高等数学多元函数微分法与应用习题考试及答案

高等数学多元函数微分法与应用习题考试及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处偏导数存在，则f(x,y)在点P处一定连续。A.正确B.错误2.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处取得极小值。A.正确B.错误3.若函数f(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数，则f(x,y)在D上可微。A.正确B.错误4.函数f(x,y)=sin(x+y)在点(π,0)处的梯度向量为(1,1)。A.正确B.错误5.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处fxx(x0,y0)>0，则f(x,y)在点P处取得极小值。A.正确B.错误6.函数f(x,y)=ln(x+y)在点(1,1)处的全微分为d(f)=dx+dy。A.正确B.错误7.若函数f(x,y)在区域D上具有连续的二阶偏导数，则fxx(x,y)=fxy(x,y)。A.正确B.错误8.函数f(x,y)=e^(x^2+y^2)在点(0,0)处的方向导数在任意方向上均为0。A.正确B.错误9.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处fxx(x0,y0)=0，则无法判断f(x,y)在点P处是否取得极值。A.正确B.错误10.函数f(x,y)=x^3-y^3在点(1,1)处的Hessian矩阵为(6,0;0,6)。A.正确B.错误二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2在点(1,1)处的梯度向量为________。2.函数f(x,y)=e^(xy)在点(0,1)处的全微分为________。3.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处fxx(x0,y0)>0，则f(x,y)在点P处取得________值。4.函数f(x,y)=sin(x)+cos(y)在点(π/2,π/2)处的梯度向量为________。5.函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)在点(1,1)处的方向导数在方向向量(1,1)上的值为________。6.若函数f(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数，则f(x,y)在D上________。7.函数f(x,y)=x^2-y^2在点(0,0)处的Hessian矩阵为________。8.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的方向导数在方向向量(1,-1)上的值为________。9.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处fxx(x0,y0)=0，则需进一步判断________。10.函数f(x,y)=x^2+xy+y^2在点(0,0)处的全微分为________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处偏导数存在，则f(x,y)在点P处一定连续。A.正确B.错误2.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处取得极大值。A.正确B.错误3.若函数f(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数，则f(x,y)在D上可微。A.正确B.错误4.函数f(x,y)=sin(x+y)在点(π,0)处的梯度向量为(1,1)。A.正确B.错误5.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处fxx(x0,y0)>0，则f(x,y)在点P处取得极小值。A.正确B.错误6.函数f(x,y)=ln(x+y)在点(1,1)处的全微分为d(f)=dx+dy。A.正确B.错误7.若函数f(x,y)在区域D上具有连续的二阶偏导数，则fxx(x,y)=fxy(x,y)。A.正确B.错误8.函数f(x,y)=e^(x^2+y^2)在点(0,0)处的方向导数在任意方向上均为0。A.正确B.错误9.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处fxx(x0,y0)=0，则无法判断f(x,y)在点P处是否取得极值。A.正确B.错误10.函数f(x,y)=x^3-y^3在点(1,1)处的Hessian矩阵为(6,0;0,6)。A.正确B.错误四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值的必要条件和充分条件。2.解释什么是方向导数，并说明其计算方法。3.什么是梯度向量？梯度向量有什么性质？4.简述全微分的定义及其几何意义。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.求函数f(x,y)=x^3-3xy^2+2y^3在点(1,1)处的极值。2.求函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处沿方向向量(1,1)的方向导数。3.求函数f(x,y)=e^(xy)在点(0,1)处的全微分。4.求函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2在点(1,1)处的梯度向量，并说明其几何意义。【标准答案及解析】一、单选题1.B错误。偏导数存在不一定连续，例如f(x,y)=|xy|/(x^2+y^2)在(0,0)处偏导数存在但不连续。2.A正确。f(0,0)=0，在原点邻域内f(x,y)>0，故取得极小值。