复习讲义02 整式乘法（原卷版）

专题02整式乘法（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01单项式乘法题型02利用单项式乘法求字母或代数式的值题型03单项式乘法的应用题型04多项式乘法题型05（x+p）（x+q）型多项式乘法题型06多项式乘法中的化简求值题型07已知多项式乘积不含某项求字母的值题型08多项式乘多项式与图形面积题型09多项式乘法中的规律性问题题型10整式乘法混合运算题型11乘法公式题型12乘法公式与几何图形题型13通过对完全平方公式变形求值题型14求完全平方式中的字母系数题型15乘法公式中配方法求最值问题题型16乘法公式中的新定义问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律单项式的乘法掌握单项式乘法法则，熟练运算，理清系数、字母及指数的计算要点。基础常考点，常出现在小题，也会和其他计算题一起考查单项式乘法的应用运用单项式乘法解决实际问题，列式计算，提升数学应用与运算能力。基础常考点，注意应用的实际情况多项式的乘法掌握多项式乘法法则，熟练展开计算，规范步骤，能准确化简整式并综合运算。重要考点，多项式乘法是必须掌握的计算法则，一般在计算题考查整式乘法化简求值掌握整式乘法化简步骤，规范代入求值，提升运算准确率与解题能力。必考点之一，主要是先化简，再求值，解答题必有一道，一般5分左右多项式乘法与图形面积能利用多项式乘法推导并计算图形面积，建立几何直观与代数运算的联系，正确列式、化简并解决实际问题。重要考点，注意多项式乘法与图形面积的表示整式乘法混合运算熟练运用各类整式乘法法则，遵循运算顺序完成混合计算，规范步骤，提升综合运算与化简能力。必考点之一，要注意混合运算的顺序乘法公式掌握平方差、完全平方公式，熟记结构特征，灵活运用公式计算、化简与求值。高频考点，掌握平方差公式和完全平方公式，所有题型均有可能考查；乘法公式与几何图形结合几何图形理解乘法公式，数形互推，利用公式求解面积、完成化简计算。核心考点，也是期中考试的必考内容，一般在大题考查，分值在8分左右；完全平方公式的变形求值掌握完全平方公式的常见变形，熟练运用a2+b2=(a+b)2−2ab等关系，已知两数和、差、积中任意两个求第三个，避免符号与系数错误，提升灵活变形求值能力。重要考点，一般在小题中考查，3分左右知识点01单项式乘单项式1.单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式2.单项式与单项式相乘的步骤(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积；(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里3.要点提示：(1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值：(2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”；(3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行：(4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算：(5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用知识点02单项式乘多项式【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加即m（a+b+c)=ma+mb+mc.【注意】(1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。(2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定(3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果（4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘，知识点013多项式乘多项式1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2.运用法则时应注意以下几点：(1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)·(a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即（m+n)（a+b+c)=ma+mb+mc+na+nb+nc.(2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6.(3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数.(4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列.(5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”(6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果知识点04完全平方公式1.完全平方公式：即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．完全平方公式的常见变形：2.完全平方公式的特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．3.应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．知识点05完全平方公式的几何意义如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S=其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式知识点06平方差公式1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)=2.平方差公式的结构特征：（1）平方差公式(a+b)(a-b)=，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同，而另一项互为相反数：（2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用.3.平方差公式的解读：（1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果；（2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式：（3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便知识点07平方差公式的几何背景如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)=题型一单项式乘法易｜错｜点｜拨1、系数相乘时漏乘、符号搞错（负负得正、一正一负得负）。2、同底数幂相乘把指数相加算成相乘，或漏掉字母因式。3、只乘系数不乘字母，或只乘字母不乘系数。4、有乘方时先算乘方再算乘法，顺序容易颠倒。5、结果没按规范整理：同类字母没合并、系数没化简。1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：（

）A． B． C． D．3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算：_______．4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算：(1)；(2)．题型二利用单项式乘法求字母或代数式的值5．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若，则、的值为（

