《锐角三角函数》单元测试

《锐角三角函数》单元测试同学们，经过一段时间对“锐角三角函数”的学习，相信大家已经对这部分知识有了一定的掌握。这份单元测试旨在帮助你们回顾和巩固所学内容，检验学习效果，同时也是一次查漏补缺的好机会。请大家认真审题，仔细作答，充分发挥自己的水平。一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列关系式中错误的是()A.sinA=cosBB.cosA=sinBC.tanA·tanB=1D.sinA+cosA=12.已知∠A为锐角，且sinA=√3/2，则∠A的度数是()A.30°B.45°C.60°D.90°3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为()A.3/4B.4/3C.3/5D.4/54.下列各式中，正确的是()A.sin45°>cos45°B.sin30°>tan45°C.cos30°<sin60°D.tan30°<sin30°5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，那么cosB的值是()A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3*(注：此处原题应有图，描述为：直角三角形ABC，直角顶点为C，斜边AB，直角边BC和AC)*二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，BC=2，则AB=______，AC=______。7.tan45°的值是______，cos60°的值是______。8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则tanB的值是______。9.若α为锐角，且sinα=cos30°，则α=______度。10.一斜坡的坡角为30°，则它的坡度i(即坡面的铅直高度与水平宽度的比)为______。三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11.(每小题5分，共10分)(1)计算：sin30°+cos60°-tan45°。(2)计算：tan30°·cos30°+sin60°·cos45°。12.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=6，AD=BC，sin∠CAD=3/5。求：(1)AD的长；(2)tanB的值。*(注：此处原题应有图，描述为：直角三角形ABC，直角顶点C，AC、BC为直角边，AB为斜边，D点在BC边上，连接AD)*13.(12分)已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6√2。求：(1)BC的长；(2)△ABC的面积。*(注：此处原题应有图，描述为：三角形ABC，已知∠B、∠C和边AB，建议过A作BC的高AD，将其分为两个直角三角形)*14.(12分)如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量学校操场上的旗杆AB的高度。他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点D处(点C、D、B在同一直线上)，测得旗杆顶端A的仰角为60°。已知台阶CD的高度为2米，台阶坡面CD的坡度为1:√3(即台阶的垂直高度与水平宽度的比)，求旗杆AB的高度。*(注：此处原题应有图，描述为：旗杆AB垂直于地面BD，D、C、B在同一直线上，C在D和B之间，C点比D点高2米，形成台阶CD)*15.(13分)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，且DF=3。(1)求证：△ADF是直角三角形；(2)求tan∠BAE的值。*(注：此处原题应有图，描述为：矩形ABCD，AB为宽，BC为长，E在BC上，连接AE，将△ABE折叠，B点落在矩形内部F点，连接DF)*16.(13分)已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=3/5，点D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=6。(1)求线段BC的长；(2)求tan∠BAD的值。*(注：此处原题应有图，描述为：直角三角形ABC，直角顶点C，AC、BC为直角边，AB为斜边，D点在BC边上，连接AD)*---参考答案与评分建议一、选择题(每小题3分，共15分)1.D2.C3.C4.D5.A二、填空题(每小题3分，共15分)6.4，2√3(第一空1分，第二空2分)7.1，1/2(每空1.5分)8.5/129.6010.1:√3(或√3/3)三、解答题(共70分)11.(每小题5分，共10分)(1)解：原式=1/2+1/2-1…………(3分，每个值1分)=1-1=0…………(2分)(2)解：原式=(√3/3)·(√3/2)+(√3/2)·(√2/2)…………(2分，每个三角函数值0.5分)=(3/6)+(√6/4)…………(2分)=1/2+√6/4…………(1分，或写成(2+√6)/4)12.(10分)解：(1)在Rt△ACD中，∠C=90°，sin∠CAD=CD/AD=3/5。…………(1分)设CD=3k，则AD=5k。