上海市宝山区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市宝山区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（

）A. B. C. D.2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a8＜0，S11＞0，则Sn的最大值为（）A.S5 B.S6 C.S7 D.S83.设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.4.已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题：①曲线关于原点中心对称；②曲线与直线恒有交点；③曲线上的点到原点的距离的最小值为；④存在直线与曲线有且仅有一个交点．其中正确的命题序号为（

）A.①② B.①③ C.①④ D.③④二、填空题：本题共12小题，共54分。5.直线y=1的斜率是

.6.已知为等差数列，，，则公差

．7.已知向量平行于向量，则

．8.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是

.9.平行直线与间的距离为

.10.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为

．11.已知数列满足，，则

．12.已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是

．13.数列的通项公式，则

.14.圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则

．

15.已知实数、、、满足，则的最小值为

．16.某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽为2米，渠深（到直线的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为

米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米）

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知直线l1：（m+2）x+my-6=0和直线l2：mx+y-3=0，其中m为实数.

（1）若l1⊥l2，求m的值；

（2）若点P（1，2m）在直线l2上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程.18.(本小题14分)如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点、分别在棱和棱上，且，．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的大小；(3)求点到平面的距离．19.(本小题14分)已知数列满足：，，且对任意正整数都成立．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值．20.(本小题18分)在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数、，满足，且．”(1)请将该命题类比到空间中，并证明．(2)在四面体中，已知，，．点在平面内，且满足．①求的值；②求的值．21.(本小题18分)已知抛物线，焦点为．(1)若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度；(2)已知、为上两点，且．求面积的最小值；(3)抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值．

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】0

6.【答案】2

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】8

15.【答案】

16.【答案】0.71

17.【答案】解：（1）

若m=0，则直线l1：2x-6=0，即x=3，

l2：y=3，两直线垂直，符合题意；

若m≠0，则，

解得m=-3，

综上所述，m=-3或0；

（2）由P（1，2m）在直线l2上，

则m+2m-3=0，解得m=1，

故P（1，2），

显然直线l的斜率一定存在且不为0，

设直线l的方程为y-2=k（x-1），

令x=0，可得y=2-k，

再令y=0，可得，

在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，

所以，解得k=2或k=1，

所以直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0．

18.【答案】解：(1)证明：直三棱柱中，．以为原点，以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则、、，所以，，设平面的一个法向量为，则，得，令，则，，得到平面的一个法向量，又，，，因为，所以，又在平面外，所以平面．（2）易知平面的一个法向量为．则，所以平面与平面所成二面角是或．（3）因为，，所以点到平面的距离．

19.【答案】解：(1)因为，对一切正整数成立，所以，即，因为，，所以，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列．（2）由（1）得，所以通过累加得，当时，，满足上式，综上所述，．（3），从而，所以，当无限增大，的值越来越趋近于0且小于0，所以的值越来越趋近于且小于，所以对任意正整数，不等式恒成立时，，即实数的最小值为．

20.【答案】解：(1)类比到空间中，该命题为：若为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数、、，满足，且．证明：①若点平面，由向量共面的充要条件知存在实数、使得，由向量加减法得，整理得，令，，，则，其中．②反之，若已知，且．则，整理得，即，根据向量共面的充要条件知、、共面，即、、、共面，所以点在平面内．综上所述，若为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数、、，满足，且．（2）①由（1）的结论知，从而，从而，由已知，，得，②因为，所以．

21.【答案】解：（1）由题知焦点．准线方程为，根据抛物线的定义知，由已知，所以．（2）思路一：显然，直线的斜率不可能为零，设直线的方程为，与联立，得，所以，化简得．设，，则，．因为，所以，即，于是．将，代入，化简得．由，得，所以．由，得，解得或．由得．所以的面积，于是，当时，有最小值为．故面积的最小值为．思路二：设，，则，所以．①因为．所以．②当时，