上海市闵行区2025-2026学年高二下学期期末联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市闵行区2025-2026学年高二下学期期末联考数学试题一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.若为正整数，则等于（

）A. B. C. D.2.函数，正确的命题是

A.值域为R B.在是增函数

C.有两个不同的零点 D.过点的切线有两条3.从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）种A.48 B.288 C.312 D.3364.已知点、，动点在曲线：上，则的面积（

）A.有最大值，没有最小值 B.没有最大值，有最小值

C.有最大值，也有最小值 D.没有最大值，也没有最小值二、填空题：本题共12小题，共54分。5.直线的倾斜角是

．6.二项式的展开式中，的系数为

．7.双曲线-y2=1的渐近线方程为

．8.设为正整数，若，则

．9.已知圆的面积为，则实数

.10.已知，则

．11.函数在上的最大值为

.12.已知直线，若，则与的距离为

.13.已知，、，则的情况有

种．14.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为

．15.已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是

．16.能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的实数a的取值范围是

.三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)在的二项展开式中．(1)求常数项；(2)若第二项不小于第三项，求实数x的取值范围．18.(本小题14分)已知，．(1)当时，求函数的单调区间和极值；(2)若恒成立，求的取值范围．19.(本小题14分)如图，正方形区域边长为，距、的距离都为，距、的距离都为，有一个圆形跑道经过、两点．(1)建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程；(2)若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）．20.(本小题18分)已知椭圆：，点是椭圆的右顶点．(1)求椭圆离心率；(2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值；(3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点．21.(本小题18分)已知函数，若存在点是函数的图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点是函数的“优点”．(1)判断函数与是否存在“优点”（无须说明理由）；(2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；(3)已知，若函数图象上存在“优点”，求实数的取值范围．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】

6.【答案】10

7.【答案】y=±

8.【答案】

或

9.【答案】

10.【答案】1

11.【答案】2

12.【答案】

13.【答案】8

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】或.

17.【答案】解：（1）二项式的通项为，当时，可得常数项为；（2）根据通项可得第二项为；第三项为；因为第二项不小于第三项，故，即，解得，故实数x的取值范围为．

18.【答案】解：（1）当时，，得.令，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.故函数在处取极小值，，无极大值.因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值；（2）对，函数定义域为，得，分情况讨论：①若，因为，所以恒成立，函数在R上单调递增，且当时，不满足，舍去；②若，恒成立，符合要求；③若，令得，且在R上单调递增.当时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以函数在处取得极小值也是最小值，最小值为.令，结合，解得，即综上所述，的取值范围是.

19.【答案】解：（1）如图以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系.则，

，

，

，

.∵圆形跑道经过、两点，∴圆心在线段的垂直平分线上.∵，∴线段的垂直平分线的斜率为.∵中点坐标为，∴线段的垂直平分线的方程为，即.∴圆形跑道圆心所在的直线方程为.（2）∵直线与该圆形跑道有且只有一个交点，∴直线与该圆相切，即圆心到轴距离为半径.设圆心为，则.∴，即.解得，则.∴圆形跑道的周长为或.

20.【答案】解：（1）由已知，则，又，.得，，故椭圆的离心率为；（2）由椭圆的标准方程为，则，设，则，，由，则，解得，则有，解得，又，故；(3)设，，当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，由为直角，可得，也即，解得或（舍去）．当斜率存在时，设直线方程为，联立，整理得，可得且为直角，可得，所以，即，整理得，将①式代入上式得：，化简得整理得，可得或，当时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去，当时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意．综上，直线恒过定点．

21.【答案】解：（1）因为，所以，设两条互相垂直的切线的切点横坐标为，则它们的斜率分别为，由两直线垂直得不成立，所以不存在“优点”；因为，所以，设两条互相垂直的切线的切点横坐标为，取，则它们的斜率分别为，则切点处的切线方程：，切点处的切线方程：，联立方程：，解得，即“优点”为；(2)因为，所以，设两切点横坐标为，斜率，由垂直条件得到，解得，两个切点分别为，过的切线方程为，即，过的切线方程为，即，联立，两式相减：，因为，所以，将代入得到，由，故，因此所有“优点”都在直线上.故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为.（3）因为，所以，设两切点横坐标为，则斜率，两个切点分别为，，则过的切线方程为，过的切线方程为，联立两切线方程，令交点为，两式相减，得到，左边因式分解：，右边因式分解：，因为，所以，令，则上式变为，且满足，由