）A． B． C． D．6．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知单项式与的积为，则的值为（

）A．12 B．9 C．6 D．37．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若，则的值为______．8．（24-25七年级下·江苏·期末）阅读：已知，求的值．分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．解：．你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！(1)已知，求的值；(2)已知，求代数式的值．题型三单项式乘法的应用9．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（

）A． B． C． D．10．（25-26七年级上·山东济宁·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（

）．A．m B． C． D．11．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______．12．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）．(1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________．(2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关．题型四多项式乘法易｜错｜点｜拨1、漏项：相乘时没做到逐项相乘，少乘某一项。2、符号错：括号前是负号时，每一项都要变号，经常只变一部分。3、合并同类项错：该合并的没合并，或加减算反。4、指数错：同底数幂相乘指数乱加、乱乘。5、结果没按降幂/升幂整理，格式不规范。13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若，则m，n的值为（

）A． B． C． D．14．（25-26七年级下·江苏·期中）若且，则代数式的值等于（

）A． B．0 C．1 D．215．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则___________．16．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．(1)求这个多项式；(2)请求出正确的结果．题型五（x+p）（x+q）型多项式乘法17．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．18．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，则________．19．（25-26七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题：_______；_______；_______；_______．(1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为：________；(2)运用上面的规律，直接写出下式的结果：①_______；②_______；(3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______．20．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）先观察下列各式，再解答后面问题：；；；．(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？(2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；(3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果．①_____________；②_____________．题型六多项式乘法中的化简求值易｜错｜点｜拨先按法则逐项相乘不重不漏，注意符号变号，再合并同类项化简，最后代入数值计算；易错在漏乘、符号错、代入时漏括号或运算顺序乱。21．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）先化简，再求值．，其中，．22．（24-25七年级下·福建宁德·期末）先化简，再求值：，其中．23．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中，．24．（24-25七年级下·江苏·期末）先化简，再求值：(1)已知，求的值；(2)，其中．题型七已知多项式乘积不含某项求字母的值易｜错｜点｜拨1、展开后漏项、符号错，导致同类项合并错误。2、不含某一项，是该项系数为0，常把常数项、字母系数一起漏掉。3、只合并部分同类项，没把对应项系数全部合并再令其为0。4、解方程求字母时计算出错，忽略系数含字母的情况。5、忘记检验结果是否使原式有意义。25．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若的积中不含x的一次项，则m的值为（

）A．0 B． C．2 D．2或26．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知的化简结果中不含的一次项，则与的数量关系是（

）A． B． C． D．27．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若的展开式中不含的一次项，则的值为______．28．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．(1)求，的值．(2)求的值．题型八多项式乘多项式与图形面积29．（25-26七年级下·江苏南京·期中）长方形的长为，宽为，现将长和宽分别增加和．(1)求扩建后长方形的面积；（用含x的代数式表示）(2)当时，求扩建后长方形的面积比原来增加了多少平方厘米．30．（24-25八年级上·山西朔州·期末）新考研实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大．数据采集：为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．所示．数据应用：作差法实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则(1)请分别计算这两个建筑的占地面积；(2)若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确．31．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形．(1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简）(2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值）32．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和．(1)①用含m的代数式表示：，；（结果请化简）②用“”“”或“”填空：；(2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为．①该正方形纸片的边长是（用含m的代数式表示，并化简）；②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值．题型九多项式乘法中的规律性问题33．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（

）A．16 B． C．20 D．34．（24-25七年级下·广东佛山·期末）观察下列各式：；；；…根据规律计算：的值是（

）A． B． C． D．35．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）《详解九章算法》中记录了“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的规律．根据数表规律，写出的展开式中，的一次项系数是__________．36．（25-26七年级下·江苏南京·期末）在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题：(1)根据以上规律，计算：__________；(2)你能否由此归纳出一般性规律：__________；(3)根据（2）的规律请你求出：的值；(4)若，则__________．题型十整式乘法混合运算37．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：．38．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算题(1)；(2)．39．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）计算：(1)；(2)；(3)；(4)40．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型十一乘法公式易｜错｜点｜拨1、混淆平方差与完全平方，把(a+b)2当成a2+b2。2、完全平方漏中间2ab项，或符号搞错。3、系数、括号没平方，如(2a)2=2a2。4、逆用公式时结构对不上强行套用。5、符号处理错误：(−a−b)2容易变号出错。6、公式变形时加减搞反，如a2+b2=(a+b)2+2ab。41．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则A等于（

