专题06 期末真题常考百练通关（期末复习专项训练＋21大题型）（解析版）

专题06期末真题常考百练通关（130题21大常考题型）选填常考题解答常考题题型1幂的运算题型12整式的运算题型2科学计数法题型13化简求值题型3求余角、补角题型14网格中作平行线、垂线题型4利用平行线的性质求解题型15利用余角、补角、直角求解题型5事件的分类题型16平行线的性质和判定题型6用概率公式求概率题型17频率与概率的综合题型7利用三角形的三边关系求解题型18证明三角形全等题型8利用全等三角形的性质求解题型19轴对称作图题型9添一个条件使三角形全等题型20三角形中的常考全等模型题型10轴对称图形的识别题型21变量之间的关系题型11变量之间的关系题型一幂的运算（共5小题）1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）已知，则等于（

）A．5 B．6 C．12 D．18【答案】C【分析】根据，结合，再进一步可得答案．【详解】解：∵根据幂的运算法则可得，，且，又∵，，∴．2．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）下列计算中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A：根据0次幂的运算法则：，可知，故此选项不符合题意；B：根据合并同类项运算法则，与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；C：根据整式的除法，，可知，故此选项不符合题意；D：根据整式的乘方运算法则，，故此选项符合题意．3．（25-26八年级上·江西宜春·期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查幂的运算法则，需根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方法则逐一计算各选项，判断正误即可．【详解】A选项，，故A错误；B选项，，故B错误；C选项，，故C正确；D选项，，故D错误．故选：C．4．（25-26八年级上·河南许昌·期末）计算：________．【答案】【分析】本题考查零指数幂与负整数指数幂的运算，根据零指数幂与负整数指数幂的运算性质进行计算求解即可．【详解】解：．5．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）若，则的值是________【答案】2【分析】本题考查指数运算，幂的乘方，同底数幂相乘等．根据题意先将等式左边整理，再将等式右边整理即可得到本题答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∴．故答案为：2．题型二科学计数法（共5小题）6．（25-26八年级上·河北沧州·期末）北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题.【详解】解：.7．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段检测）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：．8．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为______．【答案】2.668×107【详解】解：．9．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）黑龙江作为我国的农业大省，在粮食生产方面有着举足轻重的地位．已知黑龙江省某一年的粮食年产量约为155700000000斤，将155700000000用科学记数法表示为______．【答案】【详解】解：故答案为：10．（25-26八年级上·广西来宾·期末）我国“祖冲之号”量子计算机的超导比特尺寸约为米，请用科学记数法表示该尺寸为________（单位：米）．【答案】【分析】根据科学记数法的定义，绝对值小于1的正数可以表示为的形式，其中，为原数左起第一个非零数字前面零的个数（包括小数点前的零）．【详解】解：．题型三求余角、补角（共5小题）11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了垂直的定义，根据，可得，根据，即可求解．【详解】解：∵∴，∴故选：D．12．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据垂线的定义可得，再由平角的定义可得答案．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴．13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了余角和补角，三角板中角度的计算，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．先求出的度数，再求出的度数即可．【详解】解：如图，由题意得，，，，，，故选：D．14．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图直线与相交于点，射线平分，则的度数为_____．【答案】【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义及对顶角的性质，结合题意和图形准确找到相关角的关系是解决本题的关键．根据垂直的含义以及对顶角相等即可作答．【详解】解：，，平分，，直线与相交，．故答案为：．15．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________．【答案】，，【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，掌握角平分线的定义和补角的定义是解题关键．根据角平分线的定义找到相等角，再通过等量代换和角的和差计算，找到与之和为的角即可．【详解】解：∵平分，∴，设，则，，∵，，∴，∴，∴，图中等于的角即为的补角，由图可知，；；，故答案为：，，．题型四利用平行线的性质求解（共5小题）16．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两直线平行同旁内角互补和角平分线的定义，先求得，再根据两直线平行内错角相等，可知，进而求得答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．17．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平角的定义和角平分线的定义可求出的度数，再根据平行线的性质可得答案．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故选：C．18．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴，故选：B．19．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，直线、被直线所截，若，，，则_____．【答案】/64度【分析】根据对顶角相等，可知的大小，进而根据平行线的性质，可知的大小．【详解】解：∵直线、被直线所截，，，，，，，．20．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为____．【答案】/度【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，分别过点D和点E作的平行线，得到，则，由平行线的性质得到，由此即可求解．【详解】解：分别过点D和点E作的平行线，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：．题型五事件的分类（共5小题）21．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是（

