专题08 期末真题压轴百练通关（期末复习专项训练＋9大题型）（原卷版）

专题08期末真题压轴百练通关（80题9大压轴题型）选填压轴解答压轴题型1多结论问题题型5乘法公式与几何图形综合题题型2多解问题题型6平行线的性质与判定综合题题型3最值问题题型7三角形全等之截长补短模型题型4动点变量问题题型8三角形全等之一线三等角模型题型9三角形全等之倍长中线模型题型一多结论问题（共10小题）1．（25-26七年级上·河南漯河·期末）如图，O为直线上一点，平分，以下结论：①与互为余角；②若，则；③；④平分．其中结论正确的是（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④2．（25-26七年级上·湖南常德·期末）如图，为直线上一点，和为直角，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③与互为补角；④；其中正确的是（

）A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④3．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③5．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论：①；

②；

③；④设，则；⑤其中，正确的有（

）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤6．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____．8．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在与中，，分别交、于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为：___________．9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为中线，过B作于点E，过C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________．10．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，A，B，C，D，E是直线l上顺次排列的五个点，点F是直线l外一点，连接．平分交于点M，平分交于点N，连接，且．下列五个结论：①图中以F为顶点的角共有10个；②；③图中互为余角的角共有5对；④若，则；⑤若图中直线l上所有线段之和为62，，则．其中正确的是________（填写序号）．题型二多解问题（共10小题）11．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知等式成立，则实数的值为_____．12．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，在射线上取一点D，连接，过点D作交直线于点E，若，，则的度数是______．13．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为__________．14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________．15．（24-25七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，如图2，当时，，则其它符合条件的度数为____________________．16．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为_____秒．17．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时，___________s．18．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是_____________．19．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为__________．20．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如下图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为____________秒．题型三最值问题（共10小题）21．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点．点分别是和上的动点，则的最小值是______．22．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，中平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为____________．23．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______．24．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____．25．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，已知在直角三角形中，．动点D在边上运动，过D点作，垂足为点E．则在点D的运动过程中，的最小值为___________．26．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______．27．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为_______．28．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点P为上一动点，则的周长最小值为__________．29．（24-25七年级下·河南·期末）如图，在中，，是边上一点，，，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点，之间的距离的最小值是______，点，之间的距离的最大值是______．30．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．

题型四动点变量问题（共7小题）31．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，点是边上的动点(不与点重合)，点是边上任意一点．点从点向点以的速度运动．则的面积与点的运动时间间的表达式为(

)A．B．C．D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式32．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）A．B．C．D．33．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（

）

A． B．长方形的周长为C．当秒时， D．当时，秒34．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______．35．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为__________________．36．（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为_____．37．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________．题型五乘法公式与几何图形综合题（共10小题）1．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”．(1)请说明13是“完美数”；(2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；(3)已知实数x与y的和是“完美数”，且满足，请求出的最小值．2．（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，请认真观察图形，解答下列问题：图1是我们学过的乘法公式的图形表示，请利用这个公式解决下面问题，(1)用4个一样的长方形，长和宽分别为a，b，拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______；(2)若，，求的值；(3)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和．3．（21-22六年级下·山东东营·期末）（附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）(3)【应用】请应用这个公式完成下列各题①已知，则的值为②计算：(4)【拓展】①结果的个位数字为②计算：4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）数学活动一一和为定值的两数积的规律．观察以下两组算式：①两数和为60时，，，，；②两数和为100时，，，，．(1)你发现的规律是：两数和一定时，两数______________，积越大；两数______________，积最大．(2)请你利用乘法公式解释你发现的规律．(3)规律应用：用20m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是______________m2，此时长方形的长和宽有什么数量关系？______________，由此得出更一般的结论，周长一定的长方形中，______________的面积最大．5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：．②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；③若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；(1)填空：①，②．(2)复数与复数共轭，则．(3)已知，求的值．6．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式．利用上述公式解决问题：【直接应用】（1）若，，则______；【类比应用】（2）若，求的值．【知识迁移】（3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度．7．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到．【类比应用】（1）如图2，可以得到的代数恒等式是：；【结论应用】（2）若满足，求的值；【迁移应用】（3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长．8．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题．…【初步感知】（1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________；【拓展推广】（2）利用杨辉三角，写出的展开式________；【迁移应用】（3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式．9．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因此8，16，24，32都是“神秘数”．(1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）；(2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由；(3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数；(4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和．10．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．(1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图：___________，图：___________，图：__________(2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算：已知，，求代数式①；②的值．(3)若，求的值．题型六平行线的性质与判定综合题（共10小题）11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下：【探究一】如图①，已知，测得，求的度数；【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由；【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数．12．（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点．(1)求证：；(2)试判别和的大小关系，并说明理由；(3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值．13．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°．（2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由．（3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）．14．（25-26八年级上·江西抚州·期末）问题情境：如图1，，，，求度数．小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求．(1)按小彬的思路，求的度数；(2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系．15．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸．如图，直线的角平分线交于点．探究（1）初步观察与推理用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由．探究（2）角度倍数关系的计算若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数．探究（3）动点角度的分析点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数．16．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，直线交于点A，交于点B，点E是线段上一点，C、D分别在射线、上，连接的平分线与的平分线交于点F．(1)当时，__________°：(2)与的数量关系是__________；(3)过点D作，交的延长线于H，将直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点D顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过t秒后，直线恰好与的边或边平行，请直接写出所有满足条件的t的值．17．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于，①求度数；②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值．18．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与探究问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．(1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由．(2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数．(3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）．①当，时，求的度数；②直接写出与之间的数量关系．19．（25-26七年级上·福建泉州·期末）直线，点在直线上，点B在直线之间，，点在直线上，记（）．(1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示）(2)过点作交直线于点（在的右侧）使得．点为平面内一点且满足，直线与直线交于点．（i）如图2，若点在直线上方，求与的数量关系；（ii）如图3，若点在直线下方，是线段延长线的动点，是线段上的动点，且满足，连接，试说明三角形中必有某两个三角形的面积相等．20．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究如图，，点P，Q为直线，上两定点，．(1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为；(2)若平分，平分，．①如图2，点N在左侧时，求的角度；②如图3，点N在右侧，求的角度；(3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则．（直接写出结果）题型七三角形全等之截长补短模型（共5小题）21．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，．(1)求证：；(2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．22．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点．(1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程；(2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由．23．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】（1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明；【问题解决】（2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由．24．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形中，，，，分别是边，上的动点，且．(1)如图1，当，分别在线段，上时，①填空：若设，则之间的数量关系是______；②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明．25．（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数．题型八三角形全等之一线三等角模型（共5小题）26．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】（1）如图1，直线l经过点A，，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：；【变式探究】（2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：；【拓展应用】（3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积．27．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，．(1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______．(2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由．(3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果）28．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点．(1)当时，①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：；②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由．(2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值．29．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型．【探究问题】（1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________．（2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【解决问题】（3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．30．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解．【类比探究】（1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：；【拓展应用】（2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由；【知识迁移】（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积．题型九三角形全等之倍长中线模型（共5小题）31．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______；（2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程；（3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分．32．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系．小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断．【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由；【自主探究】（2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明．33．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究：【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧．(1)【问题背景】如图，中，，，是中线，则的取值范围是______；(2)【变式思考】如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：；(3)【探究延伸】如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长．34．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？【探究方法】（1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．【问题拓展】（2）如图②，，与互补，连接，，是的中点，求证：（3）如图③，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积．35．（25-26八年级上·