辽宁省沈阳市名校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

沈阳市名校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在空间直角坐标系Oxyz中，点关于x轴的对称点坐标为（）A. B. C. D.2.已知倾斜角为的直线过，，则（）A. B. C. D.3.过点且与直线平行的直线为（）A. B. C. D.4.已知空间向量，，且，则（）A. B. C. D.5.在三棱锥中，M，E，F分别为BC，BD，CD的中点，记，，，则（）A. B. C. D.6.已知原点O与点关于直线l对称，则直线l在x轴上的截距为（）A. B. C.5 D.－57.如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为（）A. B.6 C. D.12二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线l的方程为，则下列说法正确的是（）A.直线l的斜率为1 B.直线l的倾斜角为C.直线l不经过第三象限 D.直线l与两坐标轴围成的三角形面积为10.下列说法正确的是（）A.方程表示过点的所有直线B.点到直线的距离等于1C.若两直线垂直，则它们的斜率之积等于－1D.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面11.已知空间中三点，，，则（）A.向量与向量垂直 B.平面ABC的一个法向量为C.与的夹角余弦为 D.点A到直线BC的距离为12.已知直线l：，点，，点为直线l上任意一点，则下列说法正确的是（）A.直线MN与直线l平行 B.存在两条过点且到M、N两点距离相等的直线C.存在点P，使得 D.的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知异面直线，的方向向量分别为，，则，的夹角大小为______.14.已知直线：，：，则与的距离为______.15.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，且每两条射线的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为______.16.已知直线与以，为端点的线段AB有公共点，则实数a的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知正四面体ABCD.（1）若，求的值；（2）若，，三点共线，求的值.18.（12分）已知直线l过点.（1）从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程；条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大；条件②：直线l的一个方向向量为；[注：若选多个条件作答，只按第一个作答给分]（2）若直线l在y轴截距是x轴截距的2倍，求直线l的方程.19.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，且M是PD的中点，，.（1）求证：平面PCD；（2）求AM与平面MBC所成角的余弦值.20.（12分）已知直线：与直线：.（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数a的值.21.（12分）过点作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点.（1）当时，求直线l的方程；（2）当取最小值时，求直线l的方程.22.（12分）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，M为棱的中点.（1）求证：；（2）棱（除两端点外）上是否存在点N，使得平面与平面夹角余弦值为？若存在，请求出点N的位置，若不存在，说明理由.沈阳市名校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学参考答案1-8：BCBAADCB9-12：CDBDACDABD13-16：17.（1）（2）由题，，，所以，解得：，，所以.18.（1）条件①：直线的斜率为，所以倾斜角为，则l的倾斜角为，所以，所以l的方程为：，即：，条件②：由直线l的一个方向向量为可知：，所以l的方程为：；（2）当截距为0时，直线l的方程为：；当截距不为0时，设l方程为，将点代入得：，所以，则直线l的方程为：；综上所述，若直线l在两坐标轴上截距互为相反数，则直线l的方程为：或.19.（1）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又四边形ABCD是矩形，∴，∵，DA、平面PAD，∴平面PAD，∵平面PAD，∴，又M是PD的中点，，∴，∵，CD、平面PCD，所以平面PCD；（2）由题易知：PA、AB、AD，两两互相垂直，以A为空间坐标系的原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面MBC法向量为，则，即，令，则，，∴，，则，设MA与平面MBC所成角为，则，所以.20.（1）若，则，∴，解得：或，检验：当时，：，：，与重合，舍去，当时，：，：，，符合题意，综上所述：若，则；（2）若，则，解得：.21.（1）当时，P为AB中点，则，，此时直线l的方程为：，即；（2）由题可知：直线l的斜率k存在，且，设l的方程为：，则，，则，，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当取最小值时，直线l的方程为.22.（1）证明：取棱的中点O，连接AO，OM.因为四边形是菱形，所以，又，所以为等边三角形，所以.……1分因为四边形为正方形且O，M分别是，的中点，所以，……2分又，OA，平面OAM，所以平面OAM，……3分因为平面OAM，所以.……4分（2）解：因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面.……5分以O为坐标原点，以OB，OM，OA所在的直线分别为x轴、y轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则点，，，.……6分，，设为平面的一个法向量，则