）A．摸出红球是必然事件 B．摸出黄球是不可能事件C．摸出蓝球是随机事件 D．摸出黑球是随机事件【答案】C【分析】根据三类事件的定义，结合袋子中球的颜色情况逐一判断选项．其中，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详解】解：袋子中装有个红球、个黄球和个蓝球，没有黑球，对于选项A：摸出红球不是一定会发生的(还可能摸到黄球或蓝球)，因此摸出红球是随机事件，不是必然事件，A错误；对于选项B：袋子中有个黄球，所以摸出黄球是有可能发生的，是随机事件，不是不可能事件，B错误；对于选项C：袋子中有个蓝球，摸球时可能摸到蓝球，也可能摸到红球或黄球，因此摸出蓝球是随机事件，C正确；对于选项D：袋子中没有黑球，所以摸出黑球是一定不会发生的，属于不可能事件，不是随机事件，D错误．综上，正确答案是C．22．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：（1）守株待兔，可能发生也可能不发生，是随机事件；（2）拔苗助长不可能发生，是不可能事件；（3）海枯石烂不可能发生，是不可能事件；（4）日出东方一定发生，是必然事件；（5）心想事成可能发生也可能不发生，是随机事件；（6）水中捞月一定不可能成功，是不可能事件；综上，随机事件共有2个．23．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（

）A．宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江B．游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气C．宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象D．宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉【答案】B【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，需依据三类事件的概念对各选项进行判断．【详解】∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件．∵A选项中金沙江与岷江在三江口汇入长江是客观既定事实，属于必然事件．∵C选项中溶洞内不具备阳光直射的条件，一定不会出现阳光直射现象，属于不可能事件．∵D选项中李庄白肉制作过程使用猪肉是其固有属性，属于必然事件．∵B选项中游览蜀南竹海时是否遇到下雨，结果具有不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件．故选：B．24．（25-26九年级上·云南昆明·期末）下列事件，属于必然事件的是（

）A．射击运动员射击一次，命中靶心B．投掷一枚均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次C．是一元二次方程D．任意画一个三角形，其内角和是360度【答案】C【分析】本题考查必然事件的概念，明确必然事件的定义（在一定条件下一定会发生的事件）是解题的关键，据此逐一分析各选项事件的类型，从而得出答案．【详解】对于A选项，射击运动员射击一次命中靶心，可能发生也可能不发生，是随机事件；对于B选项，投掷均匀硬币10次，正面朝上次数不一定为5次，是随机事件；对于C选项，一元二次方程的定义是只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，方程符合该定义，是必然事件；对于D选项，三角形内角和为，不是，则该事件是不可能事件．故答案为：C．25．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列事件中，①掷两次骰子，点数和为；②守株待兔；③猴子捞月；④相似三角形对应高的比等于相似比；其中是必然事件的有_____．（填序号）【答案】④【分析】本题主要考查了事件的性质判定，准确理解是解题的关键．先明确必然事件的定义，再逐一判断每个事件的类型，筛选出属于必然事件的序号．【详解】解：根据事件的分类定义：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件.①掷两次骰子，点数和为，存在点数和不为的情况，属于随机事件，不符合题意；②守株待兔，兔子撞到树桩是偶然情况，属于随机事件，不符合题意③猴子捞月，月亮在水中的倒影无法被捞取，属于不可能事件，不符合题意；④由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，该事件一定发生，属于必然事件，符合题意．故答案为：④．题型六用概率公式求概率（共5小题）26．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答．【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，则，即获得一等奖的概率为，故选：A．27．（25-26九年级上·河南信阳·期末）甲、乙两人在购物时，选择“现金”“刷卡”“支付宝”“微信”付款的可能性相同，则两人在购物时，用同一种付款方式的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式列表或画树状图求概率，是解题的关键．通过列表计算总付款情况数与两人用同一种付款方式的情况数，再结合概率公式求解概率.【详解】解：设A、B、C、D分别表示“都现金”“都刷卡”“都支付宝”“都微信”，甲、乙两人各有4种付款方式.列表如下：乙

