第一章集合、常用逻辑用语、不等式　§1.1　集　合（原卷版及解析版）

第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合【高考预测】预测2027年高考集合考向仍以集合的概念与表示、元素与集合关系、集合间的包含与相等、交集并集补集运算为基础主干，常结合一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、函数定义域值域、简易逻辑综合命题，题型固定以选择题开篇为主，注重以不等式解集、离散数集、点集为载体考查集合运算与数形结合，强化与常用逻辑用语、函数不等式的交汇渗透，稳中求新、侧重基础运算与逻辑辨析，突出小考点综合性、易错点辨析及数学抽象与运算求解能力的考查。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}.()(3)若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1.()(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).()2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则∁UA中元素的个数为()A.0 B.3 C.5 D.83.(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于()A.∁U(M∪N) B.N∪∁UMC.∁U(M∩N) D.M∪∁UN4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是.

【核心梳理●明考点】1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N+)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A=B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算表示

运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA1.掌握有限集子集个数的结论若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个.2.灵活应用两个常用性质(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).3.牢记两个注意点(1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.【题型突破●明方向】题型一集合的含义与表示例1(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是()A.M={3，-1}，P={(3，-1)}B.M={(3，1)}，P={(1，3)}C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R}D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R}(2)已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为()A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8【跟踪训练】1已知a，b∈R，若a，ba，1={a2，a+b，0}，则a2026+b2026题型二集合间的基本关系例2(1)(2026·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是()A.A=B B.B⊆AC.A∩(∁UB)=∅ D.(∁UA)∩B=∅(2)已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A⊆∁UB，则实数m的取值范围是.

【跟踪训练】2(1)(2025·汕头模拟)若集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则实数m的值是()A.-2或1 B.2或1C.-2 D.±2或1(2)(多选)已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m的值可以为()A.-2 B.-1 C.0 D.1题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)若集合M={x|x<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N等于()A.{x|0≤x<2} B.xC.{x|3≤x<16} D.x(2)(2025·天津)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，5}，则∁U(A∪B)等于()A.{1，2，3，4} B.{2，3，4}C.{2，4} D.{4}命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(2026·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)}，B={x|x≤a}，若(∁RA)∪B=R，则实数a的取值范围为()A.(1，+∞) B.[1，+∞)C.(-∞，1) D.(-∞，1]命题点3集合的应用(链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A=｛a，b，c｝，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).例5某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 ()A.2 B.3 C.4 D.5【跟踪训练】3(1)(2025·广东八校联考)设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A∩B=A，则a的取值范围是()A.[1，+∞) B.[2，+∞)C.(-∞，1] D.(-∞，2](2)(多选)已知全集U=R，集合M={x|-3≤x<4}，N={x|x2-2x-8≤0}，则()A.M∪N={x|-3≤x<4}B.M∩N={x|-2≤x<4}C.(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞)D.M∩(∁UN)=(-3，-2)(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是.

题型四集合的新定义问题例6(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F={a+b2|a，b∈QA.0，1是任意数域中的元素B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域C.存在无穷多个数域D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q⊆M∩N【跟踪训练】4(多选)(2025·渭南模拟)定义集合A与B的运算：A·B={x|x∈R，且x∉(A∪B)}，A∘B={x|x∈R，且x∉(A∩B)}.已知A=(-1，4]，B=[0，7)，则()A.A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞)B.A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞)C.A·(∁RB)=[4，7]D.(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞)【限时训练】（60分钟）一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B等于()A.{0，1，2} B.{1，2，8}C.{2，8} D.{0，1}2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于()A.{x|x=3k，k∈Z}B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}D.∅3.(2025·淄博模拟)已知集合A={e，log0.20.3，20.2}，集合B={x|x(1-x)>0}，则A∩B的子集的个数为()A.1 B.2 C.4 D.84.(2026·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于()A.1 B.0 C.2 D.0或15.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于()A.2 B.1 C.23 6.(2026·保定模拟)如图，已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={1，2，3}，B={x∈Z|(x+2)(x-1)≤0}，则图中阴影部分表示的集合为()A.{2} B.{3}C.{2，3} D.[2，3]7.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%8.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为()A.7 B.8 C.9 D.10二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是()A.A∩B=∅B.A⊆(A∪B)C.(∁UA)∪A=UD.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)10.已知A={x|x2+px+1=0}，M={x|x>0}，若A∩M=∅，则实数p的可能取值为()A.0 B.-3 C.3 D.511.(2025·聊城模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0，A={y|y=[x]，-1.1<x≤3.2}，B={y|-10≤y≤m}，下列说法正确的是()A.集合A={-1，0，1，2，3}B.集合A的非空真子集的个数是62C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m的取值范围是[3，+∞)D.若A∩B=∅，则m的取值范围是(-∞，-2)三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2025·上海改编)已知全集U={x|2≤x≤5}，集合A={x|2≤x<4}，则∁UA=.

