过程装备基础第5章习题解

第5章杆件的强度与刚度计算5-1如下图的钢杆，：杆的横截面面积等于100mm2，钢的弹性模量E=2×105MPa，F=10kN，Q=4kN。要求：〔1〕计算钢杆各段的应力、绝对变形和应变；〔2〕计算钢杆的纵向总伸长量。321321题5-1图解：〔1〕计算钢杆各段内的轴力、应力、绝对变形和应变321321题5-1图从左到右取3段，分别为1-1、2-2、3-3截面，那么根据轴力的平衡，得各段内的轴力：〔左〕N1=F=10kN〔中〕N2=F-Q=10-4=6kN〔右〕N3=F=10=10kN各段内的应力：〔左〕〔中〕〔右〕各段内的绝对变形：〔左〕〔中〕〔右〕各段内的应变：〔左〕〔中〕〔右〕〔2〕计算钢杆的总变形mm〔3〕画出钢杆的轴力图钢杆的轴力图见以下图。10kNN10kN6kNx6kN题5-2图11225-2试求图示阶梯钢杆各段内横截面上的应力以及杆的纵向总伸长题5-2图1122解：〔1〕计算钢杆各段内的应力从左到右取2段，分别为1-1、2-2截面，那么各段内的轴力：N1=F=10kNN2=F+Q=10+2=12kN各段内的应力：〔2〕计算钢杆的总变形各段的变形：故钢杆的总变形：mm题5-3图5-3如下图的三角形支架，杆AB和杆BC均为圆截面，杆AB的直径d1=20mm，杆BC的直径d2=40mm，两杆材料的许用应力均为[σ]=160MPa。设重物的重量G=20kN，试问此支架是？题5-3图解：〔1〕取B点作为研究对象，画出如下图的受力图。〔2〕根据平衡方程求未知力，B，B于是〔3〕计算各杆应力故杆AB和BC的强度是足够的，支架是平安的。题5-4图5-4如下图的结构，梁AB的变形及重量可忽略不计。杆1为钢制圆杆，直径d1=20mm，弹性模量E1=2×105MPa；杆2为铜制圆杆，直径d2=25mm，弹性模量E2=1×105MPa。试问：〔1〕载荷P加在何处，才能使梁AB受力后仍保持水平？〔2〕假设此时P=30kN，求两杆内横截面上的正应力。题5-4图解：〔1〕只有杆1和杆2伸长相同时，AB杆才能保持水平，即：〔1〕〔2〕取杆AB为研究对象，列平衡方程，〔2〕，〔3〕将式〔1〕代入式〔2〕得：将代入式〔2〕得：〔3〕两杆内横截面上的正应力为：题5-5图5-5蒸汽机的汽缸如图5-32所示，汽缸的内直径Di=400mm，工作压力p=1.2MPa。汽缸盖和汽缸用根径为15.294mm题5-5图解：〔1〕求活塞杆的直径活塞杆工作时受到的轴力〔拉力〕〔忽略活塞杆面积〕根据活塞杆的强度条件：，可得考虑到活塞杆的磨损、腐蚀等因素，可取活塞杆直径d=63mm.〔2〕计算螺栓的个数沿汽缸盖和汽缸的接触面将所有的连接螺栓截开，取汽缸盖为研究对象，其受力图如以下图所示。由于螺栓沿圆周均匀分布，可认为每个螺栓横截面上的轴力都是相同的，设为Ni，如下图。设螺栓的根径为d1，所需螺栓的个数为n，那么汽缸盖的平衡条件为：〔1〕螺栓的强度条件为：〔2〕由式〔1〕和式〔2〕两式联立解得取螺栓个数n=22〔偶数〕或24〔最好为4的倍数〕。5-6一根直径为d=16mm、长为L=3m的圆截面杆，承受轴向拉力P=30kN，其伸长为ΔL=2.2mm。试求：〔1〕杆横截面上的应力和应变；〔2〕杆材料的弹性模量E；〔3〕杆直径的改变量和横截面面积的相对变化率。杆的变形是完全弹性的，材料的泊松比=0.3。解：〔1〕求杆横截面上的应力和应变承受轴向拉力P=30kN，那么杆内的轴力也为N=30kN，于是杆横截面上的应力：应变：〔2〕求材料的弹性模量E由于变形是完全弹性的，故满足虎克定律，那么〔3〕杆的横向应变：.