甲ABCDABCD总的付款情况数为16种，两人用同一种付款方式的情况共4种.∴两人用同一种付款方式的概率为.故选：C．28．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图是一个被等分为8个扇形的飞镖靶，小明随机投掷一枚飞镖（假设飞镖一定落在靶上且落在每个区域的可能性相等），则飞镖落在黑色区域的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了几何概率．飞镖靶被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，且黑色区域的面积等于白色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．【详解】解：因为飞镖靶被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积与白色区域的面积相等，所以P(飞镖落在黑色区域)．故选：D．29．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）某校为推动中小学科学教育，激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．小明从四类科技社团中选择一种参加，选中“机器人”的概率是__．【答案】【分析】直接利用概率公式进行计算即可.【详解】解：由题意，小明从四类科技社团中选择一种参加，选中“机器人”的概率是.30．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个．【答案】【分析】先根据摸球试验的结果计算摸到“仲”字小球的频率，用频率估计概率，再结合总球数求出“仲”字小球的估计数量，最后用总球数减去“仲”字小球的数量得到“杜”字小球的估计个数．【详解】解：共进行了次摸球试验，其中次摸到“仲”字小球，∴摸到“仲”字小球的频率为，根据大量重复试验的频率可近似代替概率，∴估计从箱子中摸到“仲”字小球的概率为，∴箱子中写着“仲”字的小球的估计个数为，∴箱子中写着“杜”字的小球的估计个数为．题型七利用三角形的三边关系求解（共5小题）31．（25-26八年级上·福建厦门·期末）下列长度的三条线段，首尾相接能组成三角形的是（）．A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．【详解】A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，故不符合题意；B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，故不符合题意；C.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，故不符合题意；D.，满足三边关系，能组成三角形，故符合题意．32．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若三角形两条边长分别为，，则该三角形第三边长可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握其相关知识点是解题的关键．根据三角形三边关系，求出第三边长的取值范围，再结合选项判断即可．【详解】解：∵三角形两条边长分别为和，∴第三边长，即第三边长，∵选项中只有在该取值范围内，故选B．33．（25-26八年级上·山东青岛·期末）若等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，掌握以上知识是解答本题的关键；本题需分类讨论是腰长或底边长的情况，并验证三边是否满足关系，然后即可求解；【详解】解：∵等腰三角形周长为，一边长为，∴当为腰长时，底边长为，此时三边、、，满足，能构成三角形；当为底边长时，腰长为，此时三边、、，满足，能构成三角形；综上所述：底边长为或；故选：D；34．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知三角形三边分别是1，2，，则的取值范围是__________．【答案】【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解，即可解题．【详解】解：由三角形三边关系定理，得：，整理得；故答案为：．35．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）已知4，9为等腰的边长，则的周长是_____．【答案】【分析】本题考查等腰三角形的定义与三角形三边关系，关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并根据“三角形任意两边之和大于第三边”验证能否构成三角形．首先分两种情况：①腰长为4，底边长为9；②腰长为9，底边长为4；然后分别验证这两种情况是否满足三边关系，再计算符合条件的三角形周长．【详解】解：分两种情况进行讨论：①当等腰的腰长为，底边长为时，，不满足三角形三边关系，该情况无法构成三角形，舍去；②当等腰的腰长为，底边长为时，，，满足三角形三边关系，此时的周长为；故答案为：．题型八利用全等三角形的性质求解（共5小题）36．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，且，，，则（

）A．3 B．3.5 C．5 D．6.5【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质求得，推出，求得，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴，故选：D．37．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图是佳佳制造的风筝模型．已知，点E，F分别在线段，上，且，，则的长为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等．根据全等三角形对应边相等得到，再由即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故选：D．38．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图．已知，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键；本题根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质的知识，进行作答，即可求解；【详解】解：∵，∴，，，，，∵，∴，∴，故选项B正确，不符合题意；∵，∴，∵，∴，∴，故选项A正确，不符合题意；∵，，，∴，故选项D正确，不符合题意；∴，选项C错误，符合题意，故选：C.39．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，．点在线段上，点在线段上．若，则的长为_____．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．40．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，点B，E在上，，若，，则的长是______．【答案】【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，根据线段的和差关系进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，∵，，，∴；故答案为：．题型九添一个条件使三角形全等（共5小题）41．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知且，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定定理，关键是先由平行线性质得到一组角相等，再结合各选项条件判断是否符合全等判定定理．已知且，根据“两直线平行，同位角相等”可得，接下来分析各选项即可．【详解】解：，，又，对于选项A：添加，此时满足，，，属于，无法判定；对于选项B：添加，在和中，，；对于选项C：添加，，，在和中，，；对于选项D：添加，在和中，，；故选：A．42．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点在边上，连接，增加下列条件中的1个：①；②；③；④．其中能使的条件有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题主要考查了三角形全等的判定；根据在中，，可得，当添加条件①时，，可得；当添加条件②时，，得，可得；当添加条件③时，由，可得，可得；当添加条件④时，，可得．4个条件都能使．【详解】解：∵在中，，∴，

当添加条件①时，∵，，，∴；当添加条件②时，∵，∴，∵，，∴；当添加条件③时，∵，∴，∴，∵，，∴；当添加条件④时，∵，，，∴．∴能使的条件有4个．故选：D．43．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（

