专题05 分式（期末复习专项训练）（解析版）

专题05分式题型01分式的判断题型21分式加减混合运算题型02分式的规律性问题（难点）题型22分式加减的实际应用题型03按要求构造分式题型23分式乘法（重点）题型04分式无意义的条件（重点）题型24分式除法（重点）题型05分式有意义的条件（重点）题型25分式乘除混合运算（常考点）（难点）题型06分式为零的条件题型26分式乘方（重点）题型07分式的求值题型27含乘方的分数乘除混合运算（难点）题型08求分式值为正负时未知数的取值题型28分式加减乘除混合运算（常考点）（难点）题型09求分式值为整数时未知数的整数值题型29分式化简求值（常考点）题型10判断分式变形是否正确题型30分式最值（难点）题型11求使分式变形成立的条件题型31分式方程的定义（重点）题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化题型32解分式方程（化为一元一次）（常考点）题型13将分式的分子分母各项系数化为整数题型33根据分式方程解的情况求值（常考点）题型14约分（重点）题型34分式方程无解问题（常考点）题型15最简分式题型35列分式方程（常考点）题型16最简公分母（重点）题型36分式方程的行程问题（常考点）题型17通分（重点）题型37分式方程的工程问题（常考点）题型18同分母分式加减法题型38分式方程的经济问题（常考点）题型19异分母分式加减法题型39分式方程的和差倍分问题（常考点）题型20整式与分式相加减题型40分式方程的其他实际问题（常考点）题型01分式的判断1．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）下列各式是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的定义逐一判断选项，分式的定义：若，是整式，，且中含有字母，则是分式．【详解】解：选项A．的分母是，不含字母，属于整式；选项B．的分母是，不含字母，属于整式；选项C．的分母是，含有字母，符合分式定义；选项D．是整式，不是分式．2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（

）A．①③ B．③④ C．①② D．①③④【答案】A【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母.【详解】解：∵①的分母是字母，符合分式定义；②的分母是常数，不符合分式定义；③的分母含字母，符合分式定义；④中是常数，分母不含字母，不符合分式定义；∴是分式的是①③.3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，属于分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】若，是整式，中含有字母且，则是分式，据此可得答案．【详解】解：在代数式中，属于分式有，共2个．题型02分式的规律性问题1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（

）A．升 B．升 C．0升 D．升【答案】A【分析】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．注意．根据题目中第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的…，第n次倒出的水量是升的…，可知按照这种倒水的方法，第n次倒出水后，还剩下水升水．【详解】解：∵．故按此按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有升水．故选：A．2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是____________．【答案】【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答．【详解】解：根据题意可得：第1个分式：，第2个分式：，第3个分式：，第4个分式：，第5个分式：，……第n个分式：，∴第10个分式为，故答案为：．3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……按照以上规律，解答下列问题：(1)写出第4个等式：______；(2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明；(3)运用规律计算：．【答案】(1)(2)；证明见解析(3)【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键．（1）观察题中的式子求解即可；（2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解；（3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可．【详解】（1）解：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：；（2）解：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……第n个等式：；左边，右边，∴左边右边；（3）解：．题型03按要求构造分式1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）写一个含有x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则这个分式为______．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查分式无意义的条件，分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件为分母等于零，分式的值为零，分子为零．根据分式无意义的条件和分式的值为零的条件进行解答即可．【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为．故答案为：（答案不唯一）．2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把的盐溶在的水中，那么在这种盐水中的含盐量为________．【答案】【分析】本题主要考查列代数式，先表示出盐在盐水所占的比例，从而可求解．【详解】解：在这种盐水中的含盐量为：，故答案为：．3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示______元／千克．【答案】【分析】本题主要考查了列分式，分别求出三种糖的价格，求和后除以三种糖的总质量即可得到答案．【详解】解：由题意得，这种“什锦糖”的单价为元／千克，故答案为：．题型04分式无意义的条件1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若分式无意义，则__________．【答案】2【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得，解得．2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当取_____值时，分式没有意义【答案】【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式无意义的条件是分母为零，据此解答即可．【详解】解：当分母时，分式没有意义，即，解得，故答案为：．3．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）分式（a，b是常数），当时，分式无意义，当时，分式的值为0，分式无意义，则______．【答案】/【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键．【详解】解：由题意知：当时，分式无意义，，，当时，分式的值为0，，解得：，，故答案为：．题型05分式有意义的条件1．（2026·江苏南通·一模）要使分式有意义，字母a，b需满足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出关系式即可求解．【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于，本题中分式的分母为，∴，移项得．2．（2026·江苏南京·一模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________．【答案】【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴解得：．3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）当x满足____条件时，分式有意义．【答案】【分析】分式有意义的条件为分母不等于零，据此列不等式求解即可．【详解】解：由分式有意义的条件得：，解得．题型06分式为零的条件1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果．【详解】解：∵分式的值为0，∴，且，∴．2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列分式的值可以为0的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0需满足分子为0且分母不为0，逐项分析各选项即可．【详解】解：分式值为0的条件为：分子等于0，且分母不等于0，选项，，的分子分别为，，，均恒不为，这三个选项的分式的值不可能为，对选项：令分子，解得，当时，分母，当时，该分式的值为，满足条件，故选：．3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（

