题型清单02 四边形12大题型（原卷版）

专题02四边形平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形。​性质：1）对边平行且相等；2)对角相等、邻角互补；3)对角线互相平分；4)是中心对称图形。判定（5种）：1）两组对边分别平行；2)两组对边分别相等；3)一组对边平行且相等；4)两组对角分别相等；5)对角线互相平分。​计算：周长=2（邻边和）；面积=底×高（高为底边上的垂线段）。​辅助性质：平行线间的距离处处相等。​特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）​（1）矩形​定义：有一个角是直角的平行四边形。​性质（平行四边形性质+特有）：1）四角均为90∘；2)对角线相等且互相平分；3)既是中心对称图形，也是轴对称图形。判定：1）平行四边形+一个直角；2)平行四边形+对角线相等；3)三个角是直角的四边形。关联性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。计算：周长=2（长+宽）；面积=长×宽。​（2）菱形​定义：有一组邻边相等的平行四边形。​性质（平行四边形性质+特有）：1）四边相等；2)对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；3)既是中心对称图形，也是轴对称图形。​判定：1）平行四边形+邻边相等；2)平行四边形+对角线垂直；3)四边相等的四边形。​计算：周长=4×边长；面积=底×高或1/2×对角线乘积。​（3）正方形​定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（兼具矩形与菱形性质）。​性质（矩形+菱形全部性质）：1）四边相等、四角90∘；2)对角线相等且互相垂直平分，平分一组对角；3)既是中心对称图形，也是轴对称图形。​判定（3类思路）：1）平行四边形+邻边相等+一个直角；2)矩形+邻边相等；3)菱形+一个直角。​计算：周长=4×边长；面积=边长²或1/2×对角线乘积。​三角形中位线​定义：连接三角形两边中点的线段（一个三角形共3条中位线）。​中位线定理：平行于第三边，且长度等于第三边的一半。​应用：求线段长度、证明直线平行、构造平行四边形。​梯形​定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。​分类：1）等腰梯形：两腰相等的梯形；2)直角梯形：有一个角是直角的梯形。​等腰梯形性质：1）两腰相等；2)同一底上的两个角相等；3)对角线相等；4)是轴对称图形。​等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形；2)同一底上两个角相等的梯形；3)对角线相等的梯形。​梯形常用辅助线：平移一腰、作高、延长两腰、平移对角线（转化为三角形或平行四边形求解）。​中点四边形​定义：顺次连接四边形各边中点得到的四边形。​形状判定（由原四边形对角线决定）：​1）原四边形对角线无特殊关系→平行四边形；2)对角线相等→菱形；3)对角线垂直→矩形；4)对角线相等且垂直→正方形。​利用平行四边形的性质求解【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在中，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，平行四边形的对角线交于点O，若，，，则的周长为（

）A．26 B．35 C．40 D．52【变式1-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，过点O作，分别交于点E、F，则的长度为___．利用平行四边形的性质证明【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平行四边形中，是边上的中点，连接并延长交的延长线于点，证明：．【变式2-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证：．【变式2-2】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：．【变式2-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，．求证：．判断能否构成平行四边形【例3】（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．C． D．【变式3-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（

）

A．， B．，C．， D．，【变式3-2】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（

）A． B．，C．， D．，【变式3-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（

）A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤平行四边形的判定【例4】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形．【变式4-1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，．(1)求证：；(2)连接、，求证：四边形是平行四边形．【变式4-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别在上，已知，．(1)求证：；(2)若，求证：四边形是平行四边形．利用矩形的性质求解【例5】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式5-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则矩形的面积为______．

【变式5-2】（25-26八年级下·江苏·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（）A．4 B．8 C．16 D．32【变式5-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（

）A． B． C． D．利用菱形的性质求解【例6】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（

）A．3 B．5 C．6 D．12【变式6-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（

）A．3 B．4 C．4.8 D．9.6【变式6-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为___________．【变式6-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．利用正方形的性质求解【例7】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______．【变式7-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______．【变式7-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______．【变式7-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（

）A．1 B．2 C．4 D．8四边形中的线段最值问题【例8】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______．【变式8-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为____________．【变式8-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（）A． B． C．10 D．12【变式8-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____．中点四边形【例9】（25-26八年级下·江苏常州·期中）顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【变式9-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______．【变式9-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（