【答案】{x|4≤x≤5}【解析】根据补集的含义知∁UA={x|4≤x≤5}.13.(2025·南京模拟)已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3}，B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A，则实数a的取值范围为.

14.(2025·六盘水模拟)定义集合An={(a1，a2，…，an)|a1，a2，…，an∈A}，比如：若A={1，2}，则A2={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}.把集合An中满足条件a1+a2+…+an=p的元素组成的集合记为An(p)，即An(p)={(a1，a2，…，an)|a1+a2+…+an=p，a1，a2，…，an∈A}.已知集合A={1，2，3，4，5，6}，则(1)集合A2(6)中的元素个数为；

(2)若A6(p)中的元素个数为56，则p的值为.

[每小题5分，共10分]15.(2020·浙江)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意的x，y∈T，若x<y，则yx∈S下列命题正确的是()A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素16.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若N={2，3，6}，则∁UN表示的6位字符串为；

(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为.

第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合【高考预测】预测2027年高考集合考向仍以集合的概念与表示、元素与集合关系、集合间的包含与相等、交集并集补集运算为基础主干，常结合一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、函数定义域值域、简易逻辑综合命题，题型固定以选择题开篇为主，注重以不等式解集、离散数集、点集为载体考查集合运算与数形结合，强化与常用逻辑用语、函数不等式的交汇渗透，稳中求新、侧重基础运算与逻辑辨析，突出小考点综合性、易错点辨析及数学抽象与运算求解能力的考查。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}.()(3)若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1.()(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则∁UA中元素的个数为()A.0 B.3 C.5 D.8【答案】C【解析】因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5}，所以∁UA={2，4，6，7，8}，故∁UA中元素的个数为5.3.(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于()A.∁U(M∪N) B.N∪∁UMC.∁U(M∩N) D.M∪∁UN【答案】A【解析】由题意可得M∪N={x|x<2}，则∁U(M∪N)={x|x≥2}，故A正确；∁UM={x|x≥1}，则N∪∁UM={x|x>-1}，故B错误；M∩N={x|-1<x<1}，则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1}，故C错误；∁UN={x|x≤-1或x≥2}，则M∪∁UN={x|x<1或x≥2}，故D错误.4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是.

【答案】(-∞，-1]【解析】因为M∩N=M，所以M⊆N，所以a≤-1.【核心梳理●明考点】1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N+)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A=B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算表示

运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA1.掌握有限集子集个数的结论若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个.2.灵活应用两个常用性质(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).3.牢记两个注意点(1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.【题型突破●明方向】题型一集合的含义与表示例1(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是()A.M={3，-1}，P={(3，-1)}B.M={(3，1)}，P={(1，3)}C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R}D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R}【答案】ABD【解析】选项A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y=x2-1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y=x2-1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.(2)已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为()A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8【答案】D【解析】由题意，若a2-2a+1=4，解得a=3或a=-1，若a-4=4，解得a=8，当a=-1时，A={-1，4，-5}满足题意；当a=3时，A={-1，4，-1}违背了集合中元素间的互异性；当a=8时，A={-1，4，49}满足题意，综上所述，a的值可能为-1，8.【思维升华】解决集合含义问题的关键点(1)确定集合中的代表元素.(2)确定元素的限制条件.(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.【跟踪训练】1已知a，b∈R，若a，ba，1={a2，a+b，0}，则a2026+b2026【答案】1【解析】由已知得a≠0，则ba=0，所以b=0于是a2=1，即a=1或a=-1，又由集合中元素的互异性知，a=1应舍去，故a=-1，所以a2026+b2026=(-1)2026+02026=1.题型二集合间的基本关系例2(1)(2026·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是()A.A=B B.B⊆AC.A∩(∁UB)=∅ D.(∁UA)∩B=∅【答案】C【解析】因为集合A，B满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B，对A，当A为B的真子集时，不成立；对B，当A为B的真子集时，也不成立；对C，A∩(∁UB)=∅，恒成立；对D，当A为B的真子集时，不成立.(2)已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A⊆∁UB，则实数m的取值范围是.

