2026年山东省中考数学试卷附答案

2026年山东省中考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求）1．（3分）下列实数中，比1大的数是（）A．﹣2 B．0 C．0.5 D．22．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里．将160000用科学记数法表示为（）A．0.16×106 B．1.6×105 C．1.6×106 D．16×1044．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．m3﹣m2＝m B．（m2）3＝m6 C．m9÷m3＝m3 D．2m•3m＝6m6．（3分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B．以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交a，c于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠MAN的内部交于点C；作射线AC交b于点D．若∠ABD＝54°，则∠ADB的度数是（）A．36° B．54° C．63° D．72°7．（3分）计算x2A．x﹣1 B．x+1 C．1x−1 D．8．（3分）甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成如图．根据图中信息，下列结论正确的是（）A．甲的跳绳成绩总是高于乙 B．甲的跳绳成绩的众数为184 C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D．甲的跳绳成绩的方差小于乙9．（3分）在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5km健步走项目．两人8：00从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（）A．8：25 B．8：33 C．9：00 D．9：1710．（3分）如图，点P是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点．下列结论正确的是（）A．2a+b＝0 B．−3C．对任意实数t，at2+bt＜4a+2b总成立 D．若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）在抛物线上，则y1＜y2二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：5ab+6ab＝．12．（3分）如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于°．13．（3分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是．14．（3分）如图，一组反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x，…，y=knx，其中x＞0，k1＝1，kn＞kn﹣1，n为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象相交，交点依次记为A1，A2，A3，…，An．若A1A2＝A2A3＝…＝15．（3分）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝4cm，AD＝5cm，点E是边AD的中点，点F在边CD上，连接EF．将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG，CG．若AG＝3cm，GE∥AB，则△CFG的面积为cm2．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（7分）（1）计算：22−16（2）解不等式组：x+1＜2x−1x−117．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点．（1）求证：△EDF≌△ECF；（2）判断四边形AEFG的形状，并说明理由．18．（8分）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：请根据他们的对话解答下列问题：（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，AC=BD，连接AC，AD，CD，过点A作AH⊥CD交DC的延长线于点（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若AH＝2，sin∠CAH=55，求⊙20．（10分）某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查．【调查内容】关于项目式学习活动的调查问卷问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）①绘制校园平面地图②读书长廊地面没铺设计③测量校园内旗杆高度④制定旅游最优路线⑤体育运动与心率的关系探究问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）A．查阅文献B．上网查询C．同伴合作D．寻求指导E．专业咨询问题问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？【数据处理】信息1将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．信息2将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．解决困难的方式ABCDE选择人数3241333528信息3问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．【分析应用】根据调查信息，解答下列问题：（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；（2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．【决策建议】（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．21．（10分）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．【模型制作】综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．