2027新高考高三数学一轮复习讲义-第02讲-充分条件必要条件与量词-学用版及解析版

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第2讲充分条件、必要条件与量词知识整合体系重构激活思维1．设x∈R，则“x＞1”是“x²＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知p：a≤1，q：函数f(x)＝x²－2ax＋1在[1，＋∞)上单调递增，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“∃x∈R，x²＋2x＋m＜0”为真命题的充要条件是____．4．命题“∀x∈[0，2]，x²－2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围为____．聚焦知识1．充分条件、必要条件与充要条件关系含义语言表述p⇒q由p能推出qp是q的充分条件；q是p的必要条件q⇒p由q能推出pp是q的必要条件；q是p的充分条件p⇔qp与q可以互推p是q的充要条件(1)若p⇒q且q不能推出p，则p是q的____条件．(2)若p不能推出q且q⇒p，则p是q的____条件．(3)判断条件关系时，常把命题化为集合P，Q；p⇒q等价于____．2．全称量词与存在量词命题形式读法否定形式∀x∈M，p(x)对M中任意x，p(x)成立∃x∈M，¬p(x)∃x∈M，p(x)存在M中的x，使p(x)成立∀x∈M，¬p(x)(1)“∀”表示____量词，“∃”表示____量词．(2)“至少有一个”的否定是____；“都成立”的否定是____．3．常见结论与易错点(1)“p是q的充分条件”看p能否推出q；“p是q的必要条件”看q能否推出p．(2)含不等式的命题常转化为区间包含；含函数单调性、方程根的命题先转化为参数范围．(3)含量词命题求参数时，全称命题常转化为恒成立问题，存在命题常转化为有解问题．注意：否定命题不能只改结论而忘记改变量词；判断“不充分”“不必要”时，必须给出反例或排除反向推出．题型突破思维拓展举题说法题型一充分条件、必要条件与充要条件的判断例1(1)设x∈R，则“x＝2”是“x²＝4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设a，b∈R，则“a＝0”是“ab＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)设m∈R，则“m＞2”是“方程x²－mx＋1＝0有两个不等正根”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件方法提炼：判断条件关系时，固定两个方向：p⇒q是否成立，q⇒p是否成立．若能找到反例，应迅速排除反向推出；若涉及方程、不等式、函数性质，先把两个命题化为等价范围再比较．变式1设x∈R，则“|x－1|＜2”是“－1＜x＜4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型二由条件关系求参数范围例2(1)已知p：x²－4x＋3≤0，q：a≤x≤a＋2．若p是q的充分条件，则实数a的取值范围为____．(2)已知p：x＞m，q：x²－5x＋6＞0．若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围为____．(3)已知p：x∈[－1，2]，q：x∈[a，a＋4]．若q是p的必要条件，则a的取值范围为____．方法提炼：p是q的充分条件对应集合P⊆Q；p是q的必要条件对应Q⊆P．做含参题时，端点开闭、空集可能和“不充分”“不必要”的排除条件都要单独检查．变式2已知p：x²－2x－3≤0，q：x≤b．若p是q的充分条件，则b的取值范围为____．题型三全称量词、存在量词与命题否定例3(1)下列命题为真命题的是()A．∀x∈R，x²＋1＜0B．∃x∈R，x²－2x＋2＝0C．∀x∈[0，1]，x²≤xD．∃x∈N，2x＋1为偶数(2)命题“所有正方形都是矩形”的否定是()A．所有正方形都不是矩形B．至少有一个正方形不是矩形C．至少有一个矩形不是正方形D．所有矩形都是正方形(3)命题“∃x∈R，x²＋ax＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为____．方法提炼：否定含量词命题时，要同时更换量词并否定结论：∀的否定是∃，∃的否定是∀；“＞”的否定是“≤”，“至少一个”的否定是“一个也没有”．变式3命题“∀x∈R，x²＋2x＋a＞0”为真命题，则a的取值范围为____．题型四含量词的恒成立与存在性问题例4(1)若命题“∀x∈[1，3]，x²－2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围为____．(2)若命题“∃x∈[0，2]，x²－4x＋m≤0”为真命题，则m的取值范围为____．(3)若命题“∀x∈[1，2]，a≤x＋1/x”为真命题，则a的取值范围为____．方法提炼：全称命题常转化为最大值或最小值约束；存在命题常转化为方程有解、不等式有解或最值达到某一侧．