第一章 §1.5 基本不等式的综合应用（原卷版）

第第页第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.5基本不等式的综合应用【高考考向预测】近三年高考基本不等式综合应用考查频次较高，常以选择、填空小题为主，也常融入函数、数列、解析几何等题型考查最值求解、取值范围确定，重点考查一正二定三相等条件及配凑、换元等解题技巧；预测2027年高考仍会保持高频考查趋势，命题更侧重多形式配凑、双变量最值及实际情境应用，注重与其他知识点融合设问，强化等号成立条件判断，题型灵活多变但紧扣核心用法，侧重考查学生灵活变形与逻辑运算能力。【题型突破●明方向】题型一与基本不等式有关的恒(能)成立问题例1(1)(2025·达州模拟)已知a>0，b>0，若不等式ma+b≤4A.64 B.25 C.13 D.12(2)若正实数x，y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y<m2+32m有解，则实数m的取值范围为【跟踪训练】1(1)(2026·遵义模拟)“a=9”是“不等式(x+y)1x+ay≥8(a>0)对于任意正实数x，A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)若两个正实数x，y满足x+2y=xy，且存在这样的x，y使不等式2x+y<m2+8m有解，则实数m的取值范围是()A.(-1，9)B.(-9，1)C.(-∞，-9)∪(1，+∞)D.(-∞，-1)∪(9，+∞)题型二基本不等式的实际应用例2随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x(x∈N*)台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=2x2+80x,0<(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【跟踪训练】2某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8a−x10(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5xA.12 B.14 C.22 D.60题型三基本不等式与其他知识交汇的最值问题例3(1)(2025·菏泽模拟)已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，OD=12OA+xOB+yOC(x，y>0)，若A，B，C，D四点共面，则A.18 B.116 C.1(2)(2026·苏州模拟)已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则1x+4a−x(0<A.9 B.92 C.4 【跟踪训练】3(1)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为()A.25 B.225 C.4(2)(2025·海南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，当Sn+9an取得最小值时，n柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|(a，b，c，d(2)a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|(a，b，c，d(3)(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a，b，c，d≥0，当且仅当3.一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai=kb4.二维形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立).典例(1)实数x，y满足3x2+4y2=12，则z=2x+3y的最小值是()A.-5 B.-6 C.3 D.4(2)设a=(1，-2)，b=(x，y)，若x2+y2=16，则a·b的最大值为.

权方和不等式1.二维权方和不等式：若a，b，x，y>0，则a2x+b2y≥(a+变形1：已知x，y，a，b>0，则ax+by≥(a+b)2x+y变形2：已知x，y，a，b>0，且m>0，则am+1xm+bm+1ym2.多维权方和不等式：公式1：若an>0，bn>0，n∈N*，则a12b1+a22b2+…+an2bn≥(公式2：若an>0，bn>0，n∈N*，m>0，则a1m+1b1m+a2m+1b2m+…+anm权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.典例(1)若x>0，y>0，12x+y+3x+y=2，则6(2)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则x2y+2z+y2z【限时训练】（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1A.13 B.12 C.9 D.62.(2025·福州模拟)当x>0，y>0时，1x+4y≥mxA.9 B.8 C.4 D.13.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是()A.a<33 B.0≤a≤C.a>33 D.a>4.(链接教材，人教A版必修第二册P55阅读与思考)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(pA.30° B.45° C.60° D.90°二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2026·常州模拟)已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)且AP=xAB+yAC，则下列说法正确的是()A.x+2y=1 B.2x+y=1C.2x+4y≥22 D.1x+26.已知x>0，y>0，且2x+y=1，若mxym−1≤x+2y恒成立，则实数A.12 B.98 C.3 三、填空题(每小题5分，共10分)7.若正实数x，y满足x+y=2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为.8.已知函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，其中a>b，则a2+b2四、解答题(共28分)9.(13分)(2025·武汉模拟)已知x，y都是正数，且2x+1(1)求2x+y的最小值；(6分)(2)已知不等式λ(x+2y)≤(3x+2y)2恒成立，求实数λ的取值范围.(7分)10.(15分)(2025·曲靖模拟)某村原有一块矩形ABCD场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地AEGF.为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点B在AE上，点D在AF上，且对角线EF经过点C，如图所示.已知AB=16m，AD=12m，设DF=xm，矩形AEGF的面积为ym2.(1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少时，y有最小值；(8分)(2)要使矩形AEGF的面积大于1024m2，则DF的长应在什么范围内？(7分)[每小题5分，共10分]11.(人教A版必修第一册P49习题2.2T8改编)