合应用】【▲难点】例12：一项工程，若由甲、乙两队合作，30天可以完成。若先由甲队单独做24天后，再由乙队单独做36天，也可以完成全部工程。甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？考向：考察用比例关系表示工作效率。解题步骤：1.将“甲队单独做24天，乙队单独做36天”转化为合作与独做的组合。可以看作甲、乙合作了24天，然后乙又单独做了3624=12天。2.合作24天完成的工作量：合作效率为1/30，24天完成24×1/30=4/5。3.剩余工作量：14/5=1/5，这1/5是乙12天完成的。4.求乙的工作效率：乙效=(1/5)÷12=1/60。5.求乙单独完成时间：1÷1/60=60（天）。6.求甲的工作效率：甲效=合作效率乙效=1/301/60=1/60。7.求甲单独完成时间：1÷1/60=60（天）。8.结论：甲、乙两队单独完成都需要60天。这实际上是一个隐含的“效率相等”的比例关系问题。（五）比例与浓度问题【综合应用】【▲难点】例13：两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3∶1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4∶1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？考向：考察在总量相同的情况下，如何求混合后的比。解题步骤：1.统一瓶子的容量：设每个瓶子的容量为“1”。2.第一瓶中，酒精占3/(3+1)=3/4，水占1/4。3.第二瓶中，酒精占4/(4+1)=4/5，水占1/5。4.混合后总容量为2。5.混合后酒精总量：3/4+4/5=15/20+16/20=31/20。6.混合后水总量：1/4+1/5=5/20+4/20=9/20。7.酒