均值定理变式题目及答案

均值定理变式题目及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高二（1）班

试标题是:“均值定理变式题目及答案”

一、选择题

1.函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是

A.存在唯一的c∈(a，b)，使得f'(c)=0

B.至少存在一个c∈(a，b)，使得f'(c)=0

C.不存在c∈(a，b)，使得f'(c)=0

D.可能不存在c∈(a，b)，使得f'(c)=0

2.函数f(x)在闭区间[1，5]上连续，在开区间(1，5)内可导，且f(1)=3，f(5)=11，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(1，5)，使得

A.f'(c)=4

B.f'(c)=2

C.f'(c)=8

D.f'(c)=6

3.函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=1，f(2)=5，则根据柯西中值定理，至少存在一个c∈(0，2)，使得

A.(f'(c))/(g'(c))=2

B.(f'(c))/(g'(c))=1

C.(f'(c))/(g'(c))=4

D.(f'(c))/(g'(c))=3

4.函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=0，f(1)=0，则下列结论正确的是

A.存在唯一的c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

B.至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

C.不存在c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

D.可能不存在c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

5.函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(0，1)，使得

A.f'(c)=1

B.f'(c)=0

C.f'(c)=1/2

D.f'(c)=-1

6.函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=1，f(1)=-1，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(-1，1)，使得

A.f'(c)=0

B.f'(c)=2

C.f'(c)=-2

D.f'(c)=1

7.函数f(x)在闭区间[1，3]上连续，在开区间(1，3)内可导，且f(1)=2，f(3)=10，则根据柯西中值定理，至少存在一个c∈(1，3)，使得

A.(f'(c))/(g'(c))=3

B.(f'(c))/(g'(c))=2

C.(f'(c))/(g'(c))=4

D.(f'(c))/(g'(c))=1

8.函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=0，f(2)=4，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(0，2)，使得

A.f'(c)=2

B.f'(c)=4

C.f'(c)=1

D.f'(c)=3

9.函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=1，f(1)=1，则下列结论正确的是

A.存在唯一的c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

B.至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

C.不存在c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

D.可能不存在c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

10.函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=1，f(1)=0，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(0，1)，使得

A.f'(c)=-1

B.f'(c)=1

C.f'(c)=0

D.f'(c)=1/2

二、填空题

1.函数f(x)在闭区间[1，5]上连续，在开区间(1，5)内可导，且f(1)=2，f(5)=10，根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(1，5)，使得f'(c)=______。

2.函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=0，f(1)=0，根据罗尔定理，至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=______。

3.函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=1，f(2)=5，根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(0，2)，使得f'(c)=______。

4.函数f(x)在闭区间[1，3]上连续，在开区间(1，3)内可导，且f(1)=3，f(3)=9，根据柯西中值定理，至少存在一个c∈(1，3)，使得(f'(c))/(g'(c))=______。

5.函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(0，1)，使得f'(c)=______。

三、多选题

1.函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是

A.存在唯一的c∈(a，b)，使得f'(c)=0

B.至少存在一个c∈(a，b)，使得f'(c)=0

C.不存在c∈(a，b)，使得f'(c)=0

D.可能不存在c∈(a，b)，使得f'(c)=0

2.函数f(x)在闭区间[1，5]上连续，在开区间(1，5)内可导，且f(1)=3，f(5)=11，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(1，5)，使得

A.f'(c)=4

B.f'(c)=2

C.f'(c)=8

D.f'(c)=6

3.函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=1，f(2)=5，则根据柯西中值定理，至少存在一个c∈(0，2)，使得

A.(f'(c))/(g'(c))=2

B.(f'(c))/(g'(c))=1

C.(f'(c))/(g'(c))=4

D.(f'(c))/(g'(c))=3

4.函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=0，f(1)=0，则下列结论正确的是

A.存在唯一的c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

B.至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

C.不存在c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

D.可能不存在c∈(-1，1)，使得f'(c)=0

5.函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一个c∈(0，1)，使得

A.f'(c)=1

B.f'(c)=0

C.f'(c)=1/2

D.f'(c)=-1

四、判断题

1.函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，若存在c∈(a，b)，使得f'(c)=0，则根据罗尔定理，必有f(a)=f(b)。

2.函数f(x)在闭区间[1，5]上连续，在开区间(1，5)内可导，且f(1)=2，f(5)=10，根据拉格朗日中值定理，必存在唯一的c∈(1，5)，使得f'(c)=8。

3.函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=1，f(1)=-1，根据拉格朗日中值定理，必存在唯一的c∈(-1，1)，使得f'(c)=-2。

4.函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=1，f(2)=5，根据柯西中值定理，必存在唯一的c∈(0，2)，使得(f'(c))/(g'(c))=2，其中g(x)在相应区间上满足条件。

5.函数f(x)在闭区间[1，3]上连续，在开区间(1，3)内可导，且f(1)=3，f(3)=9，根据柯西中值定理，必存在唯一的c∈(1，3)，使得(f'(c))/(g'(c))=4，其中g(x)在相应区间上满足条件。

6.若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)≠f(b)，则根据拉格朗日中值定理，必存在唯一的c∈(a，b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

7.若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，必存在唯一的c∈(a，b)，使得f'(c)=0。

8.函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，根据拉格朗日中值定理，必存在唯一的c∈(0，1)，使得f'(c)=1。