）…−2−1012……*无意义*0*…A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可．【详解】根据表格信息可得两个条件：①当时，无意义，可知时，分式分母为；②当时，，可知时，分式分子为且分母不为；A：，时，分母，无意义，符合条件①；时，分子，分母，，符合条件②，故该选项符合题意；B：，时，分母，有意义，不符合条件①，不符合题意；C：，时，分母，有意义，不符合条件①，不符合题意；D：，时，分母，有意义，不符合条件①，不符合题意．题型07分式的求值1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，则b-3a5a=__________【答案】/【分析】将已知条件整体代入所求分式，约分后即可得到计算结果．【详解】解：∵，∴．2．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则_____．【答案】1【分析】利用完全平方公式展开分母，再将已知代入分式化简，即可得到结果．【详解】解：∵，∴．3．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若，则的值为_________．【答案】【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴．题型08求分式值为正负时未知数的取值1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若分式的值为正数，则x的取值范围是______．【答案】【分析】本题考查分式的值，分式的值为正数，由于分子恒为正，因此分母必须为正，解不等式即可．【详解】分式的分子为1，是正数，因此分式值为正数时，分母必须大于0，即．解得：．故答案为：．2．（24-25九年级下·江苏南通·月考）若分式的值为负，则的范围是______．【答案】且【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可．【详解】解：由题意得：，且，解得：且，故答案为：且．3．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如果分式的值为负数，那么x满足______．【答案】【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案．【详解】解：∵，分式的值为负数∴，解得：，故答案为：．题型09求分式值为整数时未知数的整数值1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____．【答案】或【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值．【详解】解：分式的值为整数，或，或，是非负整数，或．2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）当正整数________时，分式的值也为整数．【答案】1【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解．【详解】解：对分式变形：分式的值为整数，为正整数，为整数，即是2的正约数．2的正约数为1,2，当时，解得,符合正整数题意：当时，解得,不是正整数，舍去．故答案为：1．3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“幂系数”方程．例如：方程，其中，，满足，所以方程是“幂系数”方程；由两个“幂系数”方程组成的方程组称作“幂系数”方程组．根据上述规定，回答下列问题：(1)下列方程是“幂系数”方程的是_____（只填写序号）．①；②；③．(2)若关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组，求的值．(3)已知m，n，k为正整数，若关于x，y的方程组是“幂系数”方程组，求满足条件的k值．【答案】(1)①③(2)2或6(3)1或2【分析】（1）根据“幂系数”方程的定义解答即可；（2）根据“幂系数”方程的定义，可得，求出m，n的值，即可；（3）根据“幂系数”方程的定义，可得，可得到，再由m，n，k为正整数，即可求解．【详解】（1）解：①，其中，，，满足，所以方程是“幂系数”方程；②，其中，，，不满足，所以方程不是“幂系数”方程；③，其中，，，满足，所以方程是“幂系数”方程；（2）解：∵关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组，∴，解得：或，∴原方程组为或，由得：，由得：，∴，综上所述，的值为2或6；（3）解：∵关于x，y的方程组是“幂系数”方程组，∴，解得：，∵m，n，k为正整数，∴是12的正因数，∴取3或4或6或12，当时，，不符合题意；时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，，不符合题意；当时，，，不符合题意；∴满足条件的k的值为1或2．题型10判断分式变形是否正确1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列分式从左到右变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：A．，故变形错误，不符合题意；B．，故变形错误，不符合题意；C．，故变形正确，符合题意；D．，故变形错误，不符合题意．2．（25-26九年级下·江苏南通·月考）下列运算结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据同类项合并法则，积的乘方法则，同底数幂除法法则，分式的基本性质逐一判断选项即可．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；B、，故B正确，符合题意；C、，故C错误，不符合题意；D、分式的基本性质为分子分母同乘（除以）同一个不为的整式，分式的值不变，不是同时加同一个数，举例：当，时，，故D错误，不符合题意．3．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）下面三个式子：，其中正确的有_____个．【答案】1【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性．【详解】解：对于第一个等式，，故不正确；对于第二个等式，左边，等于右边，故正确；对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确．因此正确的有1个．故答案为：1．题型11求使分式变形成立的条件1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案.【详解】解：∵，而，∴，故选：D2．（24-25八年级下·江苏常州·月考）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填________；_________．【答案】【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．（1）根据分式的基本性质进行变形即可；（2）根据分式的基本性质进行变形即可．【详解】解：（1），故答案为：．（2），故答案为：．3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）已知实数，若，则的最大值为________．【答案】3【分析】本题考查了分式的性质，将原式变形为，结合，即可得出答案．【详解】解：，，，，故答案为：．题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（