所以直径的改变量：，即直径减小了3.52m。面积的相对变化率：说明横截面积减小了0.044%。5-7一根直径为d=10mm的圆截面杆，在轴向拉力P作用下，直径减小0.0025mm。材料的弹性模量E=2×105MPa，泊松比μ=0.3，变形为完全弹性的，试求轴向拉力P的大小。解：〔1〕求出纵向应变〔2〕求应力〔3〕求轴力N〔4〕轴向拉力P=N=13.1kN5-8图5-38为销钉连接，P=18kN，两板的厚度t1=8mm、t2=5mm，销钉与两板的材料相同，许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σbs]=200MPa。试设计销钉的直径d。题5-8图解：〔1〕按剪切强度设计题5-8图销钉具有两个剪切面，各剪切面上的剪力均为，那么剪切应力为根据剪切强度条件式有：故〔2〕按挤压强度设计假设按销钉中段考虑挤压强度，其挤压力，挤压计算面积按销钉圆柱面正投影面积计算，；假设按照销钉侧段考虑挤压强度，其挤压力，挤压面积。因，所以销钉中段受到的挤压应力更大，需对此段进行强度核算。据挤压强度条件式有：故综合考虑销钉的剪切强度和挤压强度，按销钉直径d≥13.82mm，取d=14mm。5-9如图〔a〕所示，齿轮与轴用平键连接，轴直径d=70mm，键的尺寸b×h×l=20×12×100mm，传递的力偶矩T=2kN·m；键材料的许用切应力[τ]=80MPa，许用挤压应力[σbs]=200MPa。试校核键的强度。(a)(b)题5-9图解：〔1〕沿剪切面将键截开，把轴取出来作为研究对象，其受力图如图〔b〕所示。考虑到轴两端有轴承，故可简化为位于中心的固定铰支座。在键的剪切面上作用有剪力Q。由图〔b〕，易得所以〔2〕校核键的剪切强度，剪切面积，那么切应力由于，剪切强度足够。〔3〕校核键的挤压强度因为键与轴，键与齿轮接触的面积相等，故任取一挤压面校核即可。易知挤压力，挤压计算面积，那么挤压应力由于，挤压强度也足够。所以，键的强度足够。题5-10图5-10销钉式平安联轴器如下图，销钉材料的材料极限切应力MPa，许用切应力[τ]=80MPa，轴的直径D=30mm。要求正常工况下传递力偶矩T=60N·m，且当T≥300N··m时销钉就必须被剪断，试问销钉直径d应为多少？题5-10图解：〔1〕沿销钉的上下两个剪切面截开，将轴或轴套分开，考虑轴的平衡,受力图如右图所示。由于轴与销钉都具有对称性，只需对一个剪切面进行核算。设每个剪切面受到的剪力为Q，那么平衡条件为：可得按剪切强度条件有：〔2〕当时，剪力因此，当剪力Q=10000N时，销钉就应被剪断。此时，销钉被剪断的条件为：，所以综合考虑以上两个因素，可知，按销钉直径规格取。5-11A、B两根轴用法兰盘连接起来，要求传递的力偶矩T=70kN··m。试由螺栓的剪切强度条件设计螺栓的直径d。螺栓的许用题5-题5-11图解：两法兰盘通过螺栓连接起来传递外力偶矩，每个螺栓所承受的为剪切变形，其剪切面沿两法兰盘的接触面。由于结构的对称性，每个螺栓所承受的载荷是相同的。设每个螺栓所受剪力为，沿两法兰盘的接触面将螺栓剪断，取其任一法兰盘研究，受力图如以下图所示，其平衡条件为：所以每个螺栓的切应力，按剪切强度条件所以按照螺栓规格，可取螺栓直径为305-12一根钢轴，直径为20mm，许用切应力[τ]=100MPa，试求此轴能承受的扭矩。如转速为100r/min，此轴能传递多少kW的功率？