北师大版小学五年级数学上册《因数与倍数》单元精讲教案

北师大版小学五年级数学上册《因数与倍数》单元精讲教案

一、设计依据与理念阐述

1.1核心素养导向

本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，以发展学生数感、符号意识、运算能力、推理意识和模型意识为核心目标。因数与倍数作为“数与代数”领域整数认识的重要组成部分，是连接整数基本性质与后续分数运算、公因数、公倍数等核心概念的枢纽。本设计旨在超越机械记忆与技能训练，引导学生经历概念的形成过程，构建完整的知识网络，体验数学的抽象性与普适性。

1.2学情深度分析

本课面向小学五年级学生，其认知发展处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。学生已熟练掌握表内乘除法、两位数乘除一位数及三位数乘除一位数等运算，能够正确进行多位数乘除法的笔算，并理解了乘除法之间的逆运算关系，这为理解因数与倍数的相互依存关系奠定了坚实基础。然而，学生的抽象概括能力、有序思考能力和数学语言表达能力尚在发展之中，容易将“因数”、“倍数”与除法算式中的“除数”、“被除数”简单等同，或将“倍数”与乘法中的“几倍”概念混淆。因此，教学需从学生熟悉的乘法算式入手，通过丰富的直观操作、结构化材料（如方格纸、小正方形）和思辨性讨论，促进概念的本质理解。

1.3跨学科视野与真实情境

本设计打破学科壁垒，将因数与倍数的学习置于更广阔的认知背景中。例如：

1.与科学的联结：探讨生物繁殖周期（如蝉的质数年生命周期）、晶体结构的周期性排列中蕴含的倍数关系。

2.与艺术的联结：分析图案重复、音乐节奏节拍（如小节划分）中的因数分解思想。

3.与信息科技的联结：初步接触加密技术（如RSA算法）中依赖大质数因数分解困难的原理，感受数学的现代应用价值。

通过创设“数的世界探秘”大情境，将知识学习转化为解决真实问题的探究旅程。

二、学习目标与重难点

2.1学习目标

1.理解与建构：

1.结合具体情境和直观操作，理解因数与倍数的意义，掌握其相互依存的关系。

2.能正确描述一个数的因数或倍数，理解一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身。

2.探究与技能：

1.经历探索找一个数的全部因数的方法的过程，掌握有序、不重复、不遗漏地找出一个数的全部因数的方法（特别是成对寻找的策略）。

2.经历探索找一个数的倍数的方法的过程，能熟练、有序地写出一个数的多个倍数。

3.思维与发展：

1.在探究活动中，发展观察、比较、分析、归纳和概括等能力，培养有序思考的思维品质。

2.初步渗透集合、对应等数学思想，感受数学知识之间的内在联系。

4.情感与态度：

1.体验数学学习的探索性和挑战性，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.在合作交流中，养成认真倾听、勇于质疑、乐于分享的良好学习习惯。

2.2教学重难点

1.教学重点：理解因数与倍数的意义及其相互依存关系；掌握有序找出一个数的全部因数的方法。

2.教学难点：完整、有序地找出一个数的所有因数；理解倍数个数的无限性；辨析因数、倍数概念与乘除法各部分名称的区别与联系。

三、教学准备与资源

1.教师准备：多媒体课件（含动态演示、互动练习）；学习任务单（分基础版与挑战版）；数字卡片（1-30）；小正方形学具（每组若干）；探究记录纸。

2.学生准备：预习课本相关章节；准备笔、尺子、草稿本。

3.环境准备：便于小组合作的“U”型或岛型座位排列；展示板。

四、教学实施（共3课时）

第一课时：因数与倍数的意义及关系

环节一：情境启航，提出问题(预计时间：8分钟)

1.故事导入：

“同学们，欢迎来到‘数的世界’探秘之旅。今天，我们遇到了一队特殊的士兵，他们正在训练场排兵布阵。指挥官要求他们排成整齐的长方形队列，不能有空缺，也不能有人多余。现在有12名士兵，可以怎样排列呢？请用你们手中的12个小正方形代表士兵，动手摆一摆，看看能摆出几种不同的长方形。”