）A．保持不变 B．扩大到原来的9倍C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的【答案】C【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果．【详解】解：将和分别替换原分式中的和，∵∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍．2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（

）A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍C．不变 D．缩小到原来的倍【答案】A【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案．【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为，∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍．3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（

）A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变【答案】D【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的x,y代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果.【详解】解：∵把和都扩大3倍后，得到新分式为，∴新分式与原分式相等，分式的值不变.题型13将分式的分子分母各项系数化为整数1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________．【答案】【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键．直接利用分式的基本性质将分子与分母分别乘以，进而得出答案．【详解】解：．故答案为：．2．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球___________个．【答案】【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为天，可得实际的时间为天，进一步可得答案.【详解】解：由题意可得，实际每天生产篮球为：，故答案为：．3．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为__________．【答案】【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子和分母同时乘以2并化简即可得到答案．【详解】解；，故答案为：．题型14约分1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可；（2）先分解因式，然后约分计算即可；【详解】（1）解：；（2）解：；2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，．(1)____________（用含t的式子表示）；(2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值．【答案】(1)(2)证明见解析，定值为【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案；（2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且；3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）约分、通分(1)；(2)和．【答案】(1)(2)通分后分别为和【详解】（1）解：（2）解：最简公分母为，通分后分别为和题型15最简分式1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式．【详解】解：∵选项A中，是整式，不是分式，选项B中，的分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式，选项C中，的分子和分母没有公因式，是最简分式．选项D中，，原分式的分子分母含有公因式，不是最简分式．2．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列分式中，属于最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可．【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式；B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式；C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式；D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式．3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查最简分式的概念，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题的关键．通过逐项检查各选项的分子和分母是否能约分即可判断．【详解】选项A：分子在实数范围内不能因式分解，与分母无公因式，因此是最简分式；选项B：，可约分，不是最简分式；选项C：分子，分母，有公因子2，可约分，不是最简分式；选项D：分子，分母，有公因式，可约分，不是最简分式；故选：A．题型16最简公分母1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________．【答案】【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可．【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为．2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______．【答案】【分析】根据最简公分母的定义，分别确定系数部分与各字母因式的最高次幂，计算得到结果即可．【详解】解：确定最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母.两个分式的分母分别为和，系数部分的最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为．3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分式与的最简公分母是__________．【答案】【分析】确定最简公分母的方法为，取各分母系数的最小公倍数，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，据此求解即可．【详解】解：分式与的分母分别是，，系数的最小公倍数是，的最高次幂是，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的因式，因此最简公分母是．题型17通分1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分：(1)，；(2)，．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；（2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答．【详解】（1）解：，；（2）解：，．2．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）通分(1)(2)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂．（1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可；（2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可．【详解】（1）解：∵最简公分母为，∴，；（2）解：∵最简公分母为，∴，．3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）（1）约分：；（2）通分：与．【答案】（1）；（2），【分析】本题主要考查约分和通分：（1）原式先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可；（2）找出分母的最简公分母求解即可；【详解】解：（1）；（2）