）A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：三角形①知道三个角的大小，知道两条边的大小，可利用，，作图；三角形②知道两个角的大小，且知道这两个角的夹边的大小，可利用作图；三角形③只知道一个角的大小，不能作出与③完全相同的三角形；∴说法错误的是，故选：．44．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，，交于点，点是的中点，请添加一个条件：______使．【答案】（或或或）【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：∵点是的中点，∴，又∵，∴当添加时，由可判定；当添加时，由可判定；当添加时，由可判定；当添加时，可得，，由或可判定；故答案为：（或或或）．45．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，，，请你添加一个适当的条件，使得，则需添加的条件是______（只要写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．由题意已知一组边与一组角相等，可通过添加相等角的另一个邻边相等，利用证明全等，或添加三角形中另一组对应角相等，利用或证明全等．【详解】解：∵，∴，即，又，∴若添加，则；若添加，则；若添加，则，其余可满足全等三角形判定定理的条件亦可，故答案为：（答案不唯一）．题型十轴对称图形的识别（共5小题）46．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列图形中是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断．【详解】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意；B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意．47．（25-26八年级上·全国·期末）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可．【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；B.不是轴对称图形，不符合题意；C.是轴对称图形，符合题意；D.不是轴对称图形，不符合题意.48．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）初二年级同学在美术课上绘制了几幅中国山水画，其中图像主体是轴对称图形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．49．（25-26八年级上·河南漯河·期末）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，在其发展过程中演变出多种字体．下面是“爱我中华”四个字的篆书，能看作轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【详解】解：A、B、D选项中的图形不是轴对称图形，A、B、D不符合题意；C选项中图形是轴对称图形，故C符合题意．50．（25-26八年级上·广东汕尾·阶段检测）下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可．【详解】解：选项B中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形；故选：B．题型十一变量之间的关系（共5小题）51．（24-25七年级下·陕西西安·期末）某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（

）

A．时水深最高 B．时到时之间水深持续上升C．时的水深为 D．两次最高水深的时间间隔为小时【答案】D【分析】本题主要考查函数图象，由图象得出有用信息是解题的关键．根据图象得出关键信息，逐一判断即可．【详解】解：A、由图象可知，时和时水深最高，故本选项不符合题意；B、由图象可知，时到时之间的水深先上升再下降，最后又上升，故本选项不符合题意；C、由图象可知，时的水深，故本选项不符合题意；D、两次最高水深的时间间隔为小时，故本选项符合题意．故选：．52．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是（）A．单价 B．质量 C．金额 D．单价和质量【答案】A【分析】本题考查了常量与变量．根据常量与变量的定义作答即可．【详解】解：如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是单价，变量是质量与金额，故选：A53．（24-25七年级下·广东佛山·期末）下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（

）篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键．【详解】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系；第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系；第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系；第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系；故选：．54．（24-25七年级下·河南开封·期末）某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是_____．【答案】【分析】本题主要考查函数关系式，弄清题目中的数量关系是解题的关键．根据“前3件每件50元”，以后超过的件数按每件25元计算，据此列出函数关系式即可．【详解】解：由题意得，，即．故答案为：．55．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________．【答案】①②③④【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长；②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值；③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可；④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间．【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒，，即图甲中的长为，故①说法正确；当点运动到点时，为直角三角形，，，即图乙中是，故②说法正确；由图可知：，，又，，，，则图甲的面积，故③说法正确；图乙中代表点从所需的全部时间，，秒，故④说法正确；正确说法的序号是①②③④．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点．题型十二整式的运算（共5小题）56．（24-25八年级上·云南德宏·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)9(2)【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂和乘方运算法则，进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．57．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】（1）解：；（2）解：．58．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、整式的混合运算．（1）根据有理数的运算法则进行计算；（2）根据同底数幂的运算法则、积的乘方的法则、同底数幂的除法法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项．【详解】（1）解：；（2）解：．59．（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算：【答案】【分析】先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可．【详解】解：．60．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；（2）先利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，再进行加减即可解答．【详解】（1）解：；（2）解：．题型十三化简求值（共5小题）61．（25-26八年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中，．【答案】化简结果为，值为【分析】本题考查整式的混合运算和化简求值，涉及多项式乘多项式法则、平方差公式及合并同类项法则．关键是先通过整式运算将原式化简为最简形式，再代入已知的、的值计算结果．【详解】解：．再代入，求值，原式．62．（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，．【答案】，值为3【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可．【详解】解：当，时，原式．63．（25-26八年级上·江西宜春·期末）先化简，再求值：，其中，．【答案】；【分析】本题考查了整式的混合运算、代数式化简求值，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据多项式乘以多项式法则计算并合并同类项，化简完毕后代入求值即可．【详解】解：原式，当时，上式．64．（25-26七年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题主要考查了平方差公式、整式的加减运算及代数式求值，熟练掌握平方差公式和去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．先利用平方差公式和去括号法则对原式进行化简，再将，代入化简后的式子求值．【详解】解：原式，当，时，原式．65．（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足【答案】；【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．【详解】解：，，，，解得：，，当，时，原式题型十四网格中作平行线、垂线（共5小题）66．（25-26七年级上·江苏·期末）如图，已知是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母．(1)画线段；(2)画直线；(3)过点画的垂线，垂足为；(4)在直线上找一点，使得最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】本题考查了直线、线段、射线，利用直线、线段、垂线的定义是解题关键．（1）如图，用直尺连接点，点即为线段；（2）如图，连接并向两端延长即为要求作的直线；（3）根据垂线的定义，可得答案，（4）根据线段的性质，连接与交于点，即可得到答案．【详解】（1）解：画线段，如图：（2）解：画直线，如图：（3）解：过点画的垂线，垂足为，如图：（4）解：在直线上找一点，使得最小，如图：67．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题：(1)作射线；(2)连接，交于点；(3)过点作于点；(4)点到的距离是线段______的长度；(5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)(5)，两点之间线段最短．【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法．（1）根据射线的画法作图即可；（2）根据线段的画法作图即可；（3）根据垂线的画法作图即可；（4）根据垂线的长度求解即可；（5）根据线段的性质求解即可．【详解】（1）解：射线如图1所示，（2）解：连接，交于点，如图2所示，（3）解：过点作于点，如图3所示，（4）解：点到的距离是线段的长度；故答案为：；（5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短．故答案为：；两点之间线段最短．68．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，方格纸中每个小正方形都是1，点A、B、C、E是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．(1)过点E画的垂线，垂足为M；(2)画，使得，；(3)与的数量关系是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或【分析】本题主要考查了利用网格画平行线，垂线，平移的性质，平行线的性质，熟练的作图是解题的关键．（1）根据网格作垂线方法，由点向下平移1格，再向左平移5格到，连接交于，结合网格特点可得；（2）根据平移的性质，由点向右平移2格，再向上平移2格到，连接，再由点向左平移1格，再向上平移5格到，即为所求，由点向左平移2格，再向下平移2格到，连接，也为所求；（3）将向右平移1格到，向右平移1格到，由平行线的性质可得，，．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：如图，或即为所求．（3）解：如图，将向右平移1格到，向右平移1格到，则，∵，，∴，，∴，，，∴或，∴或．故答案为：或．69．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点、、都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）．(1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）．①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点；②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足；(2)线段_________的长就是点到直线的距离；(3)比较大小：________（填“”“”或“”）．【答案】(1)见解答(2)(3)【分析】（1）利用网格的边长与角度特征，构造同位角相等来作平行线，构造直角三角形来作垂线；（2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离；（3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小．【详解】（1）解：①即为所求；②即为所求；（2）解：线段的长就是点到直线的距离，故答案为：；（3）解：，故答案为：．【点睛】本题考查了网格中的平行线与垂线作图、点到直线的距离定义，以及垂线段最短的性质，熟练利用网格特征和几何基本性质是解题的关键．70．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）在如图所示的方格纸中画图并标上相应的字母．(1)请过点画线段的平行线．(2)请过点画线段的垂线，垂足为H．(3)若方格纸中每个小正方形的边长都为1，连接，则三角形的面积等于．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题考查作图-应用与设计作图、平行线的判定、垂线的判定、三角形的面积，熟练掌握平行线与垂线的判定是解答本题的关键．（1）取格点，连接，即可得平行线．（2）取格点，连接，即可得垂线．（3）利用割补法可求得答案．【详解】（1）解：如图，平行线即为所求；（2）解：如图，垂线即为所求；（3）解：如图，连接，，的面积为．故答案为：9．题型十五利用余角、补角、直角求解（共5小题）71．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点是直线上一点，与互为余角，是的平分线．若，求的度数．【答案】【分析】余角的定义可求出，结合角平分线的定义可得，由平角的定义可得的度数，进而求出的度数．【详解】解：∵与互为余角，∴．

