第一章 §1.4 基本不等式（原卷版）

第第页第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.4基本不等式【高考考向预测】近三年高考基本不等式考查频率高，多以选择、填空题形式出现，常单独命题或结合函数、数列、几何等知识考查最值与范围问题，重点考查公式运用、式子配凑及等号成立条件；预测2027年依旧为高频考点，命题趋向题型灵活化，侧重多题型融合、双变量最值及实际应用考查，愈发注重解题思路变通与易错点辨析，整体立足核心考点，难度适中稳中略有创新。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤a+b22与ab≤a+b2(2)y=x+1x的最小值是2.((3)y=x(2-x)的最大值是1.()(4)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4.()2.(2025·延庆模拟)已知x<0，则y=1+2x+2x的最大值为，当且仅当x=时取得最大值.

3.(多选)下列命题正确的是()A.若x<0，则x+1x≤B.若x>0，则x-1x≤C.若x∈R且x≠0，则x+1D.x2+1x24.已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为.

【核心梳理●明考点】1.基本不等式：ab≤a(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.(3)其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.1.灵活应用两个基本不等式的变形公式(1)ab+ba≥2(a，b同号，当且仅当a=(2)21a+1b≤ab≤a+b2≤a22.谨防两个易误点(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误.(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.【题型突破●明方向】题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)(多选)下列说法不正确的是()A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2abB.x+4xC.x2+2+D.存在a，使得a+1a(2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是()A.b>a+b2>a>ab B.b>ab>C.b>a+b2>ab>a D.b>a>【跟踪训练】1(1)已知p：a>b>0，q：a2+b22>aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是()A.4ab≤(a+b)2 B.a+bC.2aba+b≤a+题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(苏教版必修第一册P61习题3.2T2改编)设x>0，y>0，且xy=4，则1x+1y的最小值为(2)(人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为，此时x=.

命题点2配凑法例3(1)(2025·吉林模拟)已知x>3，则y=2x−3+2A.6 B.8 C.10 D.12(2)(2026·渭南模拟)已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为.

命题点3常数代换法例4(1)(2025·宣城模拟)已知正实数a，b满足2a+b=4，则2a+2+A.94+2 C.92 D.34(2)(2025·上海)设a，b>0，a+1b=1，则b+1a的最小值为命题点4消元法例5已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是()A.23 B.223 C.22命题点5构造不等式法例6(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1命题点6齐次化法例7(2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6A.12 B.3+22 C.252 D.【跟踪训练】2(1)(多选)下列说法正确的是()A.y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-4B.函数y=x2+3xC.已知x+y=1，x>0，y>0，则12x+xD.若正数m，n，满足m+n=2，则m+n的最大值为2(2)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则x2+x+3【限时训练】（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是()A.4 B.43 C.9 D.182.若x>0，则函数y=x2A.6 B.7 C.10 D.113.(2025·德阳模拟)若x>1，则函数y=2x+8xA.8 B.9 C.10 D.114.(2026·绍兴模拟)已知a>0，b>0，且a+4b=4ab，则a+b的最小值是()A.2 B.2+1 C.94 D.5.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则1a+1A.1 B.2 C.4 D.86.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则xyzA.4 B.2 C.3 D.1二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列说法正确的是()A.函数y=2x+2x(xB.函数y=x2C.函数y=x+16x+2(D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是88.(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是()A.ab≤2 B.1a+2bC.a2+b2≥165 D.3a+9b≥三、填空题(每小题5分，共10分)9.函数f(x)=x+3x−1的最小值为10.已知a>-1，b<2，1a+1+12−b=13，则a-四、解答题(共28分)11.(13分)已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求：(1)x+y的最小值；(4分)(2)xy的最大值；(4分)(3)x-y的取值范围.(5分)12.(15分)已知下列求最小值的方法：求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值.解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥33abc(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，x∈[0，+∞(1)求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥44abcd，当且仅当a=b=c