题型18同分母分式加减法1．（2026·江苏常州·一模）计算：______．【答案】1【分析】根据同分母分式加减法法则，先计算分子的整式减法，再约分即可得到结果．【详解】解：原式．2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是______．【答案】【详解】解：．3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形．例如：我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法．(1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值；(2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值；(3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）利用分离常数法，即可得到结论；（2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论；（3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论．【详解】（1）解∶，∴，；（2）解∶，∵分式的值为整数，且x为整数，∴，∴或；（3）解∶，∵，∴，∴，∴．题型19异分母分式加减法1．（2026·江苏南京·一模）已知，，当，时，、的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】用差值法比较大小，计算，先通分作差，再根据，判断结果正负，即可得解．【详解】解：，，，，，，，．2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若，（）(1)若，则_____（填“”“”或“”）(2)若，判断和的大小关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）用作差法求得，即可求解；（2）同（1）的方法即可求解．【详解】（1）解：当时，，∵∴∴，即；（2），理由如下∵∴又∵，∴，即．3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务．素材1定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”．素材2分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．素材3如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．问题解决：(1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出．(2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）．(3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________，________．【答案】(1)与互为“和定分式”，“和定值”(2)，(3)，【分析】（1）求出，看和是否为定值，即可判断；（2）求出，由与互为“和定分式”且分式为真分式，得到是的倍，可得，，即可求解；（3）求出，根据题意可得分子是分母的倍，即，推出，即可求解．【详解】（1）解：，，，与互为“和定分式”，“和定值”；（2）解：，，，与互为“和定分式”，且分式为真分式，是的倍数，又中，的系数为，中的系数为，，，；（3）解：，，，与互为“和定分式”，分子中，的系数为，中的系数为，分子是分母的倍，即，即，，解得，．题型20整式与分式相加减1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______．【答案】【分析】本题主要考查了分式的值、分式的加减法、新定义等知识点，掌握新定义成为解题的关键．由题意可得，为正整数，然后分、、三种情况分别代入计算即可解答．【详解】解：∵函数图像上“正整点”，∴，为正整数，当时，无意义，不符合题意；当时，，即“正整点”的坐标为．当时，为小于1的正分数，不可能为整数，不符合题意．综上，函数图像上“正整点”的坐标为．故答案为：．2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：．【解决问题】(1)将假分式化为带分式；(2)若的值为整数，求整数的值；【拓展延伸】(3)若，且、为正整数，求的值．【答案】(1)(2)或1(3)7【分析】（1）仿照例题计算即可求解；（2）先化为带分式，根据分式的值为整数，得出为整式，进而求得的值；（3）法1：用含的式子表示出；法2：用含的式子表示出；进而同（2）的方法求解即可．【详解】（1）解：（2）解：．∴是整数，即或，∴或1；（3）解：法1：，∵、为正整数，∴是正整数，∴，解得：，则；或，解得：（舍去），∴；法2：，∵、为正整数，∴须为大于1的奇数，又∵为正整数，∴是的正约数，∴，解得：，则，或，解得：，则（舍去），∴．3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合与实践素材1为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：x…01234……无意义1…从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．素材2对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．问题解决任务1①当时，随着的增大，的值______（增大或减小）；②当时，随着的增大，的值______（增大或减小）；任务2①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请写出这个数；②当为整数时，请求出整数x的值；任务3若分式的值为，求的取值范围．【答案】任务1：①减小；②减小；任务2：①2；②；任务3：【分析】任务1：由、随x的变化情况，判断、的变化情况即可；任务2：①由，即可求解；②由推出为整数，，即可求解；任务3：可求出，根据题意求出的取值范围即可得到答案．【详解】解：任务1：∵当时，随着的增大而减小，∴随着的增大，的值减小；∵当时，随着的增大而减小，且∴随着的增大，的值减小；任务2：①，∵当时，随着的增大，（把看成一个整体）的值随之减小，并无限接近0，∴当时，随着的增大，的值无限接近；②∵为整数，x的值为整数，∴为整数，∴或或，解得或或或或或∴x的值可为；任务3：，∵，∴，∵（把看成一个整体）随着的增大而减小，并无限接近0，∴，∴，即．题型21分式加减混合运算1．（24-25八年级上·江苏南通·月考）阅读下面材料：李明这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，李明发现像等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．他还发现像等交换对称式都可以用，表示．例如：，于是李明把和称为基本交换对称式．请根据以上材料解决下列问题：(1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是______（填序号）；(2)已知．①______（用含a，b的代数式表示）；②若，则交换对称式______；③若，求交换对称式的最小值．【答案】(1)①④；(2)①；②；③【分析】此题考查了代数式求值，多项式乘多项式，弄清题中交换对称式的定义是解本题的关键．（1）根据交换对称式定义判断即可；（2）①已知等式左边化简后，利用多项式相等的条件表示出即可；②表示与的值代入已知等式，化简后求出与的值，原式变形后代入计算即可求出值；③根据题意得出a、b与p、q关系，进而进行求解即可．【详解】（1）解：①，②，③，④，交换对称式的是①④，故答案为：①④；（2）解：已知等式整理得：，所以，；①（用含，的代数式表示）；故答案为：；②因为，，所以原式，故答案为：；③若，则，，，故最小值为．2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．