2025-2026学年江苏省扬州市高邮市高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省扬州市高邮市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设x∈R，向量，且，则x=（）A.5 B.1 C.-1 D.-52.若，则n的值为（）A.2 B.3 C.4 D.53.已知函数f（x）=sinx,则=（）A.1 B.-1 C. D.-24.已知，若不能构成空间的一个基底，则m=（）A.-7 B.1 C.5 D.75.有五名同学排成一排，其中甲、乙两人不能在一起的排法数是（）A.120 B.72 C.36 D.126.设点P在曲线y=xlnx上，点Q在直线y=x-4上，则|PQ|的最小值为（）A. B. C. D.7.如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P∈平面BDE，且满足，则点P到直线AB的距离为（）A.

B.

C.

D.8.已知f（x）为定义在上的奇函数，f′（x）为其导函数，当时，f′（x）tanx＜f（x），则关于x的不等式的解集为（）A. B.

C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知m,n为正整数，且m＜n,则下列等式正确的是（）A. B.

C. D.10.已知函数f（x）=x3-3x2+kex，则（）A.当k=0时，f（x）的单调减区间为（0，2）

B.当k=0时，对任意x∈R，都有f（x）+f（2-x）=0

C.当k=1时，g（x）=f（x）+3x2在[0，1]上的值域为[1，e+1]

D.若h（x）=f（x）-x3有三个不同的零点，则11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点E为四边形ABCD内部（不含边界）的一个动点，且CE⊥平面DD1E，则下列说法正确的是（）A.异面直线BD1与DA所成角的余弦值为

B.点E到棱CD中点的距离为定值

C.D1E与平面ABCD所成角的正切值为4时，

D.的最小值为14

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，则在上的投影向量为

（用坐标表示）.13.已知函数f（x）=m2lnx+x2-3mx在x=1处取得极大值，则实数m的值为

.14.若存在x1＞1，x2＞1使得成立，则的最大值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于2，∠BAA1=∠CAA1=60°，M为BC的中点，N为线段A1B1上靠近B1的三等分点.

（1）设，试用向量表示；

（2）求线段MN的长度.16.(本小题15分)

某植物园大门有编号1∼5共5个检票口，现有一行6人需进园游玩.

（1）若每人随机选择一个检票口进园，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）

（2）若6人中有一老人需由家人A陪同进园，所有人随机选择检票口，且每个检票口均有人选择，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）

（3）若6人均在1号检票口排队依次进园，其中两个小孩既不能排在队首，也不能排在队尾，则6人共有多少种不同的进园方法？（用数字作答）17.(本小题15分)

已知函数f（x）=x4-3x2+2ax+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=ax+b（a,b∈R）.

（1）求实数a,b的值；

（2）函数f（x）的导函数为f′（x），求函数f′（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最小值.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面.

（1）求证：PA⊥DC；

（2）已知点E为线段PB上的动点（不与P，B重合），

①当点E为线段PB的中点时，求直线CE与平面PAD所成角的余弦值；

②当平面PAD与平面AEC的夹角最小时，试确定点E的位置.19.(本小题17分)

已知f（x）=ex-ax-1.

（1）若函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）讨论函数f（x）是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；

（3）当时，求证：2x2-sinx≤xex.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】2．

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】15625

120

288

17.【答案】a=2，b=1

当时，f′（x）的最小值为4m3-6m+4；当时，f′（x）的最小值为

18.【答案】证明：∵PD⊥平面ABCD，AD，DC⊂平面ABCD，四边形ABCD为正方形，

∴PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，

如图，以为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz，

则，

∴，

∴，∴PA⊥DC

①；②E为PB的中点

19.【答案】（-∞，1]

当a≤0时，f（x）无极值点；当a＞0时，函数f（x）的极小值点为x=lna，无极大值点

法一：由（2）知，当a=2时，，则f（x）≥f（ln2），

即ex-2x-1≥eln2-2ln2-1，即ex≥2x+2-2ln2＞0，，

所以要证2x2-sinx≤xex，只要证2x2-sinx≤x（2x+2-2ln2），

也即证（2-2ln2）x+sinx≥0，设，

则h′（x）=2-2ln2+cosx＞0在区间恒成立，

所以h（x）在区间上为增函数，则h（x）≥h（0）=0，故原不等式成立．

法二：当x=0时，2x2-sinx=0=xex，命题成立；当时，要证2x2-sinx≤xex，

只要证，也即证，

由（2）知，当a=2时，，

则f（x）≥f（ln2），即ex-2x-1≥eln2-2ln2-1，得ex-2x≥2-2ln