）A． B． C． D．42．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，，则a与b满足的数量关系是______．43．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算：(1)；(2)．44．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算：(1)；(2)．题型十二乘法公式与几何图形易｜错｜点｜拨1、看图列代数式时边长看错、面积算错，把小正方形边长当成大正方形边长。2、用面积法推导公式时，分割或拼接后漏算/多算某块面积。3、把完全平方的几何模型当成平方差，或反过来，公式与图形不对应。4、含字母边长列式时，符号、括号、系数忘记整体处理。5、利用面积列等式后，化简计算出错，不会数形互化。45．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，四个完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，得到一个等式．(1)直接写出这个等式__________：(2)试用乘法公式说明这个等式成立；(3)利用这个公式解决问题：若，，求的值．46．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到．材料二：已知，，求的值．解：，，请你根据上述信息解答下面问题：(1)写出图中所表示的数学等式__________________；(2)已知，，求的值；(3)若，，求的值；(4)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图，已知图3中阴影部分的面积为，图4中阴影部分的面积为，求甲、乙两个正方形的面积之和．47．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休”、数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式．(1)如图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式，①②③甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为；【解决问题】(2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题：①若，，求的值；②若满足，求的值；【拓展提升】(3)如图丁，长方形中，，，，长方形的面积是100，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点，作，的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值）48．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）【探究】若满足，求的值．设，，则，，∴；【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若满足，则的值为________；(2)若满足，则的值为________．(3)【拓展】已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形．①________，________；（用含的式子表示）②求阴影部分的面积．题型十三通过对完全平方公式变形求值49．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）若，，则的值为（

）A． B． C．15 D．不存在50．（25-26八年级上·江苏·期末）已知，则的值为（

）A．89 B．74 C．64 D．4951．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，，则的值为______．52．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．(1)如图可以得到乘法公式是______，(2)若，求的值；(3)若，求的值．题型十四求完全平方式中的字母系数53．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若，则常数的值是（

）A． B． C． D．54．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）若关于x的多项式是一个完全平方式，则m的值为（

）A． B． C．9 D．655．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）已知多项式（为常数）是一个完全平方式，则__________．56．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式是重要的数学公式之一，它在代数式的化简、运算、因式分解等方面广泛应用.(1)请用字母、表示完全平方公式：________；(2)填空：；(3)已知，，求的值.题型十五乘法公式中配方法求最值问题57．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知代数式，当=____时，代数式的值最小，最小值是____．58．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下：解：，，∴当时，的值最小，最小值是，∴，∴当时，的值最小，最小值是，∴的最小值是．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______；(2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若，求的最小值．59．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：求代数式的最小值？总结出如下解答方法：解：∵，∴当时，的值最小，最小值是，∴的最小值是．根据阅读材料解决下列问题：(1)填空：_________________；(2)求代数式最小值．60．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：．．当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出：的最小值为______．(2)求出代数式的最小值．(3)比较代数式和的大小．题型十六乘法公式中的新定义问题61．（25-26七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题：(1)计算；(2)若是一个完全平方式，求常数的值；(3)若，，求的值．62．（25-26七年级下·江西抚州·期末）若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题：(1)计算：＝

；(2)代数式为完全平方式，则

；(3)解方程：．63．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题：(1)的值为_____________；(2)若是一个完全平方式，则_____________；(3)已知，且，求的值．64．（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：(1)多项式关于______对称；(2)若关于x的多项式关于对称，求b的值；(3)若整式关于对称，求m的值．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2026·江苏无锡·三模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是(