解：钢轴需满足一定的剪切强度，其强度条件为：因此，其最大能承受的扭矩作为传动轴，该最大扭矩与相应的外力矩相平衡，所加外力矩T的值与此最大扭矩相等。根据计算公式，得该轴所能传递的功率为5-13一带有框式搅拌桨叶的搅拌轴，其受力情况如下图。搅拌轴由电动机经过减速箱及圆锥齿轮带动。电动机的功率为3kW，机械传动效率为85%，搅拌轴的转速为5r/min，直径为d=75mm，材料为45钢，许用切剪应力[τ]=60MPa。试校核搅拌轴的强度，并作出搅拌轴的扭矩图〔假设TB=TC=2TD〕。解：传递到搅拌轴上的实际功率故作用于搅拌轴上的外力矩为(a)(b)(c)(a)(b)(c)题5-13图轴做匀速转动时，主动外力矩与阻力矩相平衡，且，于是故B、C、D形成的阻力偶矩分别为利用截面法，可求得AB、BC、CD段截面上的扭矩分别为〔受力图略〕，画出扭矩图如图(c)所示。可见，最大扭矩在AB段内，其值为实心轴直径d=75mm，其抗扭截面模量为得到最大切应力故此轴强度校核合格。题5-14图5-14阶梯形圆轴如下图，d1=40mm，d2=70mm。由轮3输入的功率P3=30kW，轮1输出的功率P1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用切应力[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=8.0×104MPa，单位长度的许用扭转角[题5-14图解：〔1〕校核轴的强度轮3传递的主动力矩为轮1产生的阻力偶矩为由于轴做匀速传动，力矩应平衡，所以用截面法可求出各段轴截面上的扭矩分别为〔各截面的扭矩均按正值假设〕：1、2轮之间：，2、3轮之间：可见最大的扭矩出现在2、3轮之间，但1、2轮之间前半段轴直径较小，故需分别对两段截面的切应力进行校核1、2轮前段：2、3轮之间：比拟知，最大切应力出现在1、2轮之间的前段，且，强度足够。〔2〕校核轴的刚度因轴的抗扭刚度与轴的直径有关，故仍需对上述两段可能的最危险截面进行刚度校核。1、2轮前段产生的最大扭转角：2、3轮之间产生的扭转角：最大扭转角依然出现在1、2轮间前段，且，刚度足够。5-15支承管道的悬臂梁AB由两根槽钢组成，两管道重量相同，G=5.5kN，载荷的作用位置如图5-39所示。〔1〕试画出梁AB的弯矩图；〔2〕根据强度条件选择组成AB梁的槽钢型号，槽钢的许用应力[σ]=140MPa。解：求支座A的约束反力，由静力平衡方程得：题5-15图以A为原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，取距原点为的任意截面，求得弯矩方程如下：题5-15图AC段：CD段：DB段：作出梁的弯矩图如下图。可见，最大弯矩出现在支座A处对单根槽钢，其最大弯矩为：由于梁为等截面梁，各段的抗弯模量相同，故根据附录1槽钢标准〔GB/T707〕，选择8号槽钢，其，能够满足该梁的强度要求。题5-16图5-16矩形截面简支梁AB和所受载荷如下图。：F=4kN，q=2kN/m，截面尺寸为120×200mm题5-16图〔1〕最大弯曲正应力σmax；〔2〕在D、E两点的弯曲正应力。解：首先，由平衡条件，求得两支座处的约束力如下〔求解过程略〕：作出剪力图和弯矩图如右图所示〔作图过程略〕。最大弯矩最大弯矩位于距A支座1.5m处，亦即D点所在截面。最大弯矩所在截面位置，可由剪力图所示的三角形相似条件求得，也可以把梁截开，考虑左段或右段的平衡，由Q=0来确定。