1.2.学生活动：独立操作，用12个小正方形拼摆长方形，并在记录纸上画出图形，写出对应的乘法算式。

2.3.教师巡视：关注学生摆法的有序性，引导发现：摆出的长方形种类由乘法算式决定。

4.交流分享：

1.5.请学生上台展示摆法和算式：1×12=12

,2×6=12

,3×4=12

。

2.6.引导学生观察：这些算式有什么共同点？（积都是12）

3.7.引出核心问题：“在3×4=12

这个乘法算式中，3、4和12之间有怎样的特殊关系呢？今天我们就来研究这种数与数之间的新关系。”

环节二：合作探究，建构概念(预计时间：20分钟)

1.概念初建：

1.2.结合3×4=12

，讲解：“我们就说，3和4是12的因数，12是3和4的倍数。”板书并让学生齐读。

2.3.举一反三：让学生根据2×6=12

和1×12=12

，仿照说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

3.4.即时辨析：出示判断题：“因为2.5×4=10

，所以2.5和4是10的因数，10是2.5和4的倍数。对吗？”引导学生明确：我们研究的因数和倍数，所指的数都是非零自然数。

5.关系深化与语言规范：

1.6.小组讨论：根据3×4=12

，你能说出12的所有因数吗？（1,2,3,4,6,12）如何有序地找？观察这些因数，最大和最小分别是几？

2.7.归纳小结（教师引导）：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

3.8.语言训练：开展“我说你答”游戏。教师说算式（如8×9=72

），学生用完整的数学语言表述因数与倍数关系。强调表述的完整性和准确性，例如：“8和9是72的因数，72是8和9的倍数。”

9.探究倍数：

1.10.提问：“我们已经知道12是3的倍数，那3还有哪些倍数呢？你能按顺序说出一些吗？”

2.11.学生活动：独立写出3的倍数（至少5个），小组交流方法（用3依次乘1,2,3,4...）。

3.12.全班分享：学生汇报，教师板书：3,6,9,12,15...

4.13.引发思辨：能写完3的倍数吗？为什么？（写不完，倍数的个数是无限的）那最小的倍数是几？（它本身）有没有最大的倍数？（没有）

5.14.对比小结：将因数与倍数的特点进行对比，用表格或韦恩图进行可视化总结。

环节三：巩固内化，拓展联结(预计时间：10分钟)

1.基础练习（学习任务单）：

1.2.根据算式20÷4=5

，判断：4是因数，20是倍数。（）【辨析：必须说清谁是谁的因数/倍数】

2.3.写出18的因数（全部）；写出5的倍数（5个）。

3.4.判断：一个数的倍数一定比它的因数大。（）【反例：一个数的最小倍数和最大因数都是它本身】

5.拓展应用：

1.6.生活链接：一盒巧克力有24块，要平均分给小朋友，每人分得的块数要一样多，可以分给几个人？（找出24的所有因数）

2.7.跨学科联想：音乐课上，4/4拍的节奏中，每小节有4拍。如果一段音乐有16拍，正好是几个小节？（16是4的倍数）你能联想到其他例子吗？

8.课堂小结：

1.9.引导学生用思维导图或关键词总结本节课的核心收获：什么是因数？什么是倍数？它们有什么关系？各有何特点？

环节四：分层作业(预计时间：2分钟)

1.必做：课本练习题；在1-20的自然数中，任选两个数，写出它们之间的因数与倍数关系（至少5组）。

2.选做（挑战）：研究数字“6”。写出它的所有因数（1,2,3,6），将这些因数（除6本身外）相加：1+2+3=6。你发现了什么？这样的数在数学上有一个美妙的名字，叫“完美数”。你能再找到一个这样的两位数吗？（提示：28）