【操作发现】使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．（1）如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31°（∠DAE＝31°），矩尺盘读数为6（DE＝6），可知仰角∠P＝∠DAE＝31°，tan∠P＝tan∠DAE=DE如图3，右矩AD与视线PF重合，角度盘读数为29°（∠DAE＝29°），矩尺盘读数为5.5（DE＝5.5），则仰角∠P＝，tan∠P≈（结果精确到0.1）．（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E到地面的距离（EB的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45°．已知AC＝20m，该同学眼睛到地面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E到地面的距离（结果精确到0.1m）．22．（12分）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．（1）如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面12m高的A点踢出花枪，A点与O点的水平距离OB是12m，花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3①设花枪离地面的高度为y（m），到O点的水平距离为x（m）．请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表达式；②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为2110m，最小为12m，求（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度h（m）与时间t（s）之间的关系式是h＝﹣5t2+7t+85（t＞0），丙在距花枪落地点523．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．【观察与发现】（1）如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，点D与点C是对应点．点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，连接DE，DF．求证：DE＝DF．【思考与探究】（2）如图2，过点A作AH⊥AC交BC于点H．点E，F分别在边AB，AC上，CF＝2AE，连接EF，HE，HF．猜想线段EF与HE的数量关系，并说明理由．【拓展与延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，延长FE至点G，使EG＝FE，连接GA，GH．若AB＝6，AG＝27，求线段AE的长度．

题号12345678910答案D．AB．CBCADCB11．【答案】11ab．【解答】解：5ab+6ab＝（5+6）ab＝11ab．故答案为：11ab．12．【答案】720．【解答】解：图中正多边形是正六边形，正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，故答案为：720．13．【答案】2．【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣m）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣m＝0，∴x＝2或x＝m，∴方程另一个根是2．故答案为：2．14．【答案】36．【解答】解：由x=kx=k所以点A1坐标为（k1则OA同理可得，OA所以OA因为A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An=2则2k所以k2因为k1＝1，所以k2当n＝6时，k6＝36．故答案为：36．15．【答案】1.8．【解答】解：过点G作GH⊥AD于点H，连接GD，如图所示：∴∠GHA＝∠GHE＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4cm，∴AB∥CD，CD＝AB＝4cm，∵点E是AD的中点，且AD＝5cm，∴AE＝DE＝2.5cm，设AH＝acm，则EH＝AE﹣AH＝（2.5﹣a）cm，由折叠性质得：GE＝DE＝2.5cm，∠1＝∠2，∠EGF＝∠D，在△GHA和△GHE中，∠GHA＝∠GHE＝90°，AG＝3cm，由勾股定理得：GH2＝AG2﹣AH2＝GE2﹣EH2，∴32﹣a2＝2.52﹣（2.5﹣a）2，解得：a=9∴AH＝a=95（∴GH=32−∵GE∥AB，AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠1＝∠D，∴∠1＝∠EGF．∴AD∥GF，∵GE∥AB，AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠1＝∠D，∴∠1＝∠EGF．∴AD∥GF，在四边形EDFD中，GE∥CD，AD∥GF，∴四边形EDFD是平行四边形，∴DF＝GE＝2.5cm，∴CF＝CD﹣DF＝1.5cm，∵平行四边形EDFD的面积为：12DE•GH=12×2.5×∴S△GDF=12×3＝1.5（∴GE∥CD，∴△CFG的边CF上的高与△GDF的边DF上的高相同，∴S△CFG∴S△CFG=35S△GDF故答案为：1.8．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．【答案】（1）3；（2）2＜x＜3．【解答】解：（1）原式＝4﹣4+3＝3；（2）x+1＜2x−1①x−1解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＜3，不等式组的解集是2＜x＜3．17．【答案】（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，∴ED＝EC＝AE，EF∥AB，∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA，∴∠FED＝∠CEF，∵EF＝EF，∴△EDF≌△ECF（SAS）；（2）四边形AEFG是平行四边形，理由如下：∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，∴EF∥AB，EF=12∵AG=12∴EF＝AG，∴四边形AEFG是平行四边形．