2026年重庆市中考数学试卷附答案

2026年重庆市中考数学试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）3的倒数是． ． ． ．32．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是． ． ． ．3．（4分）2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为25000人．数据25000用科学记数法表示为． ． ． ．4．（4分）如图，点，，在上．若，则的度数是． ． ． ．5．（4分）下列事件中，一定会发生的是．从只有白球的袋中摸出白球 ．明天一定会下雨 ．随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 ．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是76．（4分）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物，如图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是．14 ．16 ．18 ．207．（4分）在反比例函数中，若，则的取值范围为． ． ． ．8．（4分）中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为． ． ． ．9．（4分）如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为． ． ． ．10．（4分）已知整式，其中，为正整数，，，，，为整数，，且．下列说法：①当时，满足条件的所有整式的和为；②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有且仅有1个；③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个．其中正确的个数是．0 ．1 ．2 ．3二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．（4分）某学校决定从九年级的五个备选节目，，，，中随机抽取一个参加展演，则抽到节目的概率为．12．（4分）如图，直线，被直线所截．若，，则的度数是．13．（4分）满足的整数的值可以是（写一个即可）．14．（4分）若实数，同时满足，，则的值为．15．（4分）自然数与均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且与的乘积为三位数．则的最小值为；当时，存在正整数，使得，则满足条件的所有的值之和为．16．（4分）如图，四边形是平行四边形，点，在上，，经过圆心，且，垂足为，．连接交于点，连接并延长交于点，，则的长度为，的长度为．三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。17．（8分）解不等式组：．18．（8分）先化简，再求值：，其中．19．（10分）早在2005年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图：七年级抽取20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89．八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100．经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84．根据以上信息，解答下列问题：（1）请你直接写出条形统计图中的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞赛成绩的众数；（2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？（3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）．20．（10分）综合与实践在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究．【动手操作】如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点．【问题提出】他们猜想，，之间存在以下数量关系：．【问题解决】任务：（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明．21．（10分）列方程解下列问题：某企业承担了一款智能机器人的，两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产型配件的数量比每天生产型配件的数量少30个，且3天生产的型配件的数量与1天生产的型配件的数量相等．（1）求该企业每天生产，型配件的数量分别是多少个？（2）如果该企业每天生产，型配件的数量分别减少个和个，那么生产200个型配件的天数与生产700个型配件的天数相同，求的值．22．（10分）如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为．（1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围；（2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．（1）求抛物线的表达式；（2）是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值；（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程．25．（10分）如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形．（1）如图1，若，，求的长度；（2）如图2，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接，．求证：；（3）如图3，，，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．点在直线上，连接，，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，连接，，请直接写出面积的最大值．

1．【分析】利用倒数的定义求解即可．【解答】解：3的倒数是．故选：．2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得选项的图形．故选：．3．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：．故选：．4．【分析】由圆周角定理，即可得到答案．【解答】解：，．故选：．5．【分析】根据必然事件和随机事件的定义得出结论即可．【解答】解：、从只有白球的袋中摸出白球是必然事件，故此选项符合题意；、明天一定会下雨是随机事件，故此选项不符合题意；、随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数是随机事件，故此选项不符合题意；、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故此选项不符合题意；故选：．6．【分析】根据所给图形，依次求出图中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，第①个图中氢原子的个数为：，第②个图中氢原子的个数为：，第③个图中氢原子的个数为：，，第个图中氢原子的个数为．当时，第⑨个图中氢原子的个数为：．故选：．7．【分析】依据题意，由反比例函数为，其中，则该函数的图象分布在第一、第三象限，并在每个象限内随的增大而减小，从而当时，，从而可以得解．【解答】解：由题意，反比例函数为，其中，该函数的图象分布在第一、第三象限，并在每个象限内随的增大而减小，当时，．故选：．8．【分析】根据“5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛”即可得出关于、的二元一次方程组．【解答】解：根据题意得：．故选：．9．【分析】设，则，，，先得出，则可得的长，再过点作于点，作于点，得出，，求出，，的长，进而求出与的面积即可．【解答】解：设，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，在和中，，，，即，解得，如图，过点作于点，作于点，四边形是矩形，，，，，，，即，解得，，，，又，，，即，解得，，，与的面积之比为，故选：．10．【分析】根据题意和的取值，分别确定相应，，的值，进而可得的值，然后计算整式的加减、因式分解逐个判断即可．