复习讲义01 二元一次方程组（原卷版）

专题01二元一次方程组（期末复习讲义）内容导航明·期末考清把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型一二元一次方程(组)的定义题型二解二元一次方程组题型三解二元一次方程组（整体代入）题型四三元一次方程组题型五已知二元一次方程(组)的解求参数题型六同解方程组题型七错解复原问题题型八分配问题题型九古代问题题型十销售问题题型十一行程问题题型十二工程问题题型十三数字问题题型十四图形问题题型十五方案问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律二元一次方程定义与解的判定能依据三要素精准辨析二元一次方程，能代入数值检验是否为方程的解基础必考小题，易混淆项次数、整式两个判定条件，是高频易错点二元一次方程组概念与方程组解的检验能识别二元一次方程组，规范书写方程组的解，熟练验证一组数值是否为方程组的解选择填空高频出题，易错点为漏代其中一个方程检验、解忘记加大括号代入消元、加减消元法解二元一次方程组能根据式子特征选用合适消元方法，规范完整求解二元一次方程组并自主验算计算必考，以计算题形式考查，易错是去括号、符号运算出错二元一次方程组实际应用题能梳理题干等量关系，合理设未知数列方程组求解，结合实际取舍不合理答案期末大题必考，常结合行程、工程、利润命题，易错漏写单位、忽略实际取值三元一次方程组基础解法能利用消元逐步把三元方程组转化为一元一次方程并正确求解多以中档小题或拓展题出现，侧重考查逐级消元思想，整体考查频次偏低知识点01二元一次方程1.定义同时满足三个条件：①一共2个未知数；②含未知数的项次数都是1；③等式两边都是整式。

·示例：2x+y=5是二元一次方程，xy=32.方程的解能使等式成立的一组x、y数值，单个二元一次方程有无数组解。知识点02二元一次方程组1.定义由两个一共含两个未知数、未知数项次数为1的整式方程组合而成。2.方程组的解同时满足方程组里全部方程的公共解，书写必须加大括号{x=y知识点03二元一次方程组解法（核心：消元，二元变一元）两种方法：代入消元法、加减消元法

解题步骤：①消去一个未知数，转化为一元一次方程；②求解一元一次方程，得到一个未知数；

③回代原式，算出剩余未知数；④规范写出方程组的解。

注意：解题两个方程至少各使用1次，算出结果可代回原题检验正误。知识点04二元一次方程组实际应用题解题六步法：①审题，设两个未知数并带单位；②寻找两组等量关系式；③依据等量关系列方程组；

④解方程组；⑤结合现实检验结果，舍去不符合实际的解；⑥带单位规范作答。

提示：设几个未知数，就列几个方程。知识点05三元一次方程组解法解题思路：三元→二元→一元，层层消元。

1.代入/加减消去一个未知数，得到二元一次方程组；

2.解二元方程组，求出两个未知数；

3.代回原式算出第三个未知数，大括号联立三组答案。题型一二元一次方程(组)的定义例1．下列方程：①；②；③；④，其中二元一次方程的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1-1．方程是二元一次方程，则的值不可能是（

）A． B．0 C．1 D．2变式1-2．下列方程属于二元一次方程的是（

）A． B． C． D．变式1-3．若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型二解二元一次方程组例2．解下列方程组：(1)；(2)变式2-1．关于，的二元一次方程组的解为_____．变式2-2．解方程组：(1)(2)变式2-3．解方程组(1)；(2)题型三解二元一次方程组（整体代入）例3．已知方程组的解是，那么方程组的解是（

）A． B． C． D．变式3-1．已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（

）A． B． C． D．变式3-2．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________．变式3-3．阅读与思考：下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务：整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法；解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为．这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．(1)善于思考的小军在解方程组时，选择将方程②进行变形，得到把①代入③求得这个方程组的解请思考上述小军同学的思路中，当成整体的是__________，从而求出这个方程组的解是__________．(2)请你利用“整体代入消元法”解方程组．题型四三元一次方程组例4．解方程组得_______．变式4-1．已知，要使解法较为简便，应该（

