八年级数学上册“角平分线的判定”第2课时导学案（人教版）

八年级数学上册“角平分线的判定”第2课时导学案（人教版）

一、教学内容分析

（一）教材地位与作用

本课时“角平分线的判定”隶属于人教版八年级数学上册第十二章“全等三角形”第12.3节“角的平分线的性质”，是在学生系统掌握了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及尺规作图、角平分线的性质定理之后的深化课程。从知识逻辑看，本节内容完成了角平分线研究的完整闭环：性质定理解决“线上点有何特性”，判定定理解决“具备何种特性的点在线上”。这一互逆定理的论证与运用，不仅是全等三角形判定法（特别是HL定理）的经典范例，更是初中阶段学生首次系统经历“原命题—逆命题—真假辨析—定理生成”完整思维链的关键节点。该内容承前——巩固全等三角形的证明技巧，启后——为九年级学习“圆的轴对称性”“切线长定理”及“三角形的内心”奠定坚实的逻辑基础，在平面几何体系中占据枢纽位置。【非常重要】【核心内容】

（二）课程标准对标

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第四学段（7-9年级）图形与几何领域明确要求：理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理和判定定理。本课时精准对标“通过具体实例理解逆命题、逆定理的概念，并能运用判定定理解决简单的几何问题”这一学业要求，着力发展学生的抽象能力、推理能力和几何直观。【基础纲领】

（三）知识图谱与要点罗列

本课时涉及的全部要点及核心内容按认知逻辑序列罗列如下：

1.核心概念与命题：【非常重要】【高频考点】

（1）角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

（2）互逆定理关系：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理。

（3）符号语言系统：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE；∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）。

2.定理证明的关键要素：【重要】【难点】

（1）辅助线策略：连接角的顶点与已知点，构造直角三角形。

（2）全等依据：斜边、直角边（HL）定理或角角边（AAS）定理。

（3）逻辑链条：距离相等→直角三角形全等→对应角相等→点在平分线上。

3.条件辨析与易错警示：【重要】【必纠】

（1）点的区域限制：必须明确“角的内部”，反例——角的外部也存在到两边距离相等的点，但不在角平分线上。

（2）距离的垂直性：必须指明“到两边的距离”，即垂线段长度，而非任意斜线段。

（3）推理的单向性：判定定理不能逆向用回性质，必须严格区分已知与结论。

4.基本图形变式：【高频考点】

（1）单垂线型：点向角两边作一条垂线。

（2）双垂线型：点向角两边均作垂线。

（3）内藏型：判定点隐藏在三角形内部，与高线、角平分线交织。

5.尺规作图的原理深化：【基础】【必会】

依据判定定理解释尺规作图“作已知角的平分线”的合理性——以适当长为半径画弧交两边于点，构造到两边距离相等的点（利用全等SSS或HL论证）。

6.跨学科链接素材：【拓展】【素养】

（1）物理学：光的反射定律中法线是入射光线与反射光线夹角的角平分线。

（2）工程学：桥梁桁架结构中等腰三角形底边中线与顶角平分线重合原理。

（3）艺术设计：利用角平分线进行平面镶嵌与对称图案绘制。

二、学情分析

（一）知识储备起点

学生已完成第十二章前段内容的学习，具体表现为：①能够熟练运用全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）进行几何证明；②理解并掌握了角平分线的性质定理，能规范书写“∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB；∴PD=PE”；③会独立操作尺规作一个角的平分线，但相当比例的学生仅停留在程序模仿层面，对其几何原理并未深度追问。【基础】

（二）认知风格与潜在困难

八年级学生正处于几何论证能力从“直观感知”向“逻辑演绎”跨越的关键期，思维特征表现为：①习惯于正向推理，对逆命题的构造与验证存在认知惰性；②面对需要添加辅助线的题目常产生畏难情绪，不知从何处入手；③对定理中的约束条件（如“内部”“垂直”）敏感度不足，容易在应用时被图形非本质特征干扰（如图形中垂线段未画出时误判）。【难点】【学情焦点】

（三）发展可能性预判

本课时通过强对比教学与变式训练，学生应能达成以下发展：①90%以上学生能独立完成判定定理的标准证明与应用；②70%以上学生能主动从逆命题角度思考几何性质；③30%左右学生能综合性质与判定解决复杂嵌套问题，并初步感知“点的轨迹”思想。【重要】