(1)下列式子中，属于真分式的是_（填序号）；；；；(2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；(3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数_．【答案】(1)；(2)；(3)或或或．【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．（）根据真分式的定义即可求解；（）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；（）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值．【详解】（1）解：根据真分式的定义可知：是真分式；是整式；真分式；是假分式；故选：；（2）解：；（3）解：，∵的值为整数，为整数，∴或，解得：或或或，故答案为：或或或．3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知实数，，满足．(1)当，时，求的值；(2)当时，求的值；(3)若的最大值与最小值的差为6，求的值．【答案】(1)13(2)(3)【分析】本题考查了实数的性质、完全平方公式的应用、分式的加减、不等式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）代入，得到，再利用完全平方公式计算即可；（2）代入，得到，则有，再利用求出的值，再根据平方根的定义即可求解；（3）将变形为和，利用完全平方的非负性分别求出的最大值和最小值，结合的最大值与最小值的差为6，解方程求出的值即可解答．【详解】（1）解：当，时，，，．（2）解：当时，，，，，，的值为．（3）解：，，，，，的最大值为，最小值为，又的最大值与最小值的差为6，，解得：，的值为．题型22分式加减的实际应用1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______．【答案】【详解】解：2．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同．(1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？(2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？【答案】(1)总体看刘奶奶更划算(2)总体看刘奶奶更划算【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小．对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低．【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg，张奶奶两次购买大米的均价为元/kg，，总体看刘奶奶更划算．（2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg，张奶奶两次购买大米的均价为元/kg，，又购买大米的价格都在波动，即，，，，总体看刘奶奶更划算．3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务，分式与糖水浓度在生活中，有这样司空见惯的现象：现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为．①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______；②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______．现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变．在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同．(1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容；(2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则）(3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理；(4)任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则．【答案】(1)①，；②，．(2)见解析(3)；说明见解析(4)见解析【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；（2）利用作差法即可证明；（3）根据题意写出新的分式，再由，得，，代入混合后的浓度化简即可；（4）由现象1得，，，利用不等式的性质进行证明即可．【详解】（1）解：①由题意得，加入克水，则糖水为克，∴糖水的浓度为，∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，∴．②由题意得，加入克糖，则糖为克，糖水为克，∴糖水的浓度变为，∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大，∴．故答案为：①，；②，．（2）证明：∵，∵，，则，，∴，即，∴．（3）解：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为克，糖水为克，∴浓度可以表示为；故答案为：；说明：∵，∴，，∴，即混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同．（4）证明：由三角形三边关系得，，，由现象1的①，假设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，加入克水，同①可得不等式，加入克糖，同②可得不等式，则，同理可得，，则得，即．题型23分式乘法1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：；（2）解：．2．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：原式（2）解：原式3．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据分式的乘法运算法则进行运算，结果化为最简分式；（2）先计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式．【详解】（1）解：；（2）解：．题型24分式除法1．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）____．【答案】【分析】先分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可．【详解】解：原式．2．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________【答案】【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果．【详解】解：．3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：（2）解：题型25分式乘除混合运算1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式与计算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了因式分解，分式的乘除混合运算，同分母分式减法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先提公因式，再运用公式法进行因式分解，即可作答．（2）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．（3）先运算乘方，把除法化为乘法，再化简，即可作答．（4）结合同分母分式减法法则计算，即可作答．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：（4）解：．2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案．（2）先因式分解，再约分化简即可求出答案．【详解】（1）解：原式（2）解：原式．3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查分式的化简运算，因式分解，幂的运算，掌握因式分解法是解题关键．