于是，D、E两点所在截面的弯矩为：梁横放时，有梁竖放时，有〔1〕最大弯曲正应力梁横放时，有梁竖放时，有〔2〕D、E两点的弯曲正应力梁横放时，有〔拉〕〔压〕梁竖放时，有〔拉〕〔压〕题5-17图5-17小型板框压滤机，如下图。板、框、物料总重3.2kN，均匀分布于长600mm的长度内，由前后两根同直径、同长度且对称布置的横梁AB承受。梁的直径d=60mm，梁的两端用螺栓连题5-17图解：前后两根梁，受载及约束情况相同，具有同样的强度，故可只研究其中一根横梁，所受载荷为总载荷的一半，在长为600mm长度内为均布载荷，其线集度在其余400mm长度内无载荷，两端可简化为铰支座由静力平衡方程可得支座A、B处的约束反力：以A点为原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，可求得剪力方程和弯矩方程：〔0≤x≤0.6〕〔0≤x≤0.6〕〔0.6≤x≤1.0〕〔0.6≤x≤1.0〕作出剪力图和弯矩图，如下图。当时，取得最大值，即，，所以最大弯曲正应力：5-18一根直径d=1mm的直钢丝绕在直径D=800mm的圆轴上，钢的弹性模量E=2.1×105MPa。假设钢丝绳绕在圆轴上产生的弯曲变形可视为纯弯曲，试求钢丝绳由于〔弹性〕弯曲而产生的最大弯曲正应力。又假设材料的屈服强度ReL=350MPa，求不使钢丝产生剩余变形的轴径应为多大？解：〔1〕钢丝绳绕在圆轴上，纯弯曲时的最大弯曲正应力：此处为距中性轴的最大距离，显然，，中性层的曲率半径：中性层外部受拉，内部受压，与钢丝绳上与圆轴外表接触处的点的压应力到达最大值。所以最大弯曲正应力为。〔2〕当最大弯曲正应力到达材料的屈服强度，更大的弯曲会使钢丝产生剩余变形，故不使钢丝绳产生剩余变形的条件为：即亦即不使钢丝产生剩余变形的轴径不应小于599mm。5-19一承受均布载荷q=10kN/m的简支梁，跨长为4m，材料的许用应力[σ]=160MPa。假设梁的截面取：〔1〕实心圆；〔2〕a:b=1:2的矩形；〔3〕工字梁。试确定截面尺寸，并说明哪种截面最省材料。解：由静力平衡方程知，简支梁两端的约束反力均为：以梁左端为原点，梁中心线为x轴建立坐标系，可求得承受均布载荷的简支梁的弯矩方程为：最大弯矩产生于处〔1〕梁的截面为实心圆时，设截面圆直径为d，因为梁为等截面梁，由强度条件得：截面面积〔2〕同理，假设梁为的矩形时，有截面面积〔3〕梁为工字梁时，有查工字钢标准，选择16号工字钢，，其截面面积为26.131cm2。由此可见，为满足强度要求，采用工字梁时的截面积最小，即最省材料。5-20试求以下图所示的各等截面梁转角方程和挠度方程，并计算梁自由端的挠度和铰支座处的转角。解：〔a〕如以下图所示建立坐标系。弯矩方程：M〔x〕=Mo〔0≤x≤a〕M〔x〕=0〔a≤x≤L〕在长度为a的这一段梁内，其挠曲线微分方程为：等截面梁抗弯刚度EI为常量。积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠度方程：边界条件为在固定端处的挠度和转角均为零，即，，由此容易得到C=D=0。于是，在在长度为a的这一段梁内，转角方程和挠度方程为：在在集中力偶Mo作用处到梁自由端这一段内，由于其弯矩为零，实质上这一段没有变形，仅是由于力的作用处发生了垂直位移和转角，这一段也随该处的变形而产生刚性转动，即这一段的轴线在整个梁变形后依然保持为一条直线，且为集中力偶Mo作用处的切线，如下图。