三、教学目标与核心素养

（一）教学目标立体架构

1.知识与技能目标（学会）

（1）准确陈述角平分线判定定理的文字语言、图形语言及符号语言。【基础】

（2）能独立完成判定定理的证明过程，理解添加辅助线OP的合理性。【重要】

（3）能直接运用判定定理解决“点是否在角平分线上”的判断问题及简单计算。【核心】

（4）能结合性质与判定定理进行两步以上推理的综合几何问题。【高频考点】

2.过程与方法目标（会学）

（1）经历“操作感知—合情猜想—演绎证明—变式内化”的定理学习全过程。

（2）掌握研究几何命题的“逆向思维法”，即由一个定理出发，构造逆命题并验证其真伪。

（3）进一步巩固“文字语言—图形语言—符号语言”三重转化的学习策略。【重要】

3.情感态度与价值观目标（乐学）

（1）在发现并证明互逆定理的过程中，感受数学结构的对称美与逻辑的严密性。

（2）通过角平分线在实际问题及跨学科情境中的应用，增强用数学眼光观察世界的意识。

（3）在小组共学、互评互纠中养成严谨、求实的科学态度。【基础】

（二）核心素养具体表征

4.数学抽象：从“考古选址”“公路与超市”等具体情境中剥离出“点与角两边距离相等”的数学模型。【基础】

5.逻辑推理：完整经历判定定理的“猜想—反驳—证明—确认”流程，演绎推理链条严密。【非常重要】

6.直观想象：借助几何画板追踪PE=PF时点P的轨迹，形成角的内部到两边距离相等的点集与角平分线射线重合的表象。【重要】

7.数学建模：将现实中“找位置”问题转化为“作角平分线与某条线求交点”的数学模型。【热点】

8.数学运算：通过距离相等建立方程求解角度或线段长度。【基础】

四、教学重难点精准定位

（一）教学重点

角平分线判定定理的探究发现、严格证明及初步应用。此重点基于课程标准要求及该定理在几何体系中的工具性价值。【非常重要】【高频考点】

（二）教学难点

1.证明思路的突破：如何想到添加辅助线OP，并能清晰阐述这一辅助线的构造动机（将位置关系转化为三角形全等）。

2.易混点的澄清：性质定理与判定定理的条件结论在复杂图形中的正确区分与灵活选用。

3.条件完整性认知：深刻理解并主动验证“角的内部”这一前提的必要性。【难点】【思辨核心】

五、教学策略与方法

（一）主导理念

以建构主义学习理论为指导，采用“问题链驱动—可视化支撑—变式网巩固”的三维教学模式。不将定理直接呈现给学生，而是通过递进式问题引导其重走“数学家发现定理之路”。将课堂还给学生，让证明的需求自然发生。

（二）具体方法组合

1.启发发现法：通过性质定理的逆命题设问，激发认知冲突，驱动探究动机。

2.动态演示法：利用几何画板追踪动点轨迹，将抽象的“点的集合”具象化，跨越直观到逻辑的鸿沟。【重要手段】

3.支架式教学法：以“导学案”为思维支架，预习环节搭建逆向思考框架；课堂环节以系列问题串搭建论证台阶。

4.交互反馈法：全程嵌入“说思路—写过程—互评改”环节，暴露思维盲区，实现即时矫正。

（三）学法指导

5.类比迁移策略：引导学生类比“线段垂直平分线的性质与判定”，迁移研究思路。

6.条件反射策略：训练学生在图形中看到“角内一点到两边垂线段相等”，立即反应出“角平分线”结论。

7.错题归因策略：针对“忽略内部条件”等典型错误，指导学生建立个人易错档案。【基础习惯】

六、教学资源与环境

1.实体资源：人教版八年级上册教材、配套导学案（含预习单与探究单）、三角板、圆规、量角器、彩色粉笔。

2.数字化资源：几何画板6.0动态课件（预设追踪轨迹功能）、PPT课件、微课《角平分线判定定理的三种证法》、班级学习通平台。

3.环境配置：多媒体触控一体机（或投影+白板）、学生四人小组座次排列、实物展台便于展示学生作图与证明过程。

4.跨学科素材：光的反射定律3D动画、埃菲尔铁塔底座三角结构实拍图。【拓展浸润】

七、教学实施过程（核心环节，占绝大部分篇幅）

（一）课前导学——逆向思维预热

导学案前置任务设计（发布于课前24小时）：

【任务1·基础巩固】请画出一个角∠AOB，并用量角器作出它的平分线OC，在OC上任取一点P，分别向OA、OB作垂线，垂足为M、N。测量PM、PN的长度，你发现了什么？用符号语言写出角平分线的性质定理。

