复习讲义04 四边形（原卷版）

专题04四边形（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型一多边形的基本概念题型二多边形的对角线问题题型三多边形内角和问题题型四正多边形题型五多边形内角和与外角和综合题型六平面镶嵌题型七平行四边形的判定题型八平行四边形的性质题型九添一个条件证明四边形是平行四边形题型十矩形的判定题型十一矩形的性质题型十二矩形与折叠问题题型十三菱形的判定题型十四菱形的性质题型十五正方形的判定题型十六正方形的性质题型十七（特殊）平行四边形的存在性问题题型十八三角形中位线定理题型十九中点四边形题型二十梯形过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律多边形相关概念、内角和与外角和能熟记多边形相关概念，熟练运用内角和、外角和公式进行计算基础必考小题，易错点为记错内角和公式、对角线条数计算公式平行四边形的性质与判定能运用平行四边形的性质解题，依据判定定理证明四边形为平行四边形核心高频考点，选择、填空、解答题均会考查，常结合线段、角度计算与证明出题矩形的性质与判定能掌握矩形特有性质，灵活选用判定方法完成推理与计算重点考查内容，常与直角、对角线结合命题，易错点为混淆矩形与平行四边形判定条件菱形的性质、面积与判定能运用菱形性质推理，熟练使用两种面积公式计算，正确判定菱形中档常考题型，对角线相关计算、面积计算为热点，易错点为忽略对角线互相垂直的性质正方形的性质与判定能综合运用正方形的性质，结合多种判定方法完成证明综合难点考点，融合平行四边形、矩形、菱形知识，题型综合性强三角形中位线定理能理解并运用中位线定理进行线段推理与长度计算基础工具类考点，常穿插在几何证明、计算题中考查梯形、等腰梯形及梯形中位线能区分梯形与平行四边形，掌握等腰梯形性质、判定及中位线定理常规考点，多以填空、简单证明题形式出现，易错点为梯形概念辨析不清知识点01多边形一、多边形相关概念1.多边形的边：组成多边形的每一条线段叫做多边形的边。2.多边形的顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。3.多边形的内角：多边形相邻两边在内部组成的角，叫做多边形的内角。4.多边形的外角：多边形的一条边与它邻边的延长线所组成的角，叫做多边形的外角。5.多边形的对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。补充说明1.任意多边形的边数、顶点数、内角个数数量相等。2.求解多边形相关问题时，常连接对角线，将多边形问题转化为三角形问题解答。3.对角线条数规律：从n边形的一个顶点可引出n-3条对角线，这些对角线能把n边形分割成n-2个三角形；二、正多边形性质1.正n边形共有n条对称轴。2.对称性：当边数n为奇数时，正n边形仅为轴对称图形；当边数n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心为多边形的中心。三、多边形内角和与外角和定理1.n边形内角和公式：(n-2)×180∘2.多边形外角和定理：任意多边形的外角和恒等于360∘知识点02平行四边形一、平行四边形的性质1.边：两组对边分别平行且相等。几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC，2.角：两组对角分别相等。几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠BAD=∠BCD3.对角线：对角线互相平分。几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=12AC二、平行四边形的判定1.定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。几何语言：因为AB∥CD，AD∥2.边的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。3.角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。4.对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。知识点03矩形一、矩形的性质矩形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。1.边：两组对边平行且相等。几何语言：因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，AD∥BC，2.角：四个内角均为直角，即90∘。几何语言：因为四边形ABCD是矩形，所以∠3.对角线：对角线互相平分且长度相等。几何语言：因为四边形ABCD是矩形，所以AO=CO=BO=DO。二、矩形的判定1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。2.有三个角是直角的四边形是矩形。3.对角线相等的平行四边形是矩形。知识点04菱形一、菱形的性质菱形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。1.边：四条边长度全部相等。几何语言：因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=AD。2.对角线：对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。几何语言：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AC平分∠BAD与∠BCD，BD平分二、菱形面积公式1.底乘高：S=底×高。2.对角线乘积的一半：若菱形两条对角线长分别为m、n，则面积S=1三、菱形的判定1.四条边都相等的四边形是菱形。2.一组邻边相等的平行四边形是菱形。3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。知识点05正方形一、正方形的性质正方形是特殊的矩形与菱形，兼具平行四边形、矩形、菱形的全部性质。1.边：四条边相等，两组对边分别平行。2.角：四个内角都是直角。3.对角线：对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角。4.补充性质：一条对角线可将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角为45∘5.面积计算：设边长为a，面积S=a2；设对角线长为l，面积二、正方形的判定1.定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2.矩形进阶判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。3.菱形进阶判定：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。知识点06三角形的中位线1.定义：连接三角形两条边中点的线段，叫做三角形的中位线。2.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且长度等于第三边的一半。知识点07梯形一、梯形基本概念1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做底，长度较短的为上底，长度较长的为下底；不平行的两边叫做腰；两底之间的垂线段叫做梯形的高；腰与底边的夹角叫做底角。2.概念区分：平行四边形两组对边都平行，梯形仅有一组对边平行；梯形中互相平行的一组对边长度不相等。二、等腰梯形1.定义：两条腰长度相等的梯形，叫做等腰梯形。等腰梯形属于特殊梯形，具备梯形所有性质。2.性质：同一底上的两个内角相等；两条对角线长度相等。3.判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。三、梯形的中位线1.定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。2.中位线定理：梯形的中位线平行于梯形的上底与下底，且长度等于上下两底和的一半。若梯形上底为a，下底为b，中位线长为l，则l=a+b题型一多边形的基本概念例1．以下命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（