（1）先对分式的分子进行因式分解并约分得到，再与合并同类项即可得出结果；（2）先将分母因式分解，把两个分式通分后，分子相减，再约分即可得出结果；（3）先将负整数指数幂转化为分式形式，再依次进行乘方、乘除运算即可得出结果；（4）先将多项式因式分解，然后将除法转化为乘法后约分，再统一分母合并分式，化简即可得出结果​．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：原式．题型26分式乘方1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，则的值是__________．【答案】【分析】本题考查了完全平方公式，实数的运算，以及分式的混合运算．利用完全平方公式将化为，进而计算即可．【详解】解：∵，∴，即，解得：．故答案为：．2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查分式的运算，平方差公式，掌握乘法公式，分式的性质，分式的加减混合运算是解题的关键．（1）先乘方，再根据分式乘法计算即可；（2）根据分式的加减运算法则及平方差公式即可求解．【详解】（1）原式；（2）原式．3．（24-25九年级下·江苏常州·期中）计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键；（1）先计算分式的乘方，再计算乘法即可；（2）先把除法转化为乘法，同时分解因式，然后计算乘法即可；（3）根据异分母分式的运算法则计算即可；（4）先计算分式的除法，再计算分式的减法即可.【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：.题型27含乘方的分数乘除混合运算1．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）化简：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案；（2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：．2．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解；（2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解；（3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解．【详解】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式．3．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键．四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．题型28分式加减乘除混合运算1．（2026·江苏苏州·一模）化简，再求值：．其中．【答案】，2【详解】解：；把代入，得，．2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：；（2）解：．3．（2026·江苏徐州·二模）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求解即可；（2）根据分式的除法混合运算计算即可；【详解】（1）解：原式=2026+1-2+3；（2）原式=．题型29分式化简求值1．（2026·江苏连云港·三模）先化简，再求值：，其中．【答案】，【详解】解：原式===把代入，得原式=．2．（2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中．【答案】化简结果为，值为【详解】解：，，，，，，当时，原式．3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．题型30分式最值1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）请仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：．(1)将分式化为带分式；(2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？(3)当______时，分式的最大值是______．【答案】(1)(2)(3)当时，分式的最大值是5【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识．（1）根据材料提供方法变形即可求解；（2）由（1）得，根据分式的值是整数，得到为整数，即可得到当x取整数时，是3的整数因数，得到或，即可求出；（3）变形为，即可得到当取最小值时，分式有最大值．根据，得到，求出当时，，问题得解．【详解】（1）解：；（2）解：∵由（1）得，∵分式的值是整数，∴为整数，∴当x取整数时，是3的整数因数，∴或，∴；（3）解：，∴当取最小值时，分式有最大值．∵，∴，∴当即时，，故当时，分式的最大值是5．2．（24-25八年级上·江苏南通·月考）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为，可设则对应任意，上述等式均成立，，，．这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和．解答：(1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；(2)如果的值为整数，求的整数值；(3)当时，试求的最小值．【答案】(1)分式被拆分成了一个整式与一个分式的和(2)(3)8【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键．（1）参照例题材料，设−，然后求出a、b的值，从而即可得出答案；（2）由，结合它为整数得到为整数，因此，，求解即可；（3）由得到，进而，，即可解答．【详解】（1）解：由分母为，可设则对应任意，上述等式均成立，，，．，这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和．（2）解：，∵的值为整数，∴为整数，∵x为整数，∴，，∴（3）解：由（1）得，当时，，∴，，∴，即，∴的最小值为8．3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”．(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：_（填序号）；①②③④(2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝．(3)和谐分式的最大值为．(4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值．【答案】(1)①③(2)；(3)3(4)2或8【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义．（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解；（2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解；（3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值．（4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数．【详解】（1）解：①，是“和谐分式”．②，不是“和谐分式”（分子不是常数）．③，是“和谐分式”．④，不是“和谐分式”（分子不是常数）．故答案为①③．（2）解：．．（3）解：．因为，则，，所以，最大值为．（4）解：．因为值为整数，所以是的因数，或（正整数），解得或．题型31分式方程的定义1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）下列方程不是分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查分式方程的定义，掌握分式方程的定义是关键；分式方程是指含有分式的方程，一般指分母中含有未知数的方程．选项B的分母均为常数，因此不是分式方程．【详解】∵分式方程需满足分母中含有未知数，A、分母为x，含未知数，是分式方程；B、分母为3、4、5，均为常数，不含未知数，不是分式方程；C、分母为，含未知数，是分式方程；D、分母为x和，含未知数，是分式方程．∴不是分式方程的是B．故选B2．（23-24八年级下·江苏南京·月考）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键．