【任务2·思维挑战】将任务1中的结论与条件互换，构造一个新命题。即：如果一个点P在∠AOB内部，且满足PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，那么这个点P是否一定在∠AOB的平分线上？请凭直觉判断“是”或“否”，并尝试画图说明理由（可用测量或折叠的方式验证）。【非常重要】【预习驱动】

设计意图：任务1回顾旧知，为本课提供类比对象；任务2强制学生进行逆向思考，尽管部分学生会因测量误差或画图不准得出模糊结论，但带着“自己的猜想”进入课堂，能极大增强听课的指向性与思辨欲。

（二）课堂导入（3分钟）

1.情境聚焦：教师通过PPT展示实际问题——某开发区规划了两条交叉的公路（夹角模拟∠AOB），现要在夹角内部修建一座“爱心献血屋”，要求献血屋到两条公路的距离相等。如果你是这个项目的规划师，你会建议将献血屋建在哪条线上？为什么？

学生脱口而出：建在角平分线上，因为角平分线上的点到角两边距离相等。（性质定理自然复现）

2.追问转向：如果献血屋已经建成，我们通过测量确认它到两条公路的距离恰好相等，那么能断定这座献血屋一定建在了角平分线上吗？——学生出现分歧，部分认为“当然一定在”，部分认为“还需证明”。教师顺势板书课题，并指出这就是今天要精确解决的“角平分线的判定”问题。【核心问题凝练】

（二）探究新知——定理的发现与证明（18分钟）

3.猜想显性化（3分钟）

教师组织学生展示导学案任务2的个人判断及验证方法。

生1：我是用量角器先画40°角，取内部一点P，作垂线后量垂线段，发现相等时点P正好在角平分线上，所以我判断命题正确。

生2：我画的是120°钝角，用折叠法使角两边重合，发现点P若能使两垂线段等长，折痕必过P，我也认为命题正确。

教师追问：是否存在反例？即点P在角内部且到两边距离相等，却不在角平分线上？学生尝试构造但发现徒手很难画出反例。教师适时引出几何画板验证：在∠AOB内任意拖动点P，并实时显示PE、PF的长度值及两线段差的绝对值，引导学生观察当PE=PF时，点P是否恰好落在射线OP上？通过多次随机取点，学生信服猜想成立。【直观支撑】

此时教师板书猜想命题：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。【重要】【猜想待证】

4.证明探究（10分钟）

（1）师生合作将文字命题转化为几何语言：

已知：如图，∠AOB内一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE。

求证：点P在∠AOB的平分线上（即∠POD=∠POE或OP平分∠AOB）。

（2）独立尝试与小组互助：教师要求学生先在导学案上尝试画出辅助线并写出简要思路，然后四人小组交流。教师在巡视中发现典型障碍：部分学生不知该连哪条线；部分学生连接了P与角顶点O，却不知下一步怎么办；少数优生已写出HL全等的过程。

（3）关键追问突破难点：教师邀请一位“卡壳”的学生说出他的困惑，随即面向全班发问：“为什么大家几乎都连接了OP？连接OP的目的是什么？”

生3：因为要证明OP是角平分线，就是证明∠POD=∠POE，这两个角正好在两个三角形中。

师：哪两个三角形？

生3：△POD和△POE。

师：它们是什么三角形？

生：直角三角形（因为PD⊥OA，PE⊥OB）。

师：要证这两个直角三角形全等，已有什么条件？还缺什么？

生：已有PD=PE，还有OP=OP（公共边），所以HL全等。

至此，全班豁然开朗——辅助线OP并非凭空而来，是为了构造包含∠POD和∠POE的两个直角三角形，利用已知的等距条件证明全等。【难点突破】【非常重要】

（4）规范板书示范：教师请一名学生代表上台板演完整证明过程，其余学生在导学案上同步书写。教师巡视纠正符号语言的规范性，特别强调：必须写明“在Rt△POD和Rt△POE中”，并严格按照HL判定格式列出条件。板演完成后，师生共同点评，修正如垂足字母标注不清、结论未回归“OP平分∠AOB”等问题。

（5）定理命名与三语言转换：教师总结：这个命题是真命题，我们称之为“角平分线的判定定理”。师生合作完成三语言表格的思维构建——

文字语言：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

图形语言：角内一点向两边作垂线，若垂线段相等，则该点与角的顶点连线即角平分线。

符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE；∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）。【基础规范】【高频考点】