第二课时：探索找一个数的全部因数的方法

环节一：问题驱动，聚焦方法(预计时间：10分钟)

1.复习导入，揭示挑战：

1.2.快速抢答：16的因数有哪些？（学生可能回答不完整或不有序）

2.3.教师揭示：“上节课我们学会了判断因数与倍数，但要一个不漏、井然有序地找出一个数的所有因数，可是一项重要的数学本领。今天我们就来攻克这个难关。”

4.自主探究，尝试找因数：

1.5.任务发布：请找出数字18的全部因数。要求：想一想，可以用什么方法？把你的方法和结果写在探究纸上。

2.6.学生活动：独立思考并尝试。教师巡视，收集典型方法（无序列举、从1开始试除、成对寻找等）。

环节二：策略分享，优化方法(预计时间：18分钟)

1.展示交流，对比策略：

1.2.请不同方法的学生上台展示。

1.2.3.无序列举法：1,2,3,6,9,18

2.3.4.从1开始试除法：18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6...

，记录商和除数。

3.4.5.乘法算式成对法：1×18=18,2×9=18,3×6=18

，因数成对出现。

5.6.小组讨论：哪种方法最好？为什么？（引导从“有序”、“不遗漏”、“高效”角度评价）

7.归纳优化，形成模型：

1.8.师生共研，提炼最优策略——“成对寻找，有序排列”：

1.2.9.从1开始试：看1乘几等于这个数，得到一对因数（1和它本身）。

2.3.10.依次递增：试2，试3...每次得到的两个因数，小的在前，大的在后。

3.4.11.何时停止？当试到的因数重复出现或超过另一个因数时，就停止。例如找18，试到6时，因为3×6=18

已出现过（6×3=18

），或发现再试4、5都不能整除，且下一个要试的5已经大于上次找到的对应因数3，即可停止。

5.12.动态演示：课件动画演示用“成对法”寻找18和24的因数的过程，形象展示“何时停止”的临界点。

13.方法应用，巩固技能：

1.14.独立用优化后的方法找出16和30的全部因数。

2.15.同桌互查，并交流：“在找的过程中，你是如何确保有序和不遗漏的？”

环节三：深化理解，发现规律(预计时间：10分钟)

1.观察发现：

1.2.将1-12各数的因数个数整理成表。

|数|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|

|----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----|

|因数个数|1|2|2|3|2|4|2|4|3|4|2|6|

2.3.提问：观察表格，你发现了什么有趣的规律？

1.3.4.每个数至少有一个因数（1）。

2.4.5.因数的个数有多有少。

3.5.6.有些数只有两个因数（如2,3,5,7,11）...

7.引出质数与合数概念（前瞻）：

1.8.教师指出：“像2、3、5这样只有1和它本身两个因数的数，我们给它们起名叫‘质数’；像4、6、8这样除了1和它本身还有别的因数的数，叫‘合数’。那1呢？它既不是质数也不是合数。关于它们更详细的研究，我们将在后续课程中进行。这个发现让我们看到，数的世界是多么秩序井然又充满奥秘！”

环节四：综合应用，评价反思(预计时间：7分钟)

1.闯关练习：

1.2.第一关：快速说出下面各数的全部因数。（15,24,36）

2.3.第二关：我是小法官。一个数的因数总比这个数小。（）；一个数越大，它的因数个数就越多。（）【举例：17比12大，但17的因数少】

3.4.第三关：破解密码。一个两位数的密码，它是32的因数，又是8的倍数。这个密码是多少？（32）

5.反思总结：

1.6.引导学生用流程图或口诀总结找一个数的全部因数的方法。（如：一試一，乘本身；二三四，依次除；成对找，记清楚；到中间，就停步。）

第三课时：倍数的探索、特征与应用

环节一：复习迁移，聚焦倍数寻找(预计时间：8分钟)