）A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数变式4-2．已知，则的值为_____．变式4-3．数学活动：探究不定方程：小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值．(1)小川的方法：整理可得：________；整理可得：_______；∴小渝的方法：：__________________；∴．(2)已知，试求解的值．题型五已知二元一次方程(组)的解求参数例5．已知是二元一次方程组的解，则的值是（

）A． B． C． D．变式5-1．已知是方程组的一组解，那么______．变式5-2．关于x，y的方程组的解满足，则k的值是________．变式5-3．小敏解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数，则和分别为（

）A．， B．，C．， D．，题型六同解方程组例6．若关于，的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，则的值为________．变式6-1．若方程组与有相同解，则的值为（

）A．2026 B． C．1 D．变式6-2．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值．变式6-3．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解．(1)求出a、b的值；(2)求的值．题型七错解复原问题例7．已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来．变式7-1．在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（

）A． B． C． D．变式7-2．数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得，根据上面的信息解答：(1)求出正确的的值；(2)求出原方程组的正确解．变式7-3．甲、乙两同学同时解方程，甲看错了，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程的解为，计算的值．题型八分配问题例8．某公司承包工程项目需要运送货物，现有大小两种货车，辆大车与辆小车一次可以运货吨，辆大车与辆小车一次可以运货吨．请问大小两种货车每次各能运货多少吨？变式8-1．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解）变式8-2．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人．(1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？(2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为（辆）．变式8-3．综合与实践：设计制作纸盒方案如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片．纸盒类型正方形（张数）长方形（张数）m个横式无盖纸盒①n个竖式无盖纸盒n②(1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示）(2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数；(3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？题型九古代问题例9．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住人，那么有人无房可住；如果每间客房住人，那么就空出1间房．问有多少间客房，多少位客人．设有间客房，位客人，则下列方程组中正确的是（

）A． B．C． D．变式9-1．“曹冲称象”是流传很广的故事，现仿照其称重方法进行操作：将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．准备若干重量相等的石块和两个体重相同的搬运工．第一次，往船上放置100块石块，船上留2个搬运工，水位恰好到达标记位置；第二次，向船上增加3块石块，船上留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为150斤，设每块石块的重为斤，大象重为斤，下列说法错误的是（

）A． B．C．该象重5150斤 D．每块石块重50斤变式9-2．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（

）A． B．C． D．变式9-3．《九章算术》中记载；今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：若三人坐一辆车，则有两辆空车；若两人坐一辆车，则九人需要步行，请问人与车的数量各是多少？题型十销售问题例10．为推进校园智慧教育建设，学校为人工智能兴趣小组采购学习耗材，A耗材为AI编程传感器组件，B耗材为智能机器人拼装零件．已知采购套A耗材和套B耗材共需元，采购套A耗材和套B耗材共需元．求A耗材和B耗材的单价各是多少元．变式10-1．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型号健身器材的单价比乙型号健身器材的单价的一半贵1100元．购买28台甲型号健身器材的费用是购买5台乙型号健身器材费用的5倍，求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元．变式10-2．某水果店购进一批柚子和橘子，用31元可以购进柚子和橘子，用12元可以购进柚子和橘子，求购进的这两种水果的单价．变式10-3．铁岭榛子以果实硕大、营养丰富而驰名省内外，银州区某榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子共130件，总费用为12000元，A包装的进价为80元/件，售价为120元/件，B包装的进价为100元/件，售价为150元/件．(1)该榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子各多少件？(2)该榛子商店将这130件榛子售完后获得的利润是多少元？题型十一行程问题例11．小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准．信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费．信息2：两家人乘车的路程和总费用路程（）总费用（起步价+里程费）小亮一家1526.8小文一家1323.6变式11-1．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为________．变式11-2．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（

）A． B． C． D．变式11-3．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）．(1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组．(2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米．(3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由．题型十二工程问题例12．某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数．变式12-1．某地准备修建一条长为米的道路，由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．如果两队同时施工，需要多少天能完成这条道路的修建？请列方程组求解．变式12-2．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？(1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________；(2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题．变式12-3．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务．(1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表：工厂原加工效率现加工效率甲周__________周乙周__________周一周总工作量(2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克．题型十三数字问题例13．如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则________．变式13-1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数．(1)求这个两位数．(2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？(3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由．变式13-2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中________．变式13-3．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值．题型十四图形问题例14．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．