【解答】解：①当时，，即，，为正整数，，当时，则，解得或（舍去），此时；当时，则，解得或（舍去），此时；当时，则，解得或，此时或；当时，则，解得或，此时或；当时，则，解得，此时，则满足条件的所有整式的和为，说法①正确；②当时，，，即，由题意可知，为正整数，，为整数，且，，函数的图象关于轴对称，，即，，解得，，，，，解得，又为正整数，，，或（舍去），满足条件的整式，有且仅有1个，说法②正确；③整式是二次二项式，，且只有两个非零项，同②可得：，为正整数，在这个二次二项式中，或，（Ⅰ）当时，，，，，，当，时，，不能在有理数范围因式分解，舍去；当，时，，能在有理数范围因式分解；当，时，，不能在有理数范围因式分解，舍去；（Ⅱ）当时，，，，，只有，符合，此时，能在有理数范围因式分解；综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个；说法③正确；所以说法正确的个数是3个．故选：．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．【分析】根据概率公式求解即可．【解答】解：总共五个备选节目，，，，，随机抽取一个参加展演，抽到节目的概率为．故答案为：．12．【分析】根据图形位置关系，与位于两条平行线之间且在截线两侧，互为内错角．依据“两直线平行，内错角相等”的性质，可直接得出．因为已知，所以的度数也是．【解答】解：根据“两直线平行，内错角相等”的性质，因为，所以，故答案为：．13．【分析】分别估算、的取值范围，即可得出整数的一个值．【解答】解：，，，，，，整数可以是4，故答案为：4（答案不唯一）．14．【分析】根据，得到，由绝对值的非负性推出，则可推出，进而得到，解方程求出的值，进而求出的值，最后代入求值即可．【解答】解：，，，，；，，，，，或，解得或，当时，，此时不满足题意；当时，，此时满足题意；，故答案为：．15．【分析】设两个自然数的十位上的数字为，且为整数），自然数的个位上的数字为，且为整数），则自然数的个位上的数字为，表示出，，根据的化简结果确定其和的关系，结合乘积为三位数的条件求出的最小值，再利用平方差公式变形，根据完全平方数的性质枚举所有可能，计算所有的和即可．【解答】解：设两个自然数的十位上的数字为，且为整数），自然数的个位上的数字为，且为整数），则自然数的个位上的数字为，，，，，要使最小，需最小，则当时，的最小值为，此时，由二次函数的性质可知，当或时，的值最大，最大值为或，符合题意．当时，，解得，，且为整数，，，，又为奇数，且，所有可能的取值为1，3，5，7，9，①当，即时，，，且为整数，当时，，此时正整数，，符合题意；当时，，此时正整数，，不符合题意，舍去；②当，即时，，，同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足；③当，即时，，，同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足；④当，即时，，，同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足；⑤当，即时，，，当时，，此时正整数，，符合题意；当时，，此时正整数，，不符合题意，舍去；综上，满足条件的所有的值为7和21，它们的和为．故答案为：29；28．16．【分析】先得出，再在中，利用勾股定理求解可得的长度；过点作于点，过点作于点，连接，，先求出的长，再求出，，的长，然后解直角三角形可得的长，进而可得的长，最后根据求解即可．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，设，，，在中，，即，解得，，，如图，过点作于点，过点作于点，连接，，经过圆心，且，，，，，，，，在中，，在中，，又，，，，故答案为：5，．三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。17．【分析】解各不等式求得对应的解集后求得它们的公共部分即可．【解答】解：将①移项，合并同类项得：，系数化为1得：，将②去分母得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，故原不等式组的解集为．18．【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：原式，当时，原式．19．【分析】（1）用总人数减去其他组的人数即可求出组人数，然后根据中位数和众数的定义求解；（2）利用样本估计总体的方法求解；（3）根据中位数、众数分析判断即可．【解答】解：（1）七年级抽取20名学生的竞赛成绩中组人数；共有20个数据，中位数为第10个数据和第11个数据的平均数，七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数为（分；八年级抽取20名学生的竞赛成绩中93出现的次数最多，八年级抽取学生的竞赛成绩的众数为93分；（2），估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是154人；（3）八年级此次竞赛成绩较好，理由如下：八年级的众数93大于七年级的众数89，八年级此次竞赛成绩较好；或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下：七年级的中位数86大于八年级的中位数84.5，七年级此次竞赛成绩较好．20．【分析】（1）作的角平分线即可得解；（2）易证，，即可得证．【解答】（1）解：如图，即所求；（2）证明：在平行四边形中，，，，平分，，，，，．21．【分析】（1）设该企业每天生产型配件的数量是个，每天生产型配件的数量是个，根据该企业每天生产型配件的数量比每天生产型配件的数量少30个，且3天生产的型配件的数量与1天生产的型配件的数量相等，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据该企业每天生产，型配件的数量分别减少个和个，生产200个型配件的天数与生产700个型配件的天数相同，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：（1）设该企业每天生产型配件的数量是个，每天生产型配件的数量是个，由题意得：，解得：，答：该企业每天生产型配件的数量是15个，每天生产型配件的数量是45个；（2）由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：的值为5．22．【分析】（1）求的函数表达式：先根据点的运动速度得到，再根据，将直角边和代入三角形面积公式，可得出即的表达式；根据点沿运动，速度为，当时，，当时，，分两种情况解答；（2）根据，的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象．【解答】解：（1）四边形是矩形，，．，，点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足，运动时间秒，，，，；点沿运动，速度为，，当时，，当时，，综上，；（2）列表：0123456884216542024610以表中每对、的值和、的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到和的图象．由图象看出当时，或．24．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过点作轴交于点，连接、，当的面积最大时，的长度取最大值，设，则，可求的面积，当时，的面积最大，此时，在轴上取点，作直线，则直线的解析式为，过点作交于点，推导出，则，当时，的值最小，连接、，延长交于点，的面积，即，求出即为所求；（3）求出平移后的函数解析式为，直线的解析式为，过点作交轴于点，结合题意推导出，与的交点在线段的垂直平分线上，即，，从而得到直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为；求出点，，过点作交于点，则直线的解析式为，求出，，点关于点的对称点为，，直线与抛物线的交点为．【解答】解：（1）将，，代入中，，解得，；（2）过点作轴交于点，连接、，当的面积最大时，的长度取最大值，设直线的解析式为，，解得，，设，则，，的面积，当时，的面积最大，此时，当时，，解得或，，在轴上取点，作直线，则直线的解析式为，过点作交于点，，，，，，当时，的值最小，连接、，延长交于点，的面积，即，，的最小值为；（3）抛物线沿射线方向平移个单位长度，函数图象向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度，，，，直线的解析式为，过点作交轴于点，，，，，与的交点在线段的垂直平分线上，，，直线的解析式为，当时，解得或，；当时，解得，，，过点作交于点，直线的解析式为，当时，解得，，，点关于点的对称点为，，直线的解析式为，当时，解得或，；综上所述