梁自由端的挠度，由图示几何关系可直接得到，即：〔b〕如图建立坐标系，求出支座反力，写出弯矩方程，由挠曲线微分方程，再考虑边界条件，最后得转角方程和挠度方程如下〔具体过程略〕：在两铰支座处的转角如下：〔d〕如图建立坐标系，求出支座反力，得弯矩方程：挠曲线微分方程为：等截面梁抗弯刚度EI为常量。积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠度方程：边界条件为在两支座处挠度均为零，即，，由此得：，于是，转角方程和挠度方程为：在两铰支座处的转角如下：，〔c〕如以下图所示建立坐标系，并画出整体的受力图，求出约束力：，弯矩方程：挠曲线微分方程为：积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠度方程：边界条件为在两支座处挠度均为零，即，，由此得：，，在支座B处，按上述两转角方程计算出的转角应是相同的，否变形将在支座B处不连续。于是，有：，∴，于是，两支座之间及外伸局部的梁的转角及挠度方程如下：在两铰支座处的转角如下：，最大挠度在力F作用处，即5-21旋转式起重机的立柱为一外径D=133mm及内径d=125mm的管子，试对该立柱进行强度校核。起重机自重G1=15kN，起重物重量G2=20kN，[σ]=120MPa。解：〔1〕取整个起重机作为对象，画出其受力简图，如图〔a〕。由静力平衡方程，可得，〔1〕，〔2〕，〔3〕由〔3〕解得代入〔1〕得：由〔2〕解得：〔2〕由于C、D为铰接，那么取ACDB立柱作为对象，在C、D处分别作用有NCX、NCY和NDX、NDY，画出其受力简图，如图〔b〕所示。〔a〕〔b〕由静力平衡方程，可得〔4〕〔5〕〔6〕由〔6〕解得代入〔4〕得〔3〕分析ACDB立柱各段的受力及弯矩情况以A点为原点，向上方向为y轴，那么各段的受力和弯矩情况分别为：AC段：弯矩〔0≤y≤0.25m〕轴力N1=-RAY最大弯矩，位于C处截面。CD段：弯矩〔0.25m≤y≤1.7轴力N2=-RAY+RCY最大弯矩，位于C处及D处截面。DB段：弯矩〔1.75m≤y≤轴力N2=0最大弯矩，位于D处截面。综合比拟，由于AC段受到的轴力大于CD段受到的轴力，AC段属于压缩与弯曲的组合变形，因此，危险截面位于C处下部无限靠近C处受压一侧。于是故强度不够。5-22假设在正方形截面短柱的中间处开一切槽，其面积为原面积的一半，问最大压应力增大几倍？解：未切槽时的压应力。切槽后，沿开槽处截开，受力图如以下图所示。显然，危险截面变为开槽截面，其面积仅为，且该截面既有轴力又有弯矩作用，属于压缩与弯曲的组合变形。弯矩，轴力N=F。所以，切槽后的最大压应力：故切槽后最大压应力增大为原来的8倍。5-23如下图的开口圆环，由直径d=50mm的钢杆制成。：a=60mm，材料的许用应力[σ]=120MPa。求最大许可拉力的数值。解：由于钢杆上局部开口，故其上半局部截面所受内力为0。分析钢杆下半局部截面内力。沿开口处将钢杆截开，其受力图如下图。显然，钢杆下部直段局部属于拉伸与弯曲的组合变形。直线段最内侧弯曲产生的拉伸作用最大，与拉力产生的拉伸叠加，危险点处于钢杆下半部直线段的内侧。轴力N=P，弯矩M=P〔a+d/2〕。所以，最大拉应力：强度条件：故最大许可拉力为。5-24如下图的铁道路标信号板安装在外径D=60mm的空心圆柱上，假设信号板上所受的最大风载荷p=2kPa，[σ]=60MPa，试确定空心柱的壁厚。解：将均布在信号板上的力等效为作用于板心的集中力F，即力F对圆柱产生的弯矩在地面支点处到达最大值：力F对竖直段圆柱产生的扭矩为显然，空心圆柱承受弯曲与扭转的组合变形，在与地面接处的截面上弯矩和扭矩同时达最大值。