）A．四边形是多边形 B．两直线平行，同旁内角互补C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．如果两个角是同位角，那么这两个角相等变式1-1．下列说法中，正确的有（）①三角形是边的数量最少的多边形；②等边三角形和长方形都是正多边形；③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角；④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1-2．下列图形中，是中心对称图形的是（

）A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形变式1-3．将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下几个角？画图说明．题型二多边形的对角线问题例2．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________．变式2-1．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形．变式2-2．从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线．变式2-3．“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想．如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手：(1)完成下表____________(2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）；(3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数．题型三多边形内角和问题例3．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（

）A．或 B．或 C． D．变式3-1．如图，在四边形中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．变式3-2．如图，在四边形中，，平分，点E在边上，且．求证：．变式3-3．如图，在四边形中，，与互为补角，点在上，将沿折叠，得到．若，平分，(1)求的度数，(2)求的度数．题型四正多边形例4．将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（

）个这样的正五边形．A．5 B．6 C．7 D．8变式4-1．如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（

）A． B． C． D．变式4-2．如图，正三角形（图和正五边形（图2）的边长相同．点为的中心，用5个相同的拼入正五边形中，得到图3，则图3中的五角星的五个锐角均为__________．变式4-3．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2．（1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是____________；（2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为____________．题型五多边形内角和与外角和综合例5．在一个n边形中，和一个内角相邻的外角与其余内角度数的总和为，则_____．变式5-1．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（

）A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形变式5-2．如图：、是五边形的2个外角，若，则________．变式5-3．已知一个正多边形木架的每个内角与相邻外角的度数比为．(1)求这个正多边形木架的边数．(2)若要使该正多边形木架不变形，至少要钉上m根木条，请直接写出m的值．题型六平面镶嵌例6．用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则_______°．变式6-1．下列正多边形的组合中，能铺满地面的是（

）A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形 C．正六边形和正三角形变式6-2．数学实践课上，某小组用两种边长相同的正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案中有一个顶点周围有1个正方形和a个正八边形，则a的值为______．变式6-3．我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案．(1)按图中所示的规律拼接，完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”）(2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示）(3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．题型七平行四边形的判定例7．如图，，分别是的边，上的点，且．求证：四边形是平行四边形．变式7-1．如图，点是线段的中点，点、在的同侧，．(1)求证：；(2)连接，求证：四边形为平行四边形．变式7-2．如图，点在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形．变式7-3．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．(1)求证：；(2)判断四边形的形状，并证明你的结论．题型八平行四边形的性质例8．如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则（

）A．60 B．45 C．50 D．55变式8-1．如图，在平行四边形中，平分，若，，则的长是_____．变式8-2．在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6变式8-3．如图，在中，对角线，相交于点，，，，点是的中点，将点沿过点的直线对折，使点落在对角线上的点处，连接，则________．题型九添一个条件证明四边形是平行四边形例9．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．C． D．，变式9-1．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（

）A．， B．C．， D．变式9-2．如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（

）①如果再添加条件“”，②如果再添加条件“”，③如果再添加条件“”，④如果再添加条件“”．A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④变式9-3．已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形．题型十矩形的判定例10．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求证：．变式10-1．如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形．变式10-2．如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，．(1)证明．(2)若，判断四边形的形状并证明．变式10-3．如图，在中，点，分别在，上，且，连，．(1)求证：；(2)若，则请添加一个与线段有关的条件，使四边形为矩形．（直接写出这个条件，不需要说明理由）题型十一矩形的性质例11．将一张矩形纸片和一张等腰直角三角形纸片（）按如图所示的位置放置，若，度数为（