)A． B．C． D．3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（

）A．1 B．0 C． D．4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是（

）A． B． C． D．5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知代数式是一个完全平方式，则常数m的值为（

）A．2 B．4 C．2或 D．4或6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则_____．7．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）对于任意实数，定义一种新运算“”，规定，若为实数，则的化简结果为______．8．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若是一个完全平方式，则______________．9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张．10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式：①，②，③，④中，是完全平方式的有_____．（填序号）11．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中．12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算：(1)；(2)．13．（25-26七年级下·江苏南京·期中）求代数式的值，其中，．14．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：m）．(1)现要把屋内地面（含阳台）都铺上地砖，需要多少平方的地砖？(2)如果阳台地砖的价格是x元，房间地砖的价格是元，那么购买地砖需要多少元？15．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是_______；（请选择正确的一个）A．B．C．D．(2)应用：利用（1）中选出的等式，完成下列问题：已知，，求的值．期末重难突破练（测试时间：15分钟）16．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．17．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律．根据数表规律得的展开式中第二项是（

）A． B． C． D．18．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（

）A．72 B．45 C．36 D．3019．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，是的中点，是上一点，分别以、为边，作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为（

）

A．64 B．82 C．59 D．5720．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）阅读与运用：例如：若，求的值．解：则，我们可以得到：．若，则的值是（

）A． B．0 C．1 D．21．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为_______．22．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要A、B、C类卡片共_____张．23．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）利用平方差公式计算：的结果为______．24．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________．25．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，，那么式子的值为______．26．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中．27．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形．(1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）；A．；B．(2)利用你得到的公式，计算下列各式：①；②．28．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值．解：将两边同时平方，得，即，因为，等量代换，得，所以．请根据以上信息，解答下列问题．(1)已知，，求的值；(2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积；(3)若，则的值为多少？29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下面是小丽和小真同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务．化简并求值：，其中x＝－1，．小丽同学的解法解：小真同学的解法解：(1)任务一：仔细检查小丽同学解题的过程，回答下列问题．（ⅰ）第处正确（填序号），用到的乘法公式是；（用含a、b的式子表示）（ⅱ）第处错误（填序号），错误的原因是；(2)任务二：小真同学逆用乘法分配律，但过程不完整，请你将小真的化简过程完整的写出来，并代入求值．30．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）小亮和小红学习了课本页的“探索研究”了解到：两个连续奇数的平方差是的倍数．那么两个连续偶数的平方差会不会也是某个整数的倍数？【猜想】(1)小红先列举了几个例子：___________，……小亮在此基础上进行了猜想：两个连续偶数的平方差是的倍数，请你帮助小亮完成证明．【证明】：【延伸】(2)任意两个偶数的平方差是不是也是的倍数？请帮助小亮从“数”的角度说明理由；(3)小红看到如图所示的正方形景观广场的地砖，最中心的灰色地砖称为第层，它外面的一圈白色地砖称为第层，再外面一圈灰色地砖称为第层，以此类推．她统计了地砖的数量，发现了一些规律；请结合小红的发现从“形”的角度说明理由．【应用】(4)若为正整数，且大于，若可以表示成两个偶数的平方差，求的最小值．期末综合拓展练（测试时间：15分钟）31．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值是（

）A．5 B．9 C．13 D．1732．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（

）A．8 B．7 C．6 D．533．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（

）．A．2026 B．1013 C． D．34．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．835．（25-26七年级下·江苏南京·期中）18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记；，已知，则m的值是（

）A．20 B． C． D．36．（2026·江苏扬州·二模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为____．37．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：，，则8与24都是奇妙数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼接到正方形的边长为79，则阴影部分的面积为_________．38．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________．39．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足2S3+S1-S2=540．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）为落实“双减”政策，我校八年级开展“无书面作业周”研学实践活动，本次活动共开设三条研学路线，参与三条路线的学生人数分别为；这三条路线分别租用三种不同型号的大巴车，每种车型各租10辆，已知路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人．活动结束