5.辨析深化——为什么强调“角的内部”？（3分钟）

教师用几何画板演示：在∠AOB的外部取一点P'（例如在∠AOB的对顶角区域内），过P'向OA、OB所在直线作垂线，同样可以构造出P'D'=P'E'。此时量出∠P'OD'与∠P'OE'，显然不相等，即P'不在∠AOB的平分线上，而是在其对顶角的平分线上。

教师反问：若去掉“角的内部”这个条件，原命题还成立吗？学生齐答：不成立。教师强化：判定定理必须满足“点在角的内部”这一大前提，这是命题严密性的体现。【重要】【易错警示】

（三）巩固内化——双定理对比与基础应用（8分钟）

6.性质与判定对比表（师生共建）：

教师以提问形式引导学生梳理：性质定理是“已知平分推距离”，判定定理是“已知距离推平分”；性质定理无需强调“内部”（因为角平分线上的点必然在角内部），判定定理必须强调“内部”；二者条件结论互换，是互逆定理。【重要】

7.快速反应训练（口答，辅以手势判断）：

（1）如图，点P在∠AOB内，PC⊥OA，PD⊥OB，且PC=PD，能直接得到OP平分∠AOB吗？（能，判定定理）【基础】

（2）如图，OP平分∠AOB，点Q在OP上，且QE⊥OA，则QE与QF不一定相等，为什么？（缺QF⊥OB的条件）【重要】【审题训练】

（3）三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三边的距离相等。这一结论用到了性质还是判定？（二者均用，先由判定得交点在角平分线上，再由性质得距离相等）【综合铺垫】

8.典例精析（例1）：

已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF。求证：AD垂直平分EF。

思路引导：教师引导学生分解目标——要证AD垂直平分EF，需证两点：①AD⊥EF；②AD与EF的交点设为O，证EO=FO。

第一步：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC→DE=DF（性质定理）。

第二步：由DE=DF，且DE⊥AB，DF⊥AC，点D在∠BAC内部→点D在∠BAC的平分线上？（学生易混：此处已知D在角平分线上，是性质的应用，不再倒推判定）教师及时澄清：这里不能写成“D在角平分线上”，因为AD本就是角平分线，应直接用性质得到等距。且第二步需证垂直平分，需连接AD与EF交点O，再证△AEO≌△AFO或利用等腰三角形三线合一。

教师板书完整推导路径，强调：在同一道题中交替使用性质与判定时，必须每一步明确当前使用的定理依据，不可跳步、混用。【难点】【高频考点】

（四）变式拓展——模型识别与问题解决（12分钟）

9.变式1（条件与结论互换编题）：

已知：如图，在四边形ABCD中，BC=CD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且CE=CF。求证：AC平分∠BAD。

学生独立分析：由CE=CF及垂直直接可得点C在∠BAD的平分线上（判定定理），与BC=CD无关。教师追问：那题目给BC=CD是多余条件吗？引导学生发现BC=CD在此处虽未用于角平分线判定，但可能在后续证明全等或求线段关系时有用，强化审题时条件筛选意识。【重要】【思维严谨】

10.变式2（实际作图与证明）：

某公园有两段围墙OA、OB交于点O，现拟在∠AOB内部修建一个喷泉P，要求喷泉到OA、OB的距离相等，同时喷泉到凉亭C（OA边上一定点）的距离等于喷泉到凉亭D（OB边上一定点）的距离。请用尺规作图确定喷泉P的位置，并写出作法。【热点】【数学建模】

学生活动：小组合作，在导学案附图上尝试作图。教师巡视发现典型策略——学生先作∠AOB的平分线，再作线段CD的垂直平分线，两线交点即为所求。实物展台展示优秀作法，学生互评。教师强调作图依据：角平分线上的点到角两边距离相等；垂直平分线上的点到线段两端距离相等。【非常重要】【跨知识融合】

11.变式3（动态几何猜想）：

已知∠MON=60°，点A是角平分线上一点，过点A任作一条直线，分别交OM于点B，交ON于点C。试探究AB与AC的数量关系，并说明理由。

学生动手画图，发现一般情况下AB≠AC，只有当直线BC与角两边构成等腰三角形或特定位置（如BC⊥OA）时才有AB=AC。此题不作全班强制要求，作为思维挑战题，鼓励学有余力者课后探究。【难点】【培优】