【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程；故选：A．3．（2024八年级下·江苏·专题练习）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：(1)若在方程中，设，则原方程可化为：；(2)若在方程中，设，则原方程可化为：；(3)模仿上述换元法解方程：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．（1）和（2）将所设的代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可．【详解】（1）解：将代入原方程，则原方程化为；故答案为：；（2）将代入方程，则原方程可化为；故答案为：；（3）原方程化为：，设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解．当时，，该方程无解；当时，，解得：；经检验：是原分式方程的解，原分式方程的解为．题型32解分式方程（化为一元一次）1．（2026·江苏宿迁·一模）解分式方程，则___．【答案】【分析】先将分式方程化为整式方程，解得，再验根，即可得到结果．【详解】解：∵，∴方程两边同时乘以最简公分母，得，解得，检验：当时，，因此是原分式方程的解．2．（2026·江苏宿迁·一模）关于的分式方程解为正数，则的取值范围为_____．【答案】，且【分析】先解分式方程，由分式方程解为正数得到分母不为零且，解不等式即可得到答案．【详解】解：，去分母得，解得，关于的分式方程解为正数，，且，解得，且．3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】（1）（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．【详解】（1）解：，，，，；检验，当时，，所以是原分式方程的解．（2）解：，，，，，；检验，当时，，所以是增根，原分式方程无解．题型33根据分式方程解的情况求值1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______．【答案】【分析】根据不等式组有解，求出的范围，再根据分式方程的解为非负整数，求出所有满足条件的负整数a，求和即可．【详解】解：解，得，∵关于x的不等式组有解，∴，∴，∴，∵，解得，∵关于y的分式方程的解为非负整数，∴且，能被2整除，∴且，∴且，又∵能被2整除，∴满足条件的负整数，∴．2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____．【答案】且【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程，求出用表示的解；再根据解为正数和分母不为零（分式方程有意义）两个条件，列不等式求解的取值范围．【详解】解：，，，，，，方程的解是正数，,解得,分式方程分母不为，即解得，∴实数的取值范围是且．3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的方程有增根，则a的值是______．【答案】4【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值．【详解】解：将方程两边同乘以得：，∵分式方程有增根．∴最简公分母，解得，将代入得：．题型34分式方程无解问题1．（2026八年级上·江苏泰州·专题练习）关于x的方程无解，则m的值是______．【答案】1或0【分析】本题考查分式方程无解的条件是去分母后所得的整式方程无解或整式方程的解使原方程的分母为零.【详解】解：原方程为，两边同乘（需），得整式方程；当时，整式方程为，不成立，整式方程无解，原方程无解；当时，解整式方程得，若，即，解得，此时使分母，原方程无解；综上，当或时，原方程无解；故答案为：1或0.2．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）若分式方程无解，则k的值是_______．【答案】1或2【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键．先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值．【详解】解：原方程两边同乘（需），得，化简得，即，当即时，方程变为，无解；当时，解为，若此解为增根，则，解得，故或时方程无解，故答案为：1或2．3．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的方程．(1)当取何值时，此方程会产生增根；(2)当此方程的解是正数时，求的取值范围．【答案】(1)(2)且【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键．（1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可；（2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围．【详解】（1）解：该方程的增根为，对方程去分母，得，将代入上式，即，解得．（2）解：对方程去分母，得，解得，若方程的根为正数，则，解得，结合（1）中当时，方程为增根，故的取值范围为且．题型35列分式方程1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它使得建筑物连接牢固且难以松动．已知在一组榫卯中，一个榫需要的木材是一个卯需要的木材的倍．若用木材制作榫的数量比用木材制作卯的数量少个．设制作个卯需要木材，符合题意的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：设制作个卯需要木材，则制作一个榫需要木材，根据题意可得，故选：A．2．（2026·江苏南通·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，再结合总日产量表示出乙的日产量，根据时间公式列方程即可.【详解】解：∵设甲机器人每天做个零件，两种机器人每天共做140个零件，∴乙机器人每天做个零件，∵时间总零件数每天做的零件数，且题目给出甲做360个零件与乙做480个零件所用时间相同，∴甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为，根据等量关系可得.3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2．6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___．【答案】【分析】抓住追上时甲乙运动时间相等的等量关系，结合路程速度时间的关系列出方程求解即可．【详解】解：设甲接下来的平均速度为米/秒．由题意可知，甲想再跑300米刚好追上乙，此时甲落后乙40米，因此乙跑的路程为米，甲乙运动时间相等．根据公式，可得乙运动时间为，甲运动时间为．由时间相等可得方程：．题型36分式方程的行程问题1．（2026·江苏南通·一模）2025年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1．2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用公式“时间=路程÷速度”分别表示甲、乙的全程用时，统一时间单位后，根据甲比乙提前到达的时间关系列出方程即可【详解】解：∵设乙选手的平均速度为，∴甲选手的平均速度为.∵总路程为，时间，∴乙跑完全程的时间为，甲跑完全程的时间为.∵甲比乙提前分钟到达，统一单位得分钟，且乙的用时大于甲的用时，∴可列方程2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（