变式14-1．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（

）A． B． C． D．变式14-2．将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的大长方形；或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽．若设小长方形的长为，宽为，则下列可列方程组________．变式14-3．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________．题型十五方案问题例15．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车．(1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答）(2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案．变式15-1．随着交通安全意识的增强，居民开始积极购买头盔保障骑行安全．某商店购进A种头盔2个和种头盔4个共需270元，购进A种头盔4个和种头盔1个共需330元．(1)求A，两种头盔的单价各是多少元；(2)若该商店计划正好用450元购进A，两种头盔（A，两种头盔均购买），求该商店有多少种购买方案？变式15-2．一句“云南咖啡还是代表着中国的”让云南咖啡的醇香飘向世界．昆明的一位咖啡店主决定从咖农手中采购甲、乙两种咖啡．如果购买1盒甲种咖啡和2盒乙种咖啡，共需花费210元；如果购买2盒甲种咖啡和1盒乙种咖啡，共需花费195元．(1)求甲、乙两种咖啡每盒的价格分别为多少元？(2)店主采购甲、乙两种咖啡（两种咖啡均购买），费用恰好为900元，请问该店主有几种采购方案？并写出所有的方案．变式15-3．某乡镇助农服务站计划将当地种植的草莓和蔬菜打包运往市区商超，现准备调配两种型号的冷链配送车．已知用2辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载一次可运货10箱；用1辆小型冷链车和2辆中型冷链车满载一次可运货11箱．(1)1辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载时分别可运货多少箱？(2)服务站打包好后共有35箱农产品，需要一次性运往市区，计划租用小型冷链车辆，中型冷链车辆（，均为正整数），每辆车都载满货物；①请你帮该服务站列出所有符合条件的租车方案；②若小型冷链车每辆每次的运输成本为85元，中型冷链车每辆每次的运输成本为110元，请写出最省钱的方案，并算出最少运输成本是多少元？(3)在（2）的基础上，农户又临时增加箱农产品（为正整数），服务站发现：如果把其中1辆小型冷链车换成一辆中型冷链车，恰好能一次性运完（每辆车均满载），直接写出农户又临时增加多少箱农产品．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．方程组的解为，则和的值分别是多少（

）A．1、2 B．5、1 C．1、5 D．2、42．把方程写成用含的代数式表示的形式为________．3．（2024·25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________．4．（2025·26七年级下·山东济宁·期末）解方程组：．5．（2025·26七年级下·河南新乡·期中）数学老师在黑板上出了一道习题，解方程组．以下是小华的解题步骤：解：②①，得，第一步解得：，第二步把代入①，得，第三步所以这个方程组的解为。第四步(1)小华解方程组的方法是______消元法；(2)以上解法，从第______步开始出错；(3)请你用正确的方法解这个方程组．6．（2024·25七年级上·西藏·期末）已知方程组的解也是关于的方程的一组解，求a的值．7．（2025·26七年级下·河南开封·期中）某港口码头使用，两种型号的机器人搬运货物，在内，3台型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物．(1)每台型机器人和每台型机器人的搬运量分别是多少？(2)若安排10台型机器人和12台型机器人，求这些机器人内的总搬运量是多少吨？8．（2025·26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元．(1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元．(2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？期末重难突破练（测试时间：10分钟）9．（2025·26七年级下·安徽芜湖·期末）二元一次方程的正整数解的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（2024·25八年级上·四川成都·期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个．其中A盒中有2个耳机，3个优盘，1个音箱；B盒中耳机与音箱的数量之和等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为；C盒中有1个耳机，3个优盘，2个音箱．经核算，A盒的价值为145元，B盒的价值为245元，则C盒的价值为_______元．11．（2025·26七年级下·福建龙岩·期中）2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元．(1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？(2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案．12．（2023·24七年级下·湖南衡阳·期中）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题