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，∴ED＝EC＝AE，EF∥AB，∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA，∴∠FED＝∠CEF，∵EF＝EF，∴△EDF≌△ECF（SAS）；（2）四边形AEFG是平行四边形，理由如下：∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，∴EF∥AB，EF=12∵AG=1∴EF＝AG，∴四边形AEFG是平行四边形．18．【答案】（1）描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元；（2）购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元．【解答】解：（1）设描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为x元，y元．由题意x+2y=1003x+4y=240解得x=40y=30答：描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元；（2）设购买描金琉璃瓶x个，购买内画瓶（20﹣x）个．总费用为W元．则有W＝40x+30（20﹣x）＝10x+600，由题意x≥2（20﹣x），解得x≥40∵10＞0，∴当x＝14时，W最小，最小值＝740．故当购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元．19．【答案】（1）∵AC=∴∠ADC＝∠BAD，∴AB∥CD，∵AH⊥CD，∴AB⊥CD，∵AB是⊙O的直径，∴AH是⊙O的切线；（2）⊙O的半径为52【解答】（1）证明：∵AC=∴∠ADC＝∠BAD，∴AB∥CD，∵AH⊥CD，∴AB⊥CD，∵AB是⊙O的直径，∴AH是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AH⊥CD，∴∠H＝90°，∴sin∠CAH=CH∴设CH=5k，AC＝5k∴AH=AC2−C∴k=5∴CH＝1，AC=5∵AC=∴BD＝AC=5∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠H＝90°，∵∠ACH＝∠B，∴△ACH∽△ABD，∴ACAB∴5AB∴AB＝5，∴⊙O的半径为5220．【答案】（1）50，；（2）410名；（3）13（4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯一，合理均可）．【解答】解：（1）参与调查的学生总数为5÷10%＝50（名），选择主题⑤的人数为50×12%＝6（名），则选择主题③的人数为50﹣（5+13+14+6）＝12（名），补全条形统计图如下：（2）500×41答：估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约有410名；（3）将“科技”“交通”“经济”三个领域分别记作A、B、C，列表表示如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）由列表可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一领域的有3种结果，所以两人恰好选择同一领域的概率为39（4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯一，合理均可）．21．【答案】（1）61°；1.8；（2）8.3m．【解答】解：（1）根据题意可得：AG⊥PQ，∠AQP＝90°，∵∠DAE＝29°，∴∠P＝90°﹣∠DAE＝61°，∵在正方形ABCD中∠ADC＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝61°，∴∠P＝∠AED，∴tan∠P=tan∠AED=AD故答案为：61°；1.8；（2）根据题意得：BF＝CN＝1.6m，MN＝AC＝20m，∠EFM＝∠EFN＝90°，∠NGH＝45°，GH⊥MN，KL＝5，JK＝10，∴∠ENF＝90°﹣45°＝45°，∴Rt△EFN中，tan∠ENF=EF即tan45°=1=EF∴EF＝FN，设EF＝FN＝xm，则MF＝（20﹣x）m，∵∠MJL+∠EMF＝∠MJL+∠KJL＝90°，∴∠EMF＝∠KJL，∴tan∠EMF＝tan∠KJL=5∴Rt△EMF中，tan∠EMF=EF即0.5=x解得：x≈6.67，∴EB＝EF+FB＝6.67+1.6＝8.27≈8.3（m），答：城门楼的顶端E到地面的距离约为8.3m．22．【答案】（1）①y关于x的函数表达式为y=−25x2+12（2）丙的平均速度至少为258m/s【解答】解：（1）①以点O为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的坐标系，如图，则A（12，12），∵点C为最高点，∴抛物线的顶点坐标为（3，3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3，∴12=a∴a=−2∴y=−25（x﹣3）2+3∴y关于x的函数表达式为y=−2②∵花枪下落过程中，∴x≥3，当y=2110m时，∴x=92或x当y=12m时，∴x=112或x∴枪下落过程中，能接到的高度最大为2110m，最小为12m，d的取值范围为（2）∵花枪飞行高度h（m）与时间t（s）之间的关系式是h＝﹣5t2+7t+85（∴花枪落地时h＝0，∴﹣5t2+7t+8∴t=85或t∴乙从开始抛出花枪，到花枪落地需要85设丙的平均速度为vm/s，∵乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪，∴85v∴v≥25∴丙的平均速度至少为258m/s23．【答案】（1）连接CD，如图所示：根据旋转可得：∠CAD＝60°，AC＝AD，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝AD，∠ACD＝60°，∵∠EAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣60°＝60°，∴∠EAD＝∠ACD，∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD（SAS），∴DE＝DF；（2）EF=3∵AH⊥AC，∴∠HAF＝90°，∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAF＝30°，∴sinC=sin30°=1∵AB＝AC，∴∠A=∠C=1∴∠BAH＝∠C，∵CF＝2AE，∴AECF∴AECF∴△AEH∽△CFH，∴