）A．提速后比提速前多行驶 B．提速后比提速前少行驶C．提速后比提速前多行驶 D．提速后比提速前少行驶【答案】A【分析】本题考查分式方程的实际应用，设提速前平均速度为，则提速后速度为，根据时间等于路程除以速度，结合方程两边的式子可得答案．【详解】解：设提速前平均速度为，则提速后速度为，方程左边表示提速前行驶所用的时间，方程右边表示提速后行驶所用的时间，∵方程表示两者时间相同∴说明相同时间内，提速后比提速前多行驶∴补充条件为选项A，故选：A．3．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）中国国家铁路集团有限公司宣布，2024年12月27日，盐城至宜兴高铁（以下简称盐宜高铁）开工建设，这将大大加快盐城城市群建设与发展．铁路建成后，盐城与泰州铁路运行里程由现在的缩短至，预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的．(1)设该铁路建成前在盐城与泰州两地运行的现行时间是x小时，则该城际铁路建成后在盐城与泰州两地的运行时间是_____小时（用含x的式子表示）：(2)根据（1）中的设未知数x，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间．【答案】(1)(2)小时【分析】本题考查了用含未知数的式子表示数量关系，行程问题中的数量关系及分式方程的求解．（1）根据现行时间与建成后时间的关系，直接用含x的式子表示建成后的运行时间；（2）先根据“建成后的速度−现行速度”列出方程，求解x后，再计算建成后的运行时间．【详解】（1）解：∵该铁路建成后，运行时间是现行时间的，且该铁路建成前在盐城和泰州两地运行的现行时间是x小时，∴该铁路建成后在盐城和泰州两地的运行时间是小时．（2）解：根据题意得：，解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴（小时），答：该铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间为小时．题型37分式方程的工程问题1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同．(1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？(2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天(2)能在12天内完成任务【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可；（2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可．【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得：，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴乙生产线单独完成需要40天，∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，∴丙生产线单独完成需要45天；答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天；（2）解：；故这样安排能在12天内完成任务．2．（2023·江苏徐州·模拟预测）为缓解城市交通压力，某市启动地铁工程．在一号线地铁工程开工期间，某工程队负责修建一条长的隧道．工程队计划采用新的施工方式，工效可以提升，预计提前40天完成任务．这个工程队原计划每天修建隧道多少米？【答案】10米【分析】设这个工程队原计划每天修建隧道米，依题意列出分式方程，求出x的值，再检验是否符合题意即可．【详解】解：设这个工程队原计划每天修建隧道米，由题意得解得：经检验是原方程的解且符合实际意义．答：这个工程队原计划每天修建隧道10米．3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这些货物只多用小时．求一台机器人每小时可分拣多少件货物．【答案】4000【分析】设一名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，根据题意建立分式方程，解方程并进行检验即可．【详解】解：设一名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，由题意得：，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，答：一台机器人每小时可分拣4000件货物．题型38分式方程的经济问题1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）阅读下列素材，完成任务．问题背景2026年3月，成立仅两年的张雪机车在葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年·致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设．素材一已知一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元．素材二学校用2500元购进款机车模型的数量是用1500元购进款机车模型数量的2倍．任务1甲同学：设①__________的单价为元，由题意得方程：；乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：②__________．任务2求A、B两款机车模型的单价．(1)任务1中横线①处应填__________，横线②处应填__________；(2)请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价．【答案】(1)①款机车模型；②(2)款机车模型的单价为元，B款机车模型的单价为元【分析】（1）①根据“一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元”，结合方程即可得到①为款机车模型的单价为元；②设购买款机车模型辆，根据“一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元”建立方程即可；（2）根据所列方程，解分式方程，并且检验即可．【详解】（1）解：甲同学：设款机车模型的单价为元，由题意得方程：；乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：．（2）解：甲同学：设款机车模型的单价为元，由题意得方程：解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，则B款机车模型的单价为（元）；乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，则B款机车模型的单价为（元），款机车模型的单价为（元）答：款机车模型的单价为元，B款机车模型的单价为元．2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题：(1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）；(2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？【答案】(1)(2)每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元【分析】（1）根据“甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元”，即可求解；（2）根据“万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同”列方程即可求解．【详解】（1）解：每台乙型机器人的进价为万元，每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，每台甲型机器人的进价为万元；（2）根据题意得，解得，经检验，是原方程的解，，答：每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元．3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本．(1)求第一次购书的进价是多少元一本？(2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值．【答案】(1)第一次购书的进价是元一本(2)当时，；当时，；当时，【分析】（1）设第一次购书的单价为元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出的值即可得出答案；（2）根据（1）先求出第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）等于二次赚的钱数列出方程探讨得出答案．【详解】（1）解：设第一次购书的单价为元一本，根据题意得：．解得：．经检验，是原方程的解，答：第一次购书的进价是5元一本；（2）解：第二次购书进价为（元），数量为（本），根据题意，得整理得，、为正整数，且，当，；当时，；当时，．题型39分式方程的和差倍分问题1．（2026·江苏徐州·二模）某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下：方式一：一次公