∵，∴，

又∵是的平分线，∴，∵点是直线上一点，∴，∴，

∴．72．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点，，平分．(1)求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得；（2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴．73．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点O为直线上一点，，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，易求，再根据角平分线的定义，可求，最后利用，计算即可；（2）由（1）知，根据余角的定义，可求，从而可得，再根据，计算即可求解．【详解】（1）解：因为点O为直线上一点，所以，因为，所以，因为平分，所以，因为，所以；（2）由（1）知，因为与互余，所以，因为，所以，因为，所以．74．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，．(1)若，求的度数．(2)若与互补，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查角的和差，补角的定义，解题的关键是：（1）设，结合已知求出，，，结合得出，即可求解；（2）由（1）得，，结合与互补得出，即可求解．【详解】（1）解：设，，又，，，，；（2）解：由（1）得，．因为，所以，解得，所以．75．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知都是直角．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查互余的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握各个角之间的互余和数量关系是解决问题的关键．（1）根据，结合图形即可求出结论；（2）设，得到，求出，即可得到的度数．【详解】（1）解：都是直角．∴，由∴，，；（2）解：由可设，∴∴，∴，∴题型十六平行线的性质和判定（共5小题）76．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线被直线所截，交点分别为点O、P，平分，平分，如果（1）吗？为什么？（2）吗？为什么？解：（1）∵（已知），（

），（2）平分，平分（已知），∴（）．又∵（已知），=（

）

，

（

）．【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）；角平分线的定义；；；等量代换；同位角相等，两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟知平行线的判定定理是解题的关键．（1）根据同位角相等，两直线平行即可得到结论；（2）由角平分线的定义可得，则可证明，进而证明．【详解】解：（1）∵（已知），（同位角相等，两直线平行）；（2）平分，平分（已知），∴（角平分线的定义）．又∵（已知），（等量代换）

，

（同位角相等，两直线平行）．77．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，中，平分，交于点，，交于点，点在上，连接．(1)若，求的大小；(2)若，试判断和的大小关系并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（）根据平行线的性质即可求解；（）由平行线的性质可得，，，即得，进而由角平分线的定义得，即可求证；本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴，（2）解：，理由如下：∵，∴，，∵，∴，∴，又∵平分，∴，∴．78．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图所示，，且与的平分线交于点F，(1)判断与的数量关系．(2)若，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点E作，根据猪蹄模型进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答．【详解】（1）解：过点E作，∴，∵，∴，∴，∵，∴，同理可得：，∵平分，平分，∴，，∴，（2）解：∵，∴．79．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图1，M为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题：(1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由；(2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）；(3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)(3)或【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（1）根据题意得，进而得到，从而得到；（2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据得到；（3）过点作，则，由（2）知，则，分情况讨论：当点在内部时，；当点在外部时，．【详解】（1）解：，理由如下：，．，，；（2）解：如图，过点B作，，，，∵，；（3）解：过点作，则，，由（2）知，则，，，①如图，当点在内部时，；②如图，当点在外部时，；综上，的度数为或．

