清单02 相交线与平行线 （14个考点梳理＋27题型解读）（原卷版）

清单02相交线与平行线（14个考点梳理+27题型解读）清单01相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．清单02对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．清单03垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．清单04垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．清单05点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．清单06同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．清单07平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．清单08平行公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．清单09平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．清单10平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．清单11平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．清单12命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．清单13生活中的平移现象1、平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．清单14平移的性质（1）平移的条件平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．【考点题型一】写出命题的题设与结论（）【例1】（七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有（

）①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式；②该命题的条件是两个角互为补角；③该命题是真命题A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1-1】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）命题“同位角相等”的题设是．【变式1-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例．(1)两个负数之和仍为负数；(2)一个钝角与一个锐角的差是锐角．【考点题型二】判断命题真假（）【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中的真命题是（

）A．两个锐角之和为钝角 B．两个锐角之和为锐角C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角【变式2-1】（七年级下·河北保定·阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成，该命题是（填“真命题”或“假命题”）．【变式2-2】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）命题：绝对值相等的两个数相等．(1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论；(2)判断这个命题是真命题还是假命题．【考点题型三】举例说明假（真）命题（）【例3】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）能说明命题“互为补角的两个角不相等”为假命题的是（

）A． B．C．， D．，【变式3-1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）用一个的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是（写出一个即可）．【考点题型四】平面内两直线的位置关系（）【例4】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是（

）A．与一定不平行 B．与一定平行C．与一定互相垂直 D．与可能相交或平行【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作：(1)过点作的平行线；(2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点．【考点题型五】对顶角的定义（）【例5】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，下列说法正确的是（）A．和是内错角 B．和是对顶角C．和是同旁内角 D．和是同位角【变式5-1】（七年级下·河北唐山·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有对．【变式5-2】（七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，射线与直线分别相交于点H，G．按要求完成下列各小题．

(1)图中共有对对顶角，对内错角；(2)①的同旁内角是；②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？(3)过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离．【考点题型六】对顶角相等（）【例6】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线交于点，于点，那么与的关系是（

）A．一对对顶角 B．相等但不是对顶角 C．一对互余的角 D．一对互补的角【变式6-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，交于点O，平分，，若，则的度数为．【变式6-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线，相交于点，，．(1)求的度数；(2)过点画射线，并直接写出的度数．【考点题型七】垂线的定义理解（）【例7】（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列说法中正确的有（

）①相等的角是对顶角；②同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；④如图，和是同旁内角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式7-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线、相交于点，射线，垂足为点，若，则的度数为．【变式7-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，点在直线上，．(1)若，求的度数．(2)①点到的距离为；②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由．【考点题型八】画垂线（）【例8】（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知三角形，用直角三角板过点A作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（

）A． B．C． D．【变式8-1】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，P是的边上一点，(1)过点P画的垂线，垂足为H；(2)过点P画的垂线，交于点C；(3)比较与的大小，并说明理由．【考点题型九】垂线段最短（）【例9】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（

）A．垂线段最短B．垂直的定义C．两点确定一条直线D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行【变式9-1】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，，垂足为点，得到的数学依据是．【变式9-2】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，将一块直角三角板的直角顶点O放在直线上．(1)若线段的长是点C到直线的距离，则点D在直线______（填“上”或“外”）．(2)比较与的大小，并说明理由．【考点题型十】点到直线的距离（）【例10】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，是锐角，点从点出发沿方向运动，连接．若，点到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式10-1】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，点C到直线的距离是线段的长度.【变式10-2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图，在直角三角形中，．(1)点B到的距离是；点A到的距是．(2)画出表示点C到的距离的垂线段．(3)（填“＞”“＜”“＝”），理由是．【考点题型十一】同位角、内错角、同旁内角（）【例11】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，下列说法中一定正确的是（）A．和是同位角 B．的同旁内角只有C． D．的同位角只有【变式11-1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）在如图所示的各角中，与是内错角的是．【变式11-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会弯曲，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变．(1)请指出的同位角与的同旁内角．(2)淇淇使用工具测得，求的度数．【考点题型十二】利用平行线间距离解决问题（）【例12】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（