1.热身活动：

1.2.“因数特工队”：教师说一个数，学生快速说出它的一个因数。

2.3.“倍数接力赛”：以小组为单位，从2开始，依次说出2的倍数，看哪组说得又对又快又长。在“接不下去”的认知冲突中，感受倍数的无限性。

4.明确目标：

1.5.提问：“我们已经感受到倍数家族成员众多。如何能有条理、快速地写出一个数的倍数呢？倍数本身有没有什么有趣的规律？”

环节二：探究倍数寻找方法与初步特征(预计时间：15分钟)

1.探究如何找倍数：

1.2.任务：请写出4的倍数（至少10个）。思考：你是怎样写的？有什么窍门？

2.3.学生活动：独立完成，小组交流方法。

3.4.汇报提炼：方法——用这个数依次乘1,2,3,4...；窍门——每次增加一个相同的数（即这个数本身）。用集合图动态展示4的倍数集合的无限延伸。

5.探究倍数的特征：

1.6.观察思考：观察4的倍数：4,8,12,16,20,24...这些数个位上的数字有什么特点？（0,2,4,6,8循环）你能判断一个数是不是4的倍数，只看个位吗？试试134。（不能）

2.7.深入探究（小组合作）：

1.3.8.研究2的倍数特征。（个位是0,2,4,6,8）

2.4.9.研究5的倍数特征。（个位是0或5）

3.5.10.研究3的倍数特征。（引发认知冲突：个位规律不明显，激发后续课时学习期待）

6.11.实验验证：用百数表圈画2和5的倍数，验证发现的规律。

环节三：综合应用，解决实际问题(预计时间：15分钟)

1.生活问题解决：

1.2.问题1（包装问题）：食品厂生产了96块蛋糕，要用盒子包装。如果每盒装的块数一样多，并且既要装满又不能用多个盒子拼装，可以怎样包装？（找出96的因数）哪种包装方案盒子数最少？（装96块/盒）哪种方案盒子数最多？（装1块/盒）从节省包装材料角度，你会推荐哪种？

2.3.问题2（周期问题）：广场上的彩灯按“红、黄、蓝、绿、紫”的顺序循环排列。第37盏灯是什么颜色？（37÷5=7...2，是黄色）第100盏呢？（100是5的倍数，是紫色）。将周期问题与倍数建立联系。

4.数学游戏——“因倍对对碰”：

1.5.规则：每位学生随机抽取一张数字卡片（1-30）。音乐响起，学生走动；音乐停止，根据教师指令快速配对。

1.2.6.指令A：请“因数”找到你的“倍数”。（如抽到3的学生需找到抽到6,9,12...的学生）

2.3.7.指令B：请“倍数”找到你的“因数”。（如抽到18的学生需找到抽到1,2,3,6,9,18的学生）

4.8.在游戏中深化对概念及其关系的理解。

环节四：单元整理与展望(预计时间：7分钟)

1.构建知识网络：

1.2.引导学生以“因数与倍数”为中心，用思维导图整理本单元所学，包括：定义、关系、找法、特点、应用等。鼓励使用图形、色彩和关键词。

2.3.小组展示并完善知识网络图。

4.拓展视野与激励：

1.5.数学文化浸润：简要介绍“哥德巴赫猜想”（任一大于2的偶数都可写成两个质数之和）与因倍知识的关系，感受数学皇冠上明珠的魅力。

2.6.科技前沿链接：展示质数在现代密码学（如网银加密）中的关键作用，让学生体会今天所学的“因数”知识，是守护未来数字安全的重要基石。

3.7.激励性总结：“同学们，我们完成了‘因数与倍数’王国的第一次深度探险。你们不仅获得了知识，更掌握了有序思考的‘法宝’。数的世界浩瀚无垠，接下来还有质数、合数、奇偶性、公因数、公倍数等更多奥秘等待我们去发现。保持好奇，继续探索吧！”

五、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：记录学生在操作、讨论、汇报中的参与度、思维层次和合作表现。使用评价量表（如：能积极动手操作☆☆☆；能清晰表达想法☆☆☆；能有序思考并优化方