（五）跨学科窗口——数学之用（3分钟）

12.光的反射：教师播放Flash动画，激光从点S射向平面镜l上的点O，反射后经过点T。根据物理定律，入射角等于反射角，此时法线ON（垂直于镜面）即为∠SOT的角平分线。如果已知点S、T及镜面位置，如何确定入射点O？学生联系本课知识：作点S关于镜面l的对称点S'，连接S'T与l的交点即为O，这一作图的本质正是利用了角平分线判定的逆思维。【跨学科】【素养链接】

13.工程结构：展示南京长江大桥腹杆桁架图片，指出在等腰三角支撑结构中，顶角的平分线同时也是底边的中线，这种设计使得力的传递对称均衡，体现了角平分线的美学与力学价值。【拓展视野】

（六）小结升华——知识网格化（3分钟）

教师引导学生从以下维度进行复盘，并借助思维导图软件现场生成知识网络：

14.一个核心定理：角平分线的判定（文字、图形、符号三语转换，条件“内部”不可缺）【非常重要】

15.两个互逆定理：性质与判定对比表（条件、结论、用途、易错点）【重要】

16.三条基本辅助线：遇角平分线常作垂线（用性质）；要证角平分线常连顶点作垂线证全等（用判定）；综合问题中连接内心与顶点。【难点凝练】

17.四种常见题型：直接判定、作图找点、性质判定混合、实际应用建模。【高频考点汇总】

学生完善导学案上的“本课思维树”，课后上交备查。

（七）当堂检测——即时反馈（5分钟）

检测题设计遵循“低起点、密台阶、快反馈”原则：

18.（选择题）如图，已知点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，添加下列哪个条件仍不能判定OP平分∠AOB？（）

A.PC=PDB.∠POC=∠PODC.OC=ODD.点P在∠AOB的平分线上

（答案：D，该选项是结论本身，不能作为判定条件）【易错陷阱】

19.（填空题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，AC=8cm，BC=6cm，则DE=______cm。

（先由勾股定理求AB=10，由角平分线性质得DE=DC，设DE=x，利用面积法或全等列方程求解）【热点】【计算综合】

20.（证明题）已知：如图，△ABC的外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点P。求证：点P在∠MAN的平分线上。

（需过P向三边所在直线作垂线，利用平分线性质得三垂线段两两相等，从而推出点P也在内角平分线上）【重要】【经典题】

学生限时独立作答，教师通过举手统计或智慧课堂系统快速获取正确率，针对第3题进行简要思路点拨。

（八）分层作业——差异发展（1分钟）

【A层·基础巩固】（必做）

21.教科书第51页习题12.3第3题、第4题（直接运用判定定理的简单证明）。

22.同步练习册“角平分线的判定”第一板块（填空题与选择题）。

【B层·综合应用】（选做）

23.已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于点O，且AO平分∠BAC。求证：OB=OC。

（需先用判定？不，先用性质得OD=OE，再证△BOD≌△COE）【性质判定混合】

24.用两种方法证明：三角形三条角平分线交于一点。（方法一：利用判定定理，设两条角平分线交于一点，证该点在第三条角平分线上；方法二：利用内心坐标公式，供学有余力者探索）【非常重要】【下节预告】

【C层·探究拓展】（研究性学习）

以“角平分线判定定理在生活中的应用”为主题，搜集资料并撰写一篇400字左右的数学小论文，要求包含具体实例、数学建模过程及解决方案。优秀作品将在班级数学角展示。【素养提升】

八、教学板书全息设计

鉴于本课禁止使用表格，板书设计以分区文字描述呈现如下，确保在黑板或白板上可实现：

（主板书左侧区）

标题：§12.3.2角平分线的判定

性质定理回顾：

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PE

（对应图形简图）

判定定理（互逆）：

文字：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

图形：（标准角平分线判定示意图，标注已知PD=PE）

符号：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE

∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）

（主板书中间区）

定理证明：

已知：……

求证：……

证明：连接OP

在Rt△POD和Rt△POE中

PD=PE（已知）

OP=OP（公共边）

∴Rt△POD≌Rt△POE（HL）

∴∠POD=∠POE

∴OP平分∠AOB

即点P在∠AOB的平分线上

关键点：辅助线OP的构造目的——全等三角形

（主板书右侧区）

性质vs判定（箭头互逆）

易错警示：必须在角的内部！

典例模型：

例1图（标注垂直、平分）

选址作图模型（角平分线+垂直平分线交点）

（副板书临时