处理时先明确变量范围，再研究目标式在该范围内的最值．变式4若命题“∃x∈[－1，1]，x²＋ax－1＞0”为真命题，则a的取值范围为____．随堂内化1．“x≥2”是“x²≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“∃x∈Z，x²＝2”的否定是()A．∀x∈Z，x²≠2B．∃x∈Z，x²≠2C．∀x∈R，x²≠2D．∃x∈R，x²＝23．若“∀x∈[1，2]，x²－ax＋1≥0”为真命题，则a的取值范围为____．4．已知p：x∈[－2，4]，q：x∈[a，a＋3]．若q是p的充分条件，则a的取值范围为____．配套精练一、单项选择题1．设x∈R，则“x＝0”是“x²＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是()A．∀x∈R，x²＜0B．∃x∈R，x²＜0C．∃x∈R，x²≥0D．∀x∈R，x²≤04．下列命题中为真命题的是()A．∃x∈R，x²＋1＝0B．∀x∈R，x²＋x＋1＞0C．∀x∈R，2ˣ＜0D．∃x∈N，2x为奇数5．已知p：a＞2，q：a≥1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知p：x²－3x＋2＝0，q：x＝1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若命题“∃x∈R，x²－4x＋m＜0”为假命题，则m的取值范围是()A．(－∞，4)B．[4，＋∞)C．(4，＋∞)D．(－∞，4]8．若命题“∀x∈R，x²－2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是()A．a≤1B．a＜1C．a≥1D．a＞19．设p：x∈[0，2]，q：x∈[－1，3]，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知p：函数y＝x²－2ax＋1在[2，＋∞)上单调递增，q：a≤2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多项选择题11．下列说法正确的是()A．若p⇒q，则p是q的充分条件B．若q⇒p，则p是q的必要条件C．若p与q互为充要条件，则p，q真假一定相同D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件12．下列命题的否定正确的是()A．“∀x∈R，x＞0”的否定是“∃x∈R，x≤0”B．“∃x∈N，x²＝5”的否定是“∀x∈N，x²≠5”C．“所有等边三角形都是锐角三角形”的否定是“所有等边三角形都不是锐角三角形”D．“至少有一个实数x使x²＜0”的否定是“∀x∈R，x²≥0”13．已知p：a∈[1，4]，q：a∈(－∞，m]．若p是q的充分条件，则m可能为()A．3B．4C．5D．614．关于命题p：∀x∈[0，1]，x²≤x，下列判断正确的是()A．p是真命题B．p的否定是∃x∈[0，1]，x²＞xC．p的否定是假命题D．p等价于∃x∈[0，1]，x²≤x三、填空题15．若“x＞a”是“x＞3”的充分条件，则a的取值范围为____．16．命题“∀x∈R，x²－2x＋m≥0”为真命题，则m的取值范围为____．17．命题“∃x∈[0，2]，x²－2x＋a＜0”为真命题，则a的取值范围为____．18．已知p：x∈[－1，1]，q：x∈[m－1，m＋2]，若p是q的充分条件，则m的取值范围为____．19．若p：a²－4a＋3＝0，q：a＝1，则q是p的____条件．20．已知命题“∃x∈R，x²－2mx＋m＜0”为真命题，则m的取值范围为____．

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第2讲充分条件、必要条件与量词知识整合体系重构激活思维1．设x∈R，则“x＞1”是“x²＞1”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x＞1可得x²＞1；反之x²＞1可得x＞1或x＜－1，不能推出x＞1，故为充分不必要条件．2．已知p：a≤1，q：函数f(x)＝x²－2ax＋1在[1，＋∞)上单调递增，则p是q的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】二次函数开口向上，对称轴为x＝a，在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是a≤1，故p与q等价．3．命题“∃x∈R，x²＋2x＋m＜0”为真命题的充要条件是__m＜1__．【答案】m＜1【解析】x²＋2x＋m＝(x＋1)²＋m－1，存在实数x使其小于0，等价于最小值m－1＜0，即m＜1．4．命题“∀x∈[0，2]，x²－2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围为__a≥1__．【答案】a≥1【解析】x²－2x＋a＝(x－1)²＋a－1，在[0，2]上的最小值为a－1，恒非负需a≥1．聚焦知识1．