）A． B． C． D．变式11-1．如图，在矩形中，是延长线上一点，连接，，．若，则的度数是________．变式11-2．把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（

）．A． B． C． D．变式11-3．如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形，球员林昊沿跑位，防守队员谷文杰沿拦截，点是边上一点，，于点．(1)求证：．(2)若分米，分米，求的长．题型十二矩形与折叠问题例12．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（

）A． B． C． D．变式12-1．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，_________．变式12-2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____．变式12-3．如图，把矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点，已知，．（1）__________；（2）若点为上一个动点，则的最小值为__________．题型十三菱形的判定例13．如图，在中，平分．(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．变式13-1．如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（

）A． B．6 C．10 D．12变式13-2．如图，是的对角线，于点，于点．(1)求证：；(2)连接，，添加一个条件，能使四边形为菱形吗，请说明理由．变式13-3．如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且．(1)求证：；(2)若，说明四边形为菱形．题型十四菱形的性质例14．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____．变式14-1．如图，在菱形中，，垂足为点，与交于点，连接．若，则的大小为（

）．A． B． C． D．变式14-2．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（

）A． B． C． D．变式14-3．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点，，分别作，，垂足分别为，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若菱形的周长为，，求平行线与间的距离．题型十五正方形的判定例15．如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求证：四边形是正方形．变式15-1．如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点于点．求证：四边形是正方形．变式15-2．如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点，(1)证明：四边形是平行四边形；(2)若，，证明：四边形是正方形．变式15-3．如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？题型十六正方形的性质例16．如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K．(1)计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____；(2)发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论；(3)运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和．变式16-1．如图，一个大正方形中有2个小正方形，则它们的面积，满足的关系是（

）A． B． C． D．不能确定变式16-2．如图，点是正方形内一点，连接并延长，交于点，连接．将绕点顺时针旋转至．连接，若，，，则该正方形的边长为（

）A． B． C． D．变式16-3．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，．(1)求证：平分；(2)求的度数；(3)若，，求正方形的边长．题型十七（特殊）平行四边形的存在性问题例17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts．(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；(3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．变式17-1．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．(1)求的长；(2)当运动停止时，求线段的长；(3)当为何值时，四边形为矩形，求出的值和矩形的面积；(4)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由．变式17-2．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t．(1)_______．______（用含t的代数式表示）；(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由．变式17-3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒．(1)_____．（用含的代数式表示）(2)当为何值时，四边形是平行四边形？(3)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由．(4)在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．题型十八三角形中位线定理例18．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，连接，、分别为、的中点，则的长为（

）A． B． C． D．变式18-1．在中，，，点O为的中点，平分，且点P为的中点，则的长为（

）A． B． C．1 D．2变式18-2．如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，．(1)求证：和互相平分；(2)若，求四边形的周长．变式18-3．如图，在中，，D，E分别是和的中点，点F在的延长线上，且，连接，，(1)求证：；(2)若，，求四边形的周长．题型十九中点四边形例19．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．(1)菱形的中点四边形的形状是_______；(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．(3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______．变式19-1．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．问题解决（1）判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由；（2）当图1中的四边形的对角线添加条件时，这个中点四边形是正方形．拓展延伸（3）如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为，，，的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论．变式19-2．新定义问题：四边形四条边上的中点分别为，，，，顺次连接，，，，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与．(1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形；(2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明．(3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________．变式19-3．综合与探究定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性质探究：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：①________；②________；问题解决：（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果．拓展应用：（4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由．题型二十梯形例20．如图，直角梯形中，，，，，则梯形的面积为____．变式20-1．如图，大坝横截面为梯形，，它的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为___________．变式20-2．如图：等腰梯形中，，，，，的周长为12，则等腰梯形的周长是______．变式20-3．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止．(1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形．(2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米．(3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2026·广东清远·一模）若正边形的每一个内角是外角的倍，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在菱形中，若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2025·26八年级下·全国·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（

）A． B． C． D．14．（2025·26八年级下·广东广州·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（

）A．6 B．5 C． D．35．（2025·26八年级下·北京·期中）如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________．6．（2025·26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立．7．（2025·26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______．8．（2024·25七年级下·吉林长春·期末）如图：