）A． B． C． D．直角梯形【例10】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（

）A．3，4，5，12 B．4，4，4，8C．4，4，5，7 D．4，5，5，10【变式10-1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________．【变式10-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________．【变式10-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有_____．（填序号）①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形．等腰梯形【例11】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________．【变式11-1】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______．【变式11-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：．【变式11-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知在四边形中，，，，，．(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)求的长．1.概念与定理类​❌混淆“性质”与“判定”：用性质代替判定（如已知矩形，却用“对角线相等”反过来证矩形）。❌判定特殊四边形逻辑不完整：如证矩形时，只证“对角线相等”，未先证是平行四边形；证正方形时，跳过矩形/菱形直接判定。​❌误用平行四边形判定定理：将“一组对边平行，另一组对边相等”当作平行四边形判定。❌三角形中位线记忆错误：只记“平行”，漏记“长度是第三边的一半”；或混淆“中位线”与“中线”。​❌中点四边形判断出错：误以为由原四边形形状决定，忽略“对角线”的关键作用。❌梯形概念混淆：误将“有一组对边平行”的四边形当作梯形（忽略“另一组对边不平行”的条件）。​2.性质应用类​❌混用特殊四边形专属性质：如把菱形的“对角线垂直”用到矩形上，把矩形的“对角线相等”用到菱形上。❌菱形面积计算单一：只记得“底×高”，忘记“对角线乘积的一半”（尤其对角线垂直时优先用后者）。​❌忽略正方形的双重属性：解题时只用到矩形性质，遗漏菱形性质（或反之），导致条件不足。​❌等腰梯形性质误用：将“同一底上的角相等”错记为“所有角相等”，或忽略“对角线相等”的特有性质。​3.计算与证明类​❌折叠问题漏用隐含条件：折叠前后对应边、对应角相等，对角线被折叠线垂直平分等条件未挖掘。​❌证明题条件缺失：如证明平行四边形时，只写“AB∥CD，AD=BC”，未注明“AB=CD，AD∥BC”或“一组对边平行且相等”，逻辑不严谨。​❌动点问题忽略取值范围：未根据四边形边长、顶点位置限定动点移动的区间，导致答案多解或错解。​❌对角线相关计算失误：菱形、正方形中，对角线垂直平分，计算边长时未用勾股定理。​❌梯形辅助线添加错误：不会通过辅助线转化图形，导致无法利用平行四边形或三角形性质求解。​4.图形识别类​❌误将“菱形”当作“正方形”（忽略“有一个直角”的条件），或误将“矩形”当作“正方形”（忽略“邻边相等”的条件）。​❌混淆“中心对称图形”与“轴对称图形”。​❌等腰梯形与直角梯形识别错误：忽略等腰梯形“两腰相等”、直角梯形“有一个直角”的核心特征。平行四边形的判定与性质综合【例12】（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在梯形中，，则_____．【变式12-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形中，，，若，，则此梯形的周长为______．【变式12-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（

）A．线段的长 B．的度数C．四边形的周长 D．四边形的面积【变式12-3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（

）A． B． C． D．矩形的判定与性质综合【例13】（2026·江苏南京·一模）如图，在中，点、分别在、上，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若平分，，，则的长为_____．【变式13-1】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至点，使，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，则______．【变式13-2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，．(1)求证：平行四边形是矩形．(2)若，且，求的长．【变式13-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．矩形折叠问题【例14】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，分别在上，沿将矩形折叠，如果点恰好与点重合，那么的长为__________．【变式14-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．(1)求证：；(2)若，，求的长．【变式14-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，有一张矩形纸片，，．过点B折叠该纸片，折痕为，使点A落在上的H处，求的长．【变式14-3】（25-26八年级下·江苏南通·期中）在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（

）A． B．4 C．5 D．菱形的判定与性质综合【例15】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____．【变式15-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E．(1)求证∶四边形是菱形；(2)若，，求的长．【变式15-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点平分，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的长．【变式15-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求菱形的面积．正方形的判定与性质综合【例16】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示）【变式16-1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点D，，(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，且，求四边形的面积．【变式16-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________①；②；③；④为定值．正方形折叠问题【例17】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长．【变式17-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．(1)求证：；(2)若，，则的长是______．【变式17-2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为__________．（特殊）平行四边形的动点问题【例18】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形【变式18-1】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号）【变式18-2】（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒．(1)当四边形是平行四边形时，求的值；(2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由；(3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____．【变式18-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点．(1)如图①，①直接写出点的坐标；②求直线的解析式；(2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？1.判定类技巧1.证平行四边形：优先用一组对边平行且相等，简便快捷2.证矩形：先证平行四边形+一个直角/平行四边形+对角线相等3.证菱形：先证平行四边形+邻边相等/平行四边形+对角线垂直4.证正方形：矩形+邻边相等或菱形+一个直角2.计算类技巧1.出现对角线互相垂直四边形，统一用对角线乘积÷2算面积2.矩形、正方形计算题优先构造直角三角形用勾股定理3.遇多个中点连线，直接联想三角形中位线定理3.几何模型技巧1.中点四边形：原四边形对角线相等→中点四边形菱形；垂直→矩形；相等且垂直→正方形2.四边形折叠：抓全等、对应边等、对应角等3.平行四边形中平行线模型：找内错角相等证边角关系4.解题通用方法1.遇线段相等：证全等、利用特殊四边形性质、中位线2.证直线平行：中位线、平行四边形对边平行3.角度计算：利用内角和、互余、互补、特殊四边形内角特征4.大题解题思路：先定图形类型→套性质→找等量关系→书写严谨证明5.答题套路1.证明题：先写已知条件，再一步步推导，最后下结论2.求值题：先标图上已知边长、角度，再选用公式计算3.分类讨论题：四边形形状不确定时分情况分析矩形、菱形与正方形性质理解【例19】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对边相等C．对角相等 D．对角线互相平分【变式19-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列性质中矩形有而菱形没有的是（

）A．对角相等 B．对角线互相垂直C．对边平行且相等 D．对角线相等【变式19-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线相等【变式19-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．对角相等 B．对角线相等C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直特殊平行四边形的判定定理理解【例20】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）下列说法正确的是（

）．A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形【变式20-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列命题中正