充分条件、必要条件与充要条件关系含义语言表述p⇒q由p能推出qp是q的充分条件；q是p的必要条件q⇒p由q能推出pp是q的必要条件；q是p的充分条件p⇔qp与q可以互推p是q的充要条件(1)若p⇒q且q不能推出p，则p是q的__充分不必要__条件．(2)若p不能推出q且q⇒p，则p是q的__必要不充分__条件．(3)判断条件关系时，常把命题化为集合P，Q；p⇒q等价于__P⊆Q__．2．全称量词与存在量词命题形式读法否定形式∀x∈M，p(x)对M中任意x，p(x)成立∃x∈M，¬p(x)∃x∈M，p(x)存在M中的x，使p(x)成立∀x∈M，¬p(x)(1)“∀”表示__全称；存在__量词，“∃”表示__全称；存在__量词．(2)“至少有一个”的否定是__一个也没有；至少有一个不成立__；“都成立”的否定是__一个也没有；至少有一个不成立__．3．常见结论与易错点(1)“p是q的充分条件”看p能否推出q；“p是q的必要条件”看q能否推出p．(2)含不等式的命题常转化为区间包含；含函数单调性、方程根的命题先转化为参数范围．(3)含量词命题求参数时，全称命题常转化为恒成立问题，存在命题常转化为有解问题．注意：否定命题不能只改结论而忘记改变量词；判断“不充分”“不必要”时，必须给出反例或排除反向推出．题型突破思维拓展举题说法题型一充分条件、必要条件与充要条件的判断例1(1)设x∈R，则“x＝2”是“x²＝4”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】x＝2可推出x²＝4；但x²＝4可得x＝2或x＝－2，反向不成立．(2)设a，b∈R，则“a＝0”是“ab＝0”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a＝0必有ab＝0；但ab＝0可能由b＝0导致，不能推出a＝0．(3)设m∈R，则“m＞2”是“方程x²－mx＋1＝0有两个不等正根”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】方程有两个不等正根需Δ＝m²－4＞0，根和m＞0，根积1＞0，合得m＞2；反过来m＞2时三条件均满足．方法提炼：判断条件关系时，固定两个方向：p⇒q是否成立，q⇒p是否成立．若能找到反例，应迅速排除反向推出；若涉及方程、不等式、函数性质，先把两个命题化为等价范围再比较．变式1设x∈R，则“|x－1|＜2”是“－1＜x＜4”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】|x－1|＜2等价于－1＜x＜3，可推出－1＜x＜4；反向不成立．题型二由条件关系求参数范围例2(1)已知p：x²－4x＋3≤0，q：a≤x≤a＋2．若p是q的充分条件，则实数a的取值范围为__－1≤a≤1__．【答案】－1≤a≤1【解析】p对应[1，3]，q对应[a，a＋2]．p⇒q等价于[1，3]⊆[a，a＋2]，故a≤1且a＋2≥3，得－1≤a≤1．(2)已知p：x＞m，q：x²－5x＋6＞0．若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围为__m≥3__．【答案】m≥3【解析】q等价于x＜2或x＞3．要使(m，＋∞)⊆(－∞，2)∪(3，＋∞)，需m≥3；此时q不能推出p，故为充分不必要条件．(3)已知p：x∈[－1，2]，q：x∈[a，a＋4]．若q是p的必要条件，则a的取值范围为__－2≤a≤－1__．【答案】－2≤a≤－1【解析】q是p的必要条件等价于p⇒q，即[－1，2]⊆[a，a＋4]，所以a≤－1且a＋4≥2，得－2≤a≤－1．方法提炼：p是q的充分条件对应集合P⊆Q；p是q的必要条件对应Q⊆P．做含参题时，端点开闭、空集可能和“不充分”“不必要”的排除条件都要单独检查．变式2已知p：x²－2x－3≤0，q：x≤b．若p是q的充分条件，则b的取值范围为__b≥3__．【答案】b≥3【解析】p等价于－1≤x≤3，p⇒q需[－1，3]⊆(－∞，b]，所以b≥3．题型三全称量词、存在量词与命题否定例3(1)下列命题为真命题的是(C)A．∀x∈R，x²＋1＜0B．∃x∈R，x²－2x＋2＝0C．∀x∈[0，1]，x²≤xD．∃x∈N，2x＋1为偶数【答案】C【解析】A恒假；B中判别式为－4，无实根；C在[0，1]上恒成立；D中2x＋1恒为奇数．(2)命题“所有正方形都是矩形”的否定是(B)A．所有正方形都不是矩形B．至少有一个正方形不是矩形C．至少有一个矩形不是正方形D．所有矩形都是正方形【答案】B【解析】全称命题的否定是存在命题，并否定结论，故为“至少有一个正方形不是矩形”．(3)命题“∃x∈R，x²＋ax＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为__－2＜a＜2__．【答案】－2＜a＜2【解析】存在x使二次式≤0为假，等价于∀x∈R，x²＋ax＋1＞0．需Δ＝a²－4＜0，得－2＜a＜2．方法提炼：否定含量词命题时，要同时更换量词并否定结论：∀的否定是∃，∃的否定是∀；“＞”的否定是“≤”，“至少一个”的否定是“一个也没有”．