80．（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整：说明：如图，过P作．∵．（辅助线的作法）∴．（）∵．（已知）∴．（）∴．（）∵．（角的和差定义）∴．（等量代换）【方法应用】（2）如图2，若，，，则；【变式探究】（3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由；【拓展延伸】（4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．（1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得；（2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案；（3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系；（4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数．【详解】解：（1）如图，过P作，∵，（辅助线的作法）∴，（两直线平行，内错角相等）∵，（已知）∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∴，（两直线平行，内错角相等）∵，（角的和差定义）∴．（等量代换）故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示：∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：82；（3），，之间的数量关系是：；理由如下：过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示：∴，∵，∴，∴，∴，即，，之间的数量关系是：；（4）∵的平分线和的平分线交于点Q，∴设，，∴，，∴，，由（1）的结论得：，，∵，∴，解得：，∴，故答案为：131．题型十七频率与概率的综合（共5小题）81．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式：方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖．(1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为(2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由．【答案】(1)(2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算．（1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率；（2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小．【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个，∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为；故答案为：；（2）解：先计算方式一的获奖概率：骰子总面数为，标有“6”的面数为，∴选择方式一获奖的概率为．再计算方式二的获奖概率：转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个，∴选择方式二获奖的概率为．∵，∴方式一的获奖机会更大；答：选择方式一获奖机会更大．82．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上．(1)事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”）(2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率；(3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值．【答案】(1)随机(2)(3)4【分析】本题考查事件的分类，根据概率公式求概率，掌握相关知识是解题的关键．（1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可．（2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可；（3）根据概率公式构造方程求解即可．【详解】（1）解：事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为随机事件．故答案为：随机．（2）由题意可知，写有“美”字的卡片有（张），所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为．（3）由题意可知：，解得，所以m的值为4．83．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某小型植物可能开出多种颜色的花朵，为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的5个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，种植在劳动实践基地，最后统计各组数据，进行实验研究．各组植株总数量m100150200300500开红花的植株数量n395482120b出现红花的频率0.39a0.410.400.40(1)填空：________，________；(2)当试验次数很大时，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是概率的估计值．根据表中数据，可估计这种植物开红花的概率为________；(3)若要得到320株开红花的植株，试估计要准备种植多少株该种植物幼苗？【答案】(1)0.36，200(2)0.4(3)要准备种植800株该种植物幼苗【分析】本题主要考查利用频率估算概率，解题的关键是理解题意；（1）根据频率公式可进行求解；（2）根据表格可直接利用频率估算概率；（3）根据（2）及题意可直接进行求解．【详解】（1）解：由表可知：，；故答案为0.36，200；（2）解：由题意可知：这种植物开红花的概率估计值为0.4；故答案为0.4；（3）解：由（2）及题意可得：（株）；答：要准备种植800株该种植物幼苗．84．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据．转动转盘的次数落在《红星照耀中国》区域的次数落在《红星照耀中国》区域的频率(1)上述表格中，．(2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图．(3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是（结果保留到小数点后两位）．(4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？【答案】(1)0.44；450(2)见解析(3)(4)【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数．（1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可；（2）根据表格数据画折线统计图即可；（3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案；（4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解．【详解】（1）解：由题意，，，故答案为：0.44；450；（2）解：如图：（3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近，故获得《红星照耀中国》的概率约为，故答案为：；（4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是．85．（24-25七年级下·四川成都·期末）“项目式学习”是一种新型学习方式，请根据下列材料，完成以下任务：【背景】2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时．【素材】某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图（A．分钟，B．分钟，C．分钟，D．分钟）．【问题任务】(1)求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图(2)若七年级共有600人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数？(3)若从D中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则D中女生有多少人？【答案】(1)，图见解析(2)120人(3)3人【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息相关联，利用样本估计总体数量，求概率等，解题的关键是从统计图中获取准确信息．（1）先根据C组人数及其所占百分比可得总人数，用B组人数除以总人数可得m的值，总人数乘A组人数所占比例即可补全图形；（2）总人数乘以A组对应百分比可得其人数；（3）用D组人数乘以女生的概率即可得出答案．【详解】（1）解：被调查的总人数为（人），则，∴；A组人数为（人），补全图形如下：（2）解：（人），答：估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数约为120人；（3）解：（人），答：D中女生有3人．题型十八证明三角形全等（共5小题）86．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，，点E，F分别是、的中点，连接、．求证：．【答案】证明见解析【分析】首先得到，然后证明出，即可得到．【详解】证明：∵点E、F分别是、的中点，∴，，∵，∴，又∵，，∴，∴．87．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，点在线段上（点在点左侧），，．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用全等三角形的判定定理“”证得；然后由全等三角形的对应角相等证得．【详解】证明：，，，在与中，，，．88．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．(1)若，，则与的周长差为________；(2)若，，求的大小．【答案】(1)2；(2)【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角：（1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值；（2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小．【详解】（1）解：是的中线，，的周长为：，的周长为：，与的周长差为：．故答案为：．（2）解：在中，为它的一个外角，且，，．是的角平分线，．