…………(1分)由勾股定理得：AC=√(AD²-CD²)=√(25k²-9k²)=√(16k²)=4k。…………(2分)∵AC=6，∴4k=6，k=6/4=3/2。…………(1分)∴AD=5k=5×(3/2)=15/2=7.5。…………(1分)(2)∵AD=BC，∴BC=15/2。…………(1分)∵CD=3k=3×(3/2)=9/2，∴BD=BC-CD=15/2-9/2=6/2=3。…………(1分)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=AC/BC=6/(15/2)=6×(2/15)=12/15=4/5。…………(2分)(注：也可先求出AB，再求cosB或sinB，再求tanB，但直接用对边比邻边更简便。)*(按步骤给分，关键公式和计算正确即可得分，结果错误扣1分)*13.(12分)解：过点A作AD⊥BC于点D。…………(1分，不写此步但后续正确也可酌情给分)在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=6√2。∴AD=AB·sinB=6√2·sin45°=6√2·(√2/2)=6√2·√2/2=6×2/2=6。…………(2分)BD=AB·cosB=6√2·cos45°=6√2·(√2/2)=6。…………(2分)在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=60°，AD=6。∴CD=AD/tanC=6/tan60°=6/√3=2√3。…………(2分)AC=AD/sinC=6/sin60°=6/(√3/2)=12/√3=4√3。(此步可省略)(1)BC=BD+DC=6+2√3。…………(2分)(2)S△ABC=1/2·BC·AD=1/2·(6+2√3)·6…………(2分)=3·(6+2√3)=18+6√3。…………(1分)*(按步骤给分，构造辅助线、使用三角函数、计算各线段长度、面积公式应用均为得分点)*14.(12分)解：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥BD于点F。…………(1分)则四边形CDBF为矩形(或CE=BF，EB=CF=CD的高度)，设AB=x米。∵台阶CD的高度为2米，坡度为1:√3，∴CF=2米，DF=2√3米。…………(2分，DF计算1分)∴EB=CF=2米，∴AE=AB-EB=(x-2)米。…………(1分)在Rt△AEC中，∠ACE=45°，∴CE=AE=(x-2)米。…………(2分)∴BF=CE=(x-2)米，∴BD=BF+FD=(x-2)+2√3=x-2+2√3。…………(2分)在Rt△ADB中，∠ADB=60°，tan∠ADB=AB/BD，…………(1分)∴tan60°=x/(x-2+2√3)，即√3=x/(x-2+2√3)。…………(1分)√3(x-2+2√3)=x√3x-2√3+6=x√3x-x=2√3-6x(√3-1)=2(√3-3)x=[2(√3-3)]/(√3-1)…………(1分，可展示分母有理化过程)分子分母同乘(√3+1)：x=[2(√3-3)(√3+1)]/[(√3)^2-1^2]=[2(3+√3-3√3-3)]/(3-1)=[2(-2√3)]/2=-2√3。(显然不合题意，说明前面BD表达式有误！)(修正BD表达式)正确应为：BF=CE=(x-2)米，而BF=BD-DF(因为D在C的前方，即D在B和C之间，所以BD+DF=BF？或者说，点的顺序应该是D、C、B，所以DC的水平距离DF是D到C，CB是C到B，所以BD=DF+FB=2√3+(x-2)。这才是正确的。之前的“BD=BF+FD”若点顺序是D、C、B，则BF=BC，BD=BC+CD的水平距离=BF+DF。)∴BD=DF+BF=2√3+(x-2)。…………(修正后，此步2分)则√3=x/(2√3+x-2)√3(x+2√3-2)=x√3x+6-2√3=x√3x-x=2√3-6x(√3-1)=2(√3-3)x=[2(√3-3)(√3+1)]/[(√3)^2-1]=[2(3+√3-3√3-3)]/2=[2(-2√3)]/2=-2√3。依然错误！(再次修正点的顺序和辅助线理解)正确理解：点C在台阶上，点D在台阶下，朝着旗杆方向走，所以D在C的前方，即D离旗杆更近。所以B在最远处，然后依次是D、C？不对，应该是从C走到D，是朝着旗杆，所以D比C更靠近旗杆B。因此，点的顺序是：旗杆底部B，然后是D(台阶下)，然后是C(台阶上)。所以BD<BC。那么，CF⊥BD于F，则F在BD的延长线上？或者，DF是CD的水平宽度，即从D到C的水平距离是DF=2√3，垂直距离CF=2。因此，BC=BD+DC的水平距离=BD+DF=BD+2√3。而CE=BF=BC=BD+2√3。AE=x-2。在Rt△AEC中，AE=CE→x-2=BD+2√3→BD=x-2-2√3。在Rt△ABD中，tan60°=x/BD→√3=x/(x-2-2√3)√3(x-2-2√3)=x√3x-2√3-6=x(√3-1)x=2√3+6x=(2√3+6)/(√3-1)=[2(√3+3)(√3+1)]/[(√3)^2-1]=[2(3+√3+3√3+3)]/2=[2(6+4√3)]/2=6+4√3。这样就对了。看来之前的点顺序搞错了，这是解本题的关键。…………(以上为教师思考过程，学生答题时若能正确分析点的位置关系并列出正确方程即可得分)(最终正确解答)设AB=x米。过C作CE⊥AB于E，CF⊥地面BD于F。则CF=2米(CD高度)，DF