变式3命题“∀x∈R，x²＋2x＋a＞0”为真命题，则a的取值范围为__a＞1__．【答案】a＞1【解析】开口向上的二次函数恒大于0，需判别式4－4a＜0，故a＞1．题型四含量词的恒成立与存在性问题例4(1)若命题“∀x∈[1，3]，x²－2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围为__a≥1__．【答案】a≥1【解析】x²－2x＋a＝(x－1)²＋a－1，在[1，3]上的最小值为a－1，故a≥1．(2)若命题“∃x∈[0，2]，x²－4x＋m≤0”为真命题，则m的取值范围为__m≤4__．【答案】m≤4【解析】在[0，2]上x²－4x＋m的最小值为m－4．存在x使其≤0，等价于m－4≤0，即m≤4．(3)若命题“∀x∈[1，2]，a≤x＋1/x”为真命题，则a的取值范围为__a≤2__．【答案】a≤2【解析】函数x＋1/x在[1，2]上的最小值为2，全称成立需a不超过该最小值，故a≤2．方法提炼：全称命题常转化为最大值或最小值约束；存在命题常转化为方程有解、不等式有解或最值达到某一侧．处理时先明确变量范围，再研究目标式在该范围内的最值．变式4若命题“∃x∈[－1，1]，x²＋ax－1＞0”为真命题，则a的取值范围为__a≠0__．【答案】a≠0【解析】若a＞0，取x＝1得a＞0；若a＜0，取x＝－1得－a＞0，均存在满足条件的x．若a＝0，则x²－1≤0在[－1，1]上恒成立，不能大于0，故a≠0．随堂内化1．“x≥2”是“x²≥4”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】x≥2可推出x²≥4；但x²≥4还可能x≤－2，反向不成立．2．命题“∃x∈Z，x²＝2”的否定是(A)A．∀x∈Z，x²≠2B．∃x∈Z，x²≠2C．∀x∈R，x²≠2D．∃x∈R，x²＝2【答案】A【解析】存在命题的否定为全称命题，范围不变，结论取否定．3．若“∀x∈[1，2]，x²－ax＋1≥0”为真命题，则a的取值范围为__a≤2__．【答案】a≤2【解析】由x²－ax＋1≥0得a≤x＋1/x．在[1，2]上x＋1/x的最小值为2，所以a≤2．4．已知p：x∈[－2，4]，q：x∈[a，a＋3]．若q是p的充分条件，则a的取值范围为__－2≤a≤1__．【答案】－2≤a≤1【解析】q⇒p等价于[a，a＋3]⊆[－2，4]，故a≥－2且a＋3≤4，得－2≤a≤1．配套精练一、单项选择题1．设x∈R，则“x＝0”是“x²＝0”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】实数范围内x²＝0等价于x＝0．2．“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．3．命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是(B)A．∀x∈R，x²＜0B．∃x∈R，x²＜0C．∃x∈R，x²≥0D．∀x∈R，x²≤0【答案】B【解析】全称命题否定为存在命题，且x²≥0的否定为x²＜0．4．下列命题中为真命题的是(B)A．∃x∈R，x²＋1＝0B．∀x∈R，x²＋x＋1＞0C．∀x∈R，2ˣ＜0D．∃x∈N，2x为奇数【答案】B【解析】x²＋x＋1判别式为－3且开口向上，恒大于0．5．已知p：a＞2，q：a≥1，则p是q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a＞2可推出a≥1，反向不成立．6．已知p：x²－3x＋2＝0，q：x＝1，则p是q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】p等价于x＝1或x＝2，q⇒p成立，但p⇒q不成立．7．若命题“∃x∈R，x²－4x＋m＜0”为假命题，则m的取值范围是(B)A．(－∞，4)B．[4，＋∞)C．(4，＋∞)D．(－∞，4]【答案】B【解析】存在小于0为假，等价于恒有x²－4x＋m≥0，最小值m－4≥0．8．若命题“∀x∈R，x²－2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是(C)A．a≤1B．a＜1C．a≥1D．a＞1【答案】C【解析】最小值为a－1，恒非负需a≥1．9．设p：x∈[0，2]，q：x∈[－1，3]，则p是q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】[0，2]⊆[－1，3]，故p⇒q，反向不成立．10．已知p：函数y＝x²－2ax＋1在[2，＋∞)上单调递增，q：a≤2，则p是q的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】对称轴为x＝a，在[2，＋∞)上递增等价于a≤2．二、多项选择题11．下列说法正确的是(ABC)A．若p⇒q，则p是q的充分条件B．若q⇒p，则p是q的必要条件C．若p与q互为充要条件，则p，q真假一定相同D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件【答案】ABC【解析】A，B为定义