，，在中，．．89．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，于点，于点，与交于点．(1)求证：．(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确寻找证明三角形全等的条件是解答本题的关键．（1）根据等角对等边可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据等面积法可求出，然后结合（1）的结论求解即可．【详解】（1）证明：，，，．，，，，．在和中，，；（2）解：，，．由（1）可知．，在中，，．由（1），可知，．90．（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，为线段上一点，，，．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）及利用全等三角形对应边相等进行线段计算是解题的关键．（1）先由平行线性质得到一组角相等，再结合已知的边和角相等，利用判定三角形全等．（2）由（1）的全等结论得到对应边相等，通过线段的和差关系求出的长度．【详解】（1）证明：∵，∴，在和中，，，，∴（）（2）解：∵，∴，，∵，∴．题型十九轴对称作图（共5小题）91．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．请在图中作出关于x轴对称的图形（点A，B，C的对应点分别是点，，），并写出点的坐标．【答案】图见解析，【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．分别确定点，，关于轴对称的对称点，，，再顺次连接即可．【详解】解：如图，即为所求，．A92．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，按下列要求作图．(1)画出关于轴对称的图形（点，，分别对应点，，），并写出点的坐标；(2)求的面积；(3)连接，若点为轴上一点，且满足的面积为12，求出点的坐标．【答案】(1)见解析，(2)2(3)或．【分析】此题主要考查了轴对称变换、利用网格求三角形面积，根据题意得出对应点位置是解题关键．（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点连线即可；（2）根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积解答即可；（3）根据题意得出，设，结合面积的计算方法求解即可．【详解】（1）解：如下图，即为所求；（2）解：的面积；（3）解：连接，如图所示：∴，设，∵的面积为12，∴即，解得：或，或．93．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．(1)在图中作出关于轴对称的；(2)求的面积；(3)①作图：在轴上找一点，使的周长最小；②点的坐标为________（直接写出答案）．【答案】(1)图见解析(2)(3)①图见解析；②【分析】周长最小问题要先排除固定长度的线段，再利用“将军饮马”模型来解题．（1）先根据轴对称的性质画出点、、，连接成三角形即可；（2）利用割补法计算网格中的三角形面积；（3）①连接，与轴的交点即为所求的点；②结合图象，直接写出点的坐标即可．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：；（3）解：①如图，点Q即为所求；②由图可知，点Q的坐标为．94．（25-26八年级上·吉林·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．(1)的面积是_______；(2)若点F与点C关于y轴对称，则点F的坐标为_______；在平面直角坐标系中，作出与关于y轴对称的；(3)已知P为x轴上一点，若的面积为1，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)(2)，图见解析(3)或【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．（1）利用割补法求三角形的面积即可；（2）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得点F的坐标；根据轴对称的性质作图即可；（3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案．【详解】（1）解：的面积是．故答案为：4；（2）解：点F与点关于轴对称，点F的坐标为，如图，即为所求．故答案为：；（3）解：设点的坐标为，的面积为1，，解得或0，点的坐标为或．95．（25-26七年级上·山东烟台·期中）在如图所示的方格纸中，的三个顶点都在格点上．(1)画出关于直线n成轴对称的；(2)求的面积；(3)请用尺规在直线m上找出一点P，使得的周长最小．【答案】(1)见解析；(2)3；(3)见解析．【分析】本题考查轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）作点A关于直线m的对称点，连接交直线m于点P，连接，点P即为所求．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：答：的面积为3；（3）解：如图，点P即为所求：题型二十三角形中的常考全等模型（共5小题）96．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D．(1)求证：；(2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形．（1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得；（2）证明，得．【详解】（1）证明：，，，在和中，，，；（2）解：，证明如下：∵，∴，∵，，即，在和中，，，，，．97．（25-26八年级上·江西赣州·期末）在等腰中，，，点在直线上．且于点，于点．(1)当直线处于图1位置时，若，，则___________，___________．(2)当直线处于图1位置时，求证：．(3)当直线处于图2位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)1，3(2)见解析(3)，证明见解析【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定．（1）根据题意证明出，即可得到，；（2）由（1）得，，进而证明即可；（3）同（1）证明出，得到，，进而求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，；（2）解：由（1）得，，∴；（3）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴．98．（24-25七年级下·山东济南·期末）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，【问题初探】（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：；【类比探究】（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形．（1）由判定，推出；（2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出．【详解】（1）证明：在和中，，∴，∴；（2）解：，，理由如下：如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴．99．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：．【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系．请根据小强同学的思路写出证明的完整过程．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明．【详解】证明：延长至E，使，连接，∵是中线，∴，在和中，，，，，，，，．100．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答：（1）①由已知和作图能得到，依据是___________．A．

B．

C．

D．②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积．拓展延伸：（3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为．【答案】（1）①A，②；（2）40；（3）见解析【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．（1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明；②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解；（2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解；（3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论．【详解】解：（1）①∵是中线，∴，在和中，，∴．故选：A；②解：∵，，，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴．故答案为：；（2）延长至，使得，∵是中线，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）延长交于，∵，∴，又∵是的中点，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴的面积为．题型二十一变量之间的关系（共5小题）101．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表：降价金额（x/元）1030405060日销量（y/盒）6090105120135(1)上表中，自变量是________，因变量是________；(2)可以估计降价前的日销量是________盒；(3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量．【答案】(1)降价金额x，日销量y(2)45(3)165盒【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键；（1）根据函数的定义“在变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量”进行求解即可；（2）根据表格可直接进行求解；（3）根据（2）及题意可列式进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得：自变量是降价金额x，因变量是日销量y；故答案为降价金额x，日销量y；（2）解：由表格可知：估计降价前的日销量是（盒）；故答案为45；（3）解：由题意得：（盒）；答：该文创产品的日销量为165盒．102．（24-25七年级下·广东深圳·期末）打羽毛球时，羽毛球的运动轨迹主要受击球力度、角度和