2025年湖南湘潭一中中考自主招生数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年湖南省湘潭市第一中学创新班选拔考试数学试题满分：120分时间：120分钟一、单选题（每小题4分，共48分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）．A． B． C． D．2．如果不等式组无解，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．3．某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表：垃圾分类次数（次）012345人数（人）12912106那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（

）A．众数是3次 B．中位数是3次C．平均数是3.5次 D．样本容量是404．如图，五边形是正五边形，是的中点，连接，，则∠CAF的度数为（

）A． B．18° C． D．5．如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（

）求的值解：令，则故，因此A． B． C． D．6．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（

）A． B． C． D．7．如图，在等边中，，点从出发，沿A−B−C路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿A−C−B路线以相同速度运动，当P、Q两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为t秒(t>0),△APQ的面积为S，则下列图象能表示S与t之间的函数关系的是（

）A． B．C． D．8．如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和−2,0之间，以下结论中正确的有（

）①；

②；

③；④A．个 B．个 C．个 D．个9．如图，已知四边形，AC∥BD，AC=AB，连接，，以A为圆心，为半径画弧，以B为圆心，为半径画弧交于点E，若，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C．2 D．410．观察下面的变形规律：，，，，…回答问题：若，则的值为（

）A．100 B．98 C．1 D．11．将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示123的有序数对是（