）

A．始终不变 B．向右移动变小C．向左移动变小 D．向左移动先变小，再变大【变式12-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）如图1，体育课上测量跳远成绩的依据是．（2）如图2，直线，是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，的面积．（填“变”或“不变”）【考点题型十三】平行公理的应用（）【例13】（24-25七年级下·河北保定·期中）下列说法正确的是（

）A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行【变式13-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是．【考点题型十四】同位角相等两直线平行（）【例14】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图所示，直线被直线所截，现给出下列条件：①；②；③④；⑤．其中能判断的条件的序号是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．③④⑤【变式14-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动度．【变式14-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，中，，，点为线段上的点（不与点A，重合），点在的延长线上，连接，，平分．

(1)求的度数；(2)说明的理由．【考点题型十五】内错角相等两直线平行（）【例15】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，直线被直线所截，下列条件中，不能判定的是（

）A． B． C． D．【变式15-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下面是验证纸条两条边线，是否平行的不同折叠方式：（1）小明：如图①，展开后测得；（2）小丽：如图②，测得；（3）小君：如图③，展开后测得；（4）小晨：如图④，展开后测得．则其中能判定两条边线的是．（填序号）【变式15-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）将一副三角板拼成如图的图形，其中于点，，，且过点作平分交于点．(1)猜想与之间的位置关系，并说明理由；(2)画出的角平分线，与交于G，并求出度数．【考点题型十六】同旁内角互补两直线平行（）【例16】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，给出下列条件中，不能判定的是（

）A． B． C． D．【变式16-1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图：，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）．【变式16-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线．(1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______．(2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______．(3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由．【考点题型十七】两直线平行同位角相等（）【例17】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图所示，直线a、b所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成锐角的度数．现有下列两种方法：①在直线b上任取一点P，过点P作直线a的平行线，量出与直线b所成锐角的度数即为；②在画板上任取一点P，过点P分别作直线a、b的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．则下列说法正确的是（

）A．①行 B．②行 C．①和②均行 D．①和②均不行【变式17-1】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点按逆时针方向至少旋转度，才能使．【变式17-2】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，，平分，平分，，求证：．【考点题型十八】两直线平行内错角相等（）【例18】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，，，则图中与（不包括）相等的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式18-1】（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，那么（填“>”，“<”或“=”）．【变式18-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知,在之间任取一点E，连接．(1)如图1，若求度数；(2)如图2，猜想的数量关系，并说明理由．【考点题型十九】两直线平行同旁内角互补（）【例19】（23-24七年级下·河北沧州·期末）下列命题中，是真命题的是（

）A．邻补角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．对顶角相等【变式19-1】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，一个㝏形管道的拐角，，的度数是．

【变式19-2】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）填空，将本题补充完整.如图，已知，，，将求的过程填写完整．

解：∵（已知），∴______，（

）又∵（已知），∴______（等量代换），∴（

），∴______（

），∵（已知），∴______°．【考点题型二十】平行公理推论的应用（）【例20】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（

）A． B．C． D．【变式20-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，那么．【变式20-2】（24-25七年级下·河北邢台·期中）（1）问题情景：如图1，已知，．①问题初探：请对说明理由；②拓展探究：请对说明理由．（2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______．【考点题型二十一】根据平行线的性质探究角的关系（）【例21】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，，平分，则的度数为（

）

A． B． C． D．57．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图直线在上，为上动点，过作的角平分线交与，若．

（1）时，．（2），；（3）写出数量关系：．58．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．(1)若点在线段上，①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程．②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由．(2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系．【考点题型二十二】根据平行线的性质求角的度数（）【例22】（24-25七年级下·河北张家口·期中）一个自行车的示意图如图所示，其中，．若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式22-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点在上），EF为后下叉．已知，则的度数为．【变式22-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，已知直线，，分别与，相交，，分别平分，．若，，求的度数．【考点题型二十三】平行线的性质在生活中的应用（）【例23】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【变式23-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是，的度数为．【考点题型二十四】根据平行线判定与性质求角度（）【例24】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，已知：直线a、b被直线c所截，，则是（

）时，．A． B．