于是，最大弯曲正应力和扭转剪应力为：，由弯曲与扭转组合变形的强度条件式：，并注意到，其中为圆柱的内外径之比，那么有所以即，因此，可选择空心柱的壁厚为3mm。5-25试求图〔a〕和〔b〕所示的超静定梁〔等截面〕的约束力，并作出剪力图和弯矩图。解：〔1〕解除多余约束，形成静定基，静定基上作用的载荷产生的变形如以下一组图所示。原超静定梁的位移约束条件，即变形协调条件如下：由题5-20〔a〕所得结果，得到：直接利用悬臂梁在集中力作用下产生的挠度公式，得：由此，容易得到：。固定端A处的约束力容易由静力平衡方程求得〔受力图略〕，结果如下：〔方向向上〕，〔逆时针〕剪力图和弯矩图如下：〔2〕解除多余约束，形成静定基，如以下图所示。同上，变形协调条件如下：式中为均布载荷q单独作用时在支座B处产生的挠度，为约束力RB单独作用时在支座B处产生的挠度〔变形图略〕。于是，有，其中计算式中的第二局部是考虑了长度为a的无载荷段变形后的直线特性而得到的结果。于是，得全部的约束力结果如下〔受力图略〕：，〔向上〕，〔逆时针〕。剪力图和弯矩图如下：最大弯矩位于固定端处，其值为：。题5-26图5-26如下图的超静定梁采用工字钢，：F=10kN，a=2m，许用弯曲应力[题5-26图解：将支座B视为多余约束，同上题，解除此多余约束，形成静定基，求解支座B产生的约束力，结果如下〔求解过程略〕：最大弯矩位于固定端处，其值为：强度条件：，∴查附录1工字钢〔GB/T706〕，选型号为12.6的工字钢，因为其〔竖放〕＞，故能够满足此超静定梁的强度要求。假设将支座B支掉，那么成为静定的悬臂梁，其最大弯矩假设仍采用已确定的12.6号工字钢，那么最大弯曲正应力显然，此时的最大弯曲正应力大超过了许用弯曲应力，因此，按已确定的工字钢不能满足去掉支座B后的强度要求。5-27如图〔a〕所示的两端固定等截面杆，由钢和铜两种材料制成，在两段连接处受到力F=100kN的作用，杆的横截面面积S=1000mm2。试求杆各段内横截面上的应力。：钢的弹性模量E1=2×105MPa，铜的弹性模量E2=1×10〔a〕〔b〕解：外力F的作用使钢段受压而使铜段受拉，显然整个杆不会产生弯曲变形。将两端的固定端约束解除，画出受力图如图(b)所示。静力平衡条件：〔1〕铜段内的轴力为拉力，即，而钢段内的轴力为压力，是，整个杆的总伸长应为：但因杆件两端实际上是固定的，轴向总伸长应为零，即变形协调条件为：〔2〕由〔2〕式得：代入〔1〕式，得：，。于是钢段内的应力：，铜段的应力：铜段内各点受到的为拉应力60MPa，钢段内各点受到的为压应力40MPa.5-28如下图的两端固定等截面直杆，由钢和铜两种材料制成，当温度升高60°C，试求各段内横截面上的应力。：钢的线膨胀系数α1=12.5×10-6°C-1，弹性模量E1=2×105MPa；铜的线膨胀系数α2=16.5×10-6°C-1，弹性模量E2=1×10解：杆件因温度变化而引起的变形受到两固定端的限制，势必产生约束反力和，限制杆件的膨胀和收缩，这就引起杆件内的应力，这种应力称为热应力。使用轴力的平衡方程只能得出：设想解除右端的多余支座，允许杆件自由膨胀，当温度升高时，杆件的伸长应为：而杆件因而产生的压缩变形为：因两端固定，杆件的长度不能变化，所以所产生的压缩变形必等于，即：由于温度升高限制其自由膨胀产生的热应力为压应力。5-29将题2-12中高塔设备看作是厚度均匀的圆筒体，塔设备所用材料的许用应力[σ]=120MPa，塔顶的许用挠度[y]=H/800。试按强度条件确定塔设备的厚度，再校核塔