）．A． B． C． D．12．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．二、填空题（每小题4分，共24分）13．可因式分解为__________．14．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有_______个．15．如图,在正方形中，AD=1，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为_____．16．赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为____．17．马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，则满足条件的关灯方法有________种．18．关于的方程给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；⑤存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中正确命题的序号是______________.三、解答题（本大题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．如图1，在中，，以为直径作交于点，且．(1)求证：是的切线；(2)如图2，在上取一点，连接，，．若BE=2，AD=5．①求的长；②求的面积．20．已知二次函数．(1)求该二次函数图象的顶点坐标．(2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式．(3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：．21．一般地，个相同的因数相乘，记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即)．一般地，若且，则叫做以为底的对数，记为(即)．如，则4叫做以3为底81的对数，记为(即)．（1）计算下列各对数的值：；；．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?（4）根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论．22．阅读材料并解答下列问题：下面是关于杨辉三角的介绍．如果将(a+b)n（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：(a+b)0(a+b)1(a+b)2(α+b)3将上述每个式子的各项系数排成该表．观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．(1)判断(a+b)5的展开式共有______项；写出(a+b)(2)结合杨辉三角解决以下问题：①计算（结果用乘方表示）：28②猜想：(2x−1)6的展开式中含x(3)运用：若今天是星期六，那么再过82025答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】本题实数与数轴，实数的运算，不等式的性质，根据点在数轴上的位置，判断数的大小，进而判断出式子的符号即可．【详解】解：由图可知：，∴，故选项A错误；，故选项B错误；a2，∴，故选项D正确；故选D．2．B【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出的范围是解题的关键．先求出不等式的解集，根据不等式组无解，即可求出答案．【详解】解：，解不等式①，可得，解不等式②，可得，若不等式组无解，则有．故选：B．3．C【分析】本题考查加权平均数，中位数，众数，样本容量．解题关键是掌握加权平均数、中位数的计算方法、众数和样本容量的定义．根据加权平均数和中位数的计算方法，求出平均数和中位数可判断B、C，根据众数和样本容量的定义判断A、D即可．【详解】解：A.出现次数最多的数据是次（人），因此众数是次，故该选项不符合题意；B.排在第个和第个数据是，则中位数为，故该选项不符合题意；C.平均数（次），故该选项符合题意；D.样本容量，故该选项不符合题意；故选：C．4．B【分析】本题主要考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的全等与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图：连接，根据正五边形的性质和内角和定理、等腰三角形的性质可得、，利用等腰三角形三线合一，得到即可解答．【详解】解：如图：连接，∵五边形是正五边形，∴，，∴，∴，，∴，∵是的中点，∴CF=DF，∴．故选B．5．A【分析】本题考查了数字规律类探索，含乘方的有理数的混合运算，设，则，用即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：根据题意，设，∴，得：，∴，故选：A．6．B【分析】因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是，根据概率公式求解．【详解】解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为，所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率，故选：B．【点评】选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率．7．D【分析】分0<t≤4时，当4≤t<6时，分别求得的面积，即可判断函数图象．【详解】解：依题意，0<t≤4时，点在上，点在上，AP=AQ=t，连接、，过点作AH⊥BC，垂足为，∵在等边中，，∴BH=12BC=2∴S∵S△ABQ=AQ∴S=t函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，S=43，∵AC=AB=BC=4，点，点相遇时运动时间为秒，∴当4≤t<6时，点、在上，如图所示，∴PQ=12−2t，∴S=1当4≤t<6时，图象为直线的一部分，综上只有选项D的图象符合题意．8．C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线与轴有两个交点，可得，即可判定①；由对称轴可判定②；由点在点和−2,0之间以及对称轴可知抛物线与轴的另一个交点在点和之间，即得当时，，即可判定③；顶点坐标可得，，即得，进而可得，即得，解不等式组可判定④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴有两个交点，∴，故①错误；∵抛物线的顶点为，∴对称轴，∴，故②正确；∵抛物线与轴的交点在点和−2,0之间，对称轴为直线，∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间，∴当时，，即，故③正确；∵抛物线的顶点为，∴，，∴，，∴抛物线，当时，，解得，，∴，∵点在点和−2,0之间，∴，解得，故④正确；综上，结论中正确的有个，故选：．9．C【分析】本题考查了扇形的面积公式，先根据勾股定理求出长，然后得到根据平行线的性质和等边对等角得到，然后根据计算解题．【详解】解：∵，AC=AB，∴，，又∵AC∥BD，∴，又∵，∴，∴，∴，故选：C．10．B【分析】根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第n个等式为，本题得以解决．【详解】，经检验，x=98是原方程的解，故答案选B.【点睛】本题考查了规律开题——数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式．11．C【分析】根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到123在第多少排，然后即可写出表示123的有序数对，本题得到解决．【详解】解：由图可知，第一排1个数，第二排2个数，数字从大到小排列，第三排3个数，数字从小到大排列，第四排4个数，数字从大到小排列，…，则前n排的数字共有个数，∵当n=15时，，∴123在第16排，∴表示123的有序数对是（16，14），故选：C．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示123的有序数对．12．A【分析】先根据正方形的性质设，再根据点的横坐标为和点在反比例函数的图象上，分别写出点，，的坐标，然后根据点在反比例函数的图象上，得出用k2表示t，再求出点的坐标，根据在反比例函数的图象上，求得．【详解】解：连接交于点，∵四边形是正方形，∴设，∵点的横坐标为，点在反比例函数的图象上，∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∵点在反比例函数的图象上，∴，解得：(舍去)或，∴点的纵坐标为，∴点的坐标为，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，求代数式的值，解二元一次方程等知识，解题的关键是根据正方形的性质，结合点在反比例函数图象上，设出其中一个点的坐标，再表示出其他点的坐标．13．【分析】利用十字相乘法即可对多项式进行因式分解．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法．14．4【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需2x+1是6的整数约数即可．【详解】解：由题意可知，2x+1是6的整数约数，∴，2，3，6，，，，，解得：，，1，，，，，，其中x的值为整数有：，1，，共4个．故答案为：4．15．【分析】本题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理等知识，利用正方形和旋转的性质得出，进而利用勾股定理得出的长，进而得出的长即可．【详解】解：由题意可得出：，∴，∴，∵在正方形中，AD=1，∴，∴，∴，∴在中，故答案为：16．【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可．【详解】解：当时，，∵，∴①，当时，，∴②，，得：，∴．故答案为：．17．10【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键．根据题意要关掉其中的3盏，不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，相当于在6盏亮着的灯中插入3盏不亮的灯，6盏亮着的灯中有5个空隙，且不能插在两端，进而求解即可．【详解】解：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，相当于在6盏亮着的灯中插入3盏不亮的灯，∵6盏亮着的灯中有5个空隙，且不能插在两端，∴插入的方法有(种)∴满足条件的关灯方法有10种．故答案为：10．18．【分析】本题考查了数形结合的思想，判断方程根的个数，能够准确根据题意画出图象是解答本题的关键．根据题意可令，则方程化为，结合的图象，根据t和的值以及范围判断即可求解．【详解】解：根据题意可令，则方程化为，设方程的两根为，，不妨设，则，得，则，结合的图象可知：当时，，原方程有个不同的实根；③当时，，原方程有个不同的实根；当k=0时，t1=0，t原方程有个不同的实根；当0<k<14时，，原方程有个不同的实根；故答案为：．19．(1)见解析(2)①；②【分析】本题考查了圆的几何性质、切线的判定定理、勾股定理和三角形面积计算公式，熟练掌握是解题的关键．（1）即证明，方法一：连接，则，得为的垂直平分线，BA=BC，根据等腰三角形性质可得，，即．方法二：连接，则OA=OD，，再证明为的中位线，得，即可得证．（2）①先求出的长，因为为直径，所以是直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；②过点作AF⊥DE与点，根据圆周角性质得，易得，再根据勾股定理求出，得、的长，即可求出的面积．【详解】（1）解：方法一：连接，是的直径，．，为的垂直平分线．，，，即．又为的半径，是的切线．方法二：连接．∵OA=OD，．．又，，∴OD为的中位线．，，即．又为的半径，是的切线．（2）解：①方法一：在中，，，则，是的直径，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，，BE=2，．方法二：在中，，，，，是的直径，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，，BE=2．②过点作AF⊥DE与点．，又，，，在和中，，．．∴△ADE的面积为：．∴△ADE的面积为3．20．(1)(2)(3)证明：二次函数化为一般式得，∴，∵和是该二次函数图象上任意两点，∴，，∴，∵，，∴，，∴原式，∵，∴，∴，解得，，∵，∴，∵二次函数对称轴直线为，∴当时，，∴．【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数平移的性质，函数增减性式关键．（1）根据解析式得到对称轴直线为，再代入计算函数值即可求解；（2）由题意得平移后的解析式为，将0,−3代入，运用待定系数法即可得到解析式；（3）根据题意得到，结合题意得到，，所以原式，可得，结合二次函数顶点坐标即可求解．【详解】（1）解：对称轴为直线，