2025-2026学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.计算：=（）A.8 B.10 C.12 D.162.已知空间向量，若共面，则实数m的值为（）A.0 B.-1 C.1 D.±13.已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X＞2）=0.2，则P（0＜X≤1）=（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.64.已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l∥α，则实数x的值为（）A. B. C. D.5.某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（）A.18 B.36 C.48 D.726.在正三棱锥P-ABC中，是棱PA的中点，则点D到直线BC的距离是（）A.3 B. C.8 D.7.有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（k＞3）个白球和（k+1）个黑球，现从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为pi，甲盒中含有白球个数的期望为Ei，则（）A.p1＞p2，E1＞E2 B.p1＞p2，E1＜E2 C.p1＜p2，E1＞E2 D.p1＜p2，E1＜E28.如图，在三棱锥P-ABC中，D为BC的中点，PD⊥平面ABC，AB⊥AC，∠PCA=60°，AB=AC=PB=PC=2，则直线BP与平面PAC所成角的正弦值为（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的是（）X01P0.6mA.E（X）=0.4 B.D（X）=0.36 C.E（Y）=1.2 D.D（Y）=0.1210.已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为3：4，则（）A.n=9 B.展开式中的常数项为

C.展开式中二项式系数最大项为 D.展开式中系数最大的项为11.如图点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，F是线段A1B1的中点，则（）A.当P为B1C1的中点时，AP⊥D1F

B.当P在面BCC1B1上，且直线AP与CD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为

C.三棱锥A-PB1D1体积的最大值为

D.当PF∥平面B1CD1时，线段PF长度最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量=（1，2，3），向量=（2，4，t），且与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是

.13.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有

种.14.在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达-1时游戏失败，则获胜的概率为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

甲、乙、丙三位教师指导五名学生a,b,c,d,e参加全国高中数学联赛，

（1）若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案；

（2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案.16.(本小题15分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，侧棱PA⊥底面ABCD且PA=4，E是PA的中点.

（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；

（2）求BE与平面PAC所成角的正切值.17.(本小题15分)

甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为.

（1）求甲连续打前四局比赛的概率；

（2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；

（3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为X，求X的分布列和期望.18.(本小题17分)

把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3，∠BAC=∠BCD=90°，∠CBD=30°.将△ABC沿BC翻折至△PBC，使得二面角P-BC-D为直二面角.

（1）证明：PB⊥平面PCD；

（2）若P，B，C，D在同一个球面上，求该球的半径；

（3）求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值.19.(本小题17分)

已知函数.

（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）若f（x）有极小值，且f（x）≥0，求a的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】（，6）∪（6，+∞）

13.【答案】432

14.【答案】

15.【答案】60

70

16.【答案】证明：连接AC，BD，

因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

又因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥PA，因为PA∩AC=C，PA，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC；

17.【答案】解：（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜，

第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为；

第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为；

第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为，

所以甲连续打前四局比赛的概率为：；

（2）设事件A：前四局中第二局乙获胜，事件B：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，

对于前四局中第二局乙获胜：

第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为；

第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为，

所以，

在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空．

第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为，

第四局：乙、丙对打，概率为1，

所以，

根据条件概率知：；

（3）由题意知得分X的可能值为：0，2，4，6，

，，

，，

所以X的分布列为：X0246P所以得分X的数学期望为：．

18.【答案】易知面PBC⊥面BCD，

又CD⊥BC，CD⊂面BCD，面PBC∩面BCD=BC