3.A正确。根据可微与偏导数的关系，偏导数存在且连续则可微。4.B错误。梯度向量为(cos(x+y),cos(x+y))，在(π,0)处为(-1,-1)。5.A正确。fxx(x0,y0)>0且取得极值，根据二阶偏导数判别法，取得极小值。6.B错误。全微分为d(f)=f_xdx+f_ydy，f_x(1,1)=1,f_y(1,1)=1，故d(f)=dx+dy。7.A正确。根据克莱罗定理，若二阶偏导数连续，则混合偏导数相等。8.A正确。在(0,0)处，方向导数为∇f(0,0)•e^i=0，任意方向上均为0。9.A正确。fxx(x0,y0)=0时，需进一步判断fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-fxy(x0,y0)^2的符号。10.B错误。Hessian矩阵为(6,0;0,-6)，因fyy(1,1)=-6。二、填空题1.(2,4)梯度为(∂f/∂x,∂f/∂y)=(2x+2y,2y)，在(1,1)处为(4,2)。2.edx+1dyf_x(0,1)=e,f_y(0,1)=1，故d(f)=edx+dy。3.极小极值点处fxx>0，故为极小值。4.(-1,-1)梯度为(∂f/∂x,∂f/∂y)=(cos(x),-sin(y))，在(π/2,π/2)处为(-1,-1)。5.√2/2f_x(1,1)=1,f_y(1,1)=1，方向导数为∇f(1,1)•(1,1)/√2=√2/2。6.可微根据可微与偏导数的关系，偏导数存在且连续则可微。7.(2,0;0,-2)fxx=2,fyy=-2,fxy=0，故Hessian矩阵为(2,0;0,-2)。8.√2/2f_x(1,1)=2,f_y(1,1)=2，方向导数为∇f(1,1)•(-1,1)/√2=-√2/2。9.fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-fxy(x0,y0)^2的符号根据二阶偏导数判别法需判断符号。10.2ydx+2xdyf_x(0,0)=2,f_y(0,0)=0，故d(f)=2ydx+2xdy。三、判断题1.B错误。偏导数存在不一定连续，例如f(x,y)=|xy|/(x^2+y^2)在(0,0)处偏导数存在但不连续。2.B错误。f(0,0)=0，在原点邻域内f(x,y)>0，故取得极小值。3.A正确。根据可微与偏导数的关系，偏导数存在且连续则可微。4.B错误。梯度向量为(cos(x+y),cos(x+y))，在(π,0)处为(-1,-1)。5.A正确。fxx(x0,y0)>0且取得极值，根据二阶偏导数判别法，取得极小值。6.B错误。全微分为d(f)=f_xdx+f_ydy，f_x(1,1)=1,f_y(1,1)=1，故d(f)=dx+dy。7.A正确。根据克莱罗定理，若二阶偏导数连续，则混合偏导数相等。8.A正确。在(0,0)处，方向导数为∇f(0,0)•e^i=0，任意方向上均为0。9.A正确。fxx(x0,y0)=0时，需进一步判断fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-fxy(x0,y0)^2的符号。10.B错误。Hessian矩阵为(6,0;0,-6)，因fyy(1,1)=-6。四、简答题1.必要条件：若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，则f_x(x0,y0)=0且f_y(x0,y0)=0。充分条件：若fxx(x0,y0)>0且fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-fxy(x0,y0)^2>0，则f(x,y)在点P处取得极小值；若fxx(x0,y0)<0且fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-fxy(x0,y0)^2>0，则f(x,y)在点P处取得极大值；若fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-fxy(x0,y0)^2<0，则f(x,y)在点P处不取得极值。2.方向导数是函数在某一点沿某一方向的变化率。设函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微，方向向量e=(a,b)，则方向导数为∇f(x0,y0)•e=af_x(x0,y0)+bf_y(x0,y0)。3.梯度向量是函数在某一点处偏导数的向量形式，记为∇f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y))。梯度向量的性质：(1)梯度向量指向函数值增加最快的方向；(2)梯度向量的模长表示方向导数的最大值。4.全微分是函数在某一点处沿所有方向的变化率的线性组合。设函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微，全微分为d(f)=f_x(x0,y0)dx+f_y(x0,y0)dy。几何意义是函数在该点处的切平面方程的线性部分。五、应用题1.求函数f(x,y)=x^3-3xy^2+2y^3在点(1,1)处的极值。解：f_x=3x^2-3y^2,f_y=-6xy+6y^2，令f_x=0,f_y=0得驻点(1,1)。fxx=6x,fyy=12y-6x,fxy=-6y，在(1,1)处fxx=6,fyy=6,fxy=-6。Hessian矩阵为(6,6;6,-6)，fxxfyy-fxy^2=36-36=0，无法判断。通过观察可知f(1,1)=0，在邻域内f(x,y)>0，故取得极小值。2.求函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处沿方向向量(1,1)的方向导数。解：f_x=2x,f_y=2y，在(1,1)处f_x=2,f_y=2。方向向量(1,1)的单位向量为(1/√2,1/√2)，方向导数为∇f(1,1)•(1/√2,1/√2)=2(1/√2)+2(1/√2)=