9.函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=1，f(1)=1，根据罗尔定理，必存在c∈(-1，1)，使得f'(c)=0。

10.若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且存在c∈(a，b)，使得f'(c)=0，则根据罗尔定理，必有f(a)=f(b)。

五、问答题

1.设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，请根据拉格朗日中值定理，证明至少存在一个c∈(0，1)，使得f'(c)=1。

2.设函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=1，f(1)=-1，请根据拉格朗日中值定理，证明至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=-2。

3.设函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=1，f(2)=5，请根据柯西中值定理，证明至少存在一个c∈(0，2)，使得(f'(c))/(g'(c))=2，其中g(x)在相应区间上满足条件。

试卷答案

一、选择题

1.B

解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一个c∈(a，b)，使得f'(c)=0。因此，选项B正确。

2.D

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[1，5]上连续，在开区间(1，5)内可导，且f(1)=3，f(5)=11，则至少存在一个c∈(1，5)，使得f'(c)=(f(5)-f(1))/(5-1)=6。因此，选项D正确。

3.B

解析：根据柯西中值定理，若函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=1，f(2)=5，则至少存在一个c∈(0，2)，使得(f'(c))/(g'(c))=(f(2)-f(0))/(2-0)=2，其中g(x)在相应区间上满足条件。因此，选项B正确。

4.B

解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=0，f(1)=0，则至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=0。因此，选项B正确。

5.C

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则至少存在一个c∈(0，1)，使得f'(c)=(f(1)-f(0))/(1-0)=1。因此，选项C正确。

6.A

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=1，f(1)=-1，则至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))=0。因此，选项A正确。

7.D

解析：根据柯西中值定理，若函数f(x)在闭区间[1，3]上连续，在开区间(1，3)内可导，且f(1)=2，f(3)=10，则至少存在一个c∈(1，3)，使得(f'(c))/(g'(c))=(f(3)-f(1))/(3-1)=4，其中g(x)在相应区间上满足条件。因此，选项D正确。

8.A

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=0，f(2)=4，则至少存在一个c∈(0，2)，使得f'(c)=(f(2)-f(0))/(2-0)=2。因此，选项A正确。

9.B

解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=1，f(1)=1，则至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=0。因此，选项B正确。

10.A

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=1，f(1)=0，则至少存在一个c∈(0，1)，使得f'(c)=(f(1)-f(0))/(1-0)=-1。因此，选项A正确。

二、填空题

1.8

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[1，5]上连续，在开区间(1，5)内可导，且f(1)=2，f(5)=10，则至少存在一个c∈(1，5)，使得f'(c)=(f(5)-f(1))/(5-1)=8。

2.0

解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=0，f(1)=0，则至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=0。

3.2

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=1，f(2)=5，则至少存在一个c∈(0，2)，使得f'(c)=(f(2)-f(0))/(2-0)=2。

4.3

解析：根据柯西中值定理，若函数f(x)在闭区间[1，3]上连续，在开区间(1，3)内可导，且f(1)=3，f(3)=9，则至少存在一个c∈(1，3)，使得(f'(c))/(g'(c))=(f(3)-f(1))/(3-1)=3，其中g(x)在相应区间上满足条件。

5.1

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则至少存在一个c∈(0，1)，使得f'(c)=(f(1)-f(0))/(1-0)=1。

三、多选题

1.BD

解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一个c∈(a，b)，使得f'(c)=0。因此，选项B正确；若不存在这样的c，则罗尔定理不适用，因此选项D正确。

2.D

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[1，5]上连续，在开区间(1，5)内可导，且f(1)=3，f(5)=11，则至少存在一个c∈(1，5)，使得f'(c)=(f(5)-f(1))/(5-1)=6。因此，选项D正确。

3.B

解析：根据柯西中值定理，若函数f(x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=1，f(2)=5，则至少存在一个c∈(0，2)，使得(f'(c))/(g'(c))=(f(2)-f(0))/(2-0)=2，其中g(x)在相应区间上满足条件。因此，选项B正确。

4.B

解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在闭区间[-1，1]上连续，在开区间(-1，1)内可导，且f(-1)=0，f(1)=0，则至少存在一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=0。因此，选项B正确。

5.C

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则至少存在一个c∈(0，1)，使得f'(c)=(f(1)-f(0))/(1-0)=1。因此，选项C正确。

四、判断题

1.错误

解析：罗尔定理的条件是f(a)=f(b)，而题目中只说存在c∈(a，b)，使得f'(c)=0，没有说f(a)=f(b)，因此不一定满足罗尔定理的条件。

2.错误

解析：拉格朗日中值定理只保证存在至少一个c∈(1，5)，使得f'(c)=8，但不保证唯一。

3.错误

解析：拉格朗日中值定理只保证存在至少一个c∈(-1，1)，使得f'(c)=-2，但不保证唯一。

4.错误

解析：柯西中值定理需要g(x)在相应区间上满足条件，且题目中没有给出g(x)的具体形式，因此不能直接应用柯西中值定理。

5.错误

解析：柯西中值定理只保证存在至少一个c∈(1，3)，使得(f'(c))/(g'(c))=4，但不保证唯一。

6.正确

解析：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)≠f(b)，则至少存在一个c∈(a，b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)