【答案】(-∞，2)∪(6，+∞)【解析】①当B≠∅时，m+1≤2m-1，即m≥2，因为集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，则∁UB={x|x<m+1或x>2m-1}，又A⊆∁UB，则m+1>7或2m-1<-2，解得m>6或m<-12，又m≥2，所以m>6②当B=∅时，m+1>2m-1，即m<2，此时∁UB=R，符合题意.综上所述，实数m的取值范围为m<2或m>6.【思维升华】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.【跟踪训练】2(1)(2025·汕头模拟)若集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则实数m的值是()A.-2或1 B.2或1C.-2 D.±2或1【答案】D【解析】因为集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则集合A只有一个元素，即关于x的方程(m-2)x2+2mx-1=0只有一个实数根，分以下两种情况讨论：当m-2=0，即m=2时，原方程为4x-1=0，解得x=14当m-2≠0，即m≠2时，则Δ=4m2+4(m-2)=4(m2+m-2)=0，解得m=1或m=-2.综上所述，m=±2或1.(2)(多选)已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m的值可以为()A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】BCD【解析】当N=∅时，满足N⊆M，此时m=0；当N≠∅时，m≠0，解mx=1可得，x=1m因为N⊆M，所以1m=-1或1当1m=-1时，m=-1当1m=1时，m综上所述，m=0或m=-1或m=1.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)若集合M={x|x<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N等于()A.{x|0≤x<2} B.xC.{x|3≤x<16} D.x【答案】D【解析】因为M={x|x<4}，所以M={x|0≤x<16}；因为N={x|3x≥1}，所以N=xx所以M∩N=x13(2)(2025·天津)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，5}，则∁U(A∪B)等于()A.{1，2，3，4} B.{2，3，4}C.{2，4} D.{4}【答案】D【解析】由A={1，3}，B={2，3，5}，则A∪B={1，2，3，5}，又集合U={1，2，3，4，5}，故∁U(A∪B)={4}.命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(2026·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)}，B={x|x≤a}，若(∁RA)∪B=R，则实数a的取值范围为()A.(1，+∞) B.[1，+∞)C.(-∞，1) D.(-∞，1]【答案】B【解析】由题可知A={x|y=ln(1-x2)}={x|-1<x<1}，∁RA={x|x≤-1或x≥1}，所以由(∁RA)∪B=R，得a≥1.【思维升华】对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.命题点3集合的应用(链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A=｛a，b，c｝，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).例5某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 ()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】设集合A={x|x是参加足球队的学生}，集合B={x|x是参加排球队的学生}，集合C={x|x是参加游泳队的学生}，则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24，card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9.设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)=m，card(A∪B∪C)=46，所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)，即46=25+22+24-12-8-9+m，解得m=4，故三项都参加的有4人.【思维升华】在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性.【跟踪训练】3(1)(2025·广东八校联考)设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A∩B=A，则a的取值范围是()A.[1，+∞) B.[2，+∞)C.(-∞，1] D.(-∞，2]【答案】B【解析】由A∩B=A知A⊆B，又A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，所以a≥2.(2)(多选)已知全集U=R，集合M={x|-3≤x<4}，N={x|x2-2x-8≤0}，则()A.M∪N={x|-3≤x<4}B.M∩N={x|-2≤x<4}C.(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞)D.M∩(∁UN)=(-3，-2)【答案】BC【解析】由x2-2x-8≤0，得-2≤x≤4，所以N={x|-2≤x≤4}，对于选项A，M∪N={x|-3≤x≤4}，故A错误；对于选项B，M∩N={x|-2≤x<4}，故B正确；对于选项C，由于∁UM=(-∞，-3)∪[4，+∞)，故(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞)，故C正确；对于选项D，由于∁UN=(-∞，-2)∪(4，+∞)，故M∩(∁UN)=[-3，-2)，故D错误.(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是.

【答案】281【解析】由题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，则card(A)=203，card(B)=179，card(C)=165，card(A∩B)=143，card(B∩C)=97，card(A∩C)=116，card(A∩B∩C)=90，因此card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)=203+179+165-143-97-116+90=281.所以参加竞赛的学生总人数是281.题型四集合的新定义问题例6(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F={a+b2|a，b∈QA.0，1是任意数域中的元素B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域C.存在无穷多个数域D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q⊆M∩N【答案】ACD【解析】对于A选项，由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个非零元素a∈P，所以有a-a=0∈P，aa=1∈P，故A对于B选项，假设数域M={a+b2|a，b∈Q}，N={a+b3|a，b∈Q}，则当x=2∈M，y=3∈N时，x∈M∪N，y∈M∪N，x+y=2+3∉M且x+y=2+3∉N，故x+y=2+3∉M∪N，故B错误；对于C选项，可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z，集合P={a+bZ|a，b∈Q}都是数域，这样就有无穷多个数域，故C正确；对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q⊆P.因为0，1是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，故所有整数都属于数域P，又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q⊆P，所以Q⊆M，Q⊆N，即Q⊆M∩N，故D正确.【思维升华】此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.【跟踪训练】4(多选)(2025·渭南模拟)定义集合A与B的运算：A·B={x|x∈R，且x∉(A∪B)}，A∘B={x|x∈R，且x∉(A∩B)}.已知A=(-1，4]，B=[0，7)，则()A.A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞)B.A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞)C.A·(∁RB)=[4，7]D.(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞)【答案】ABD【解析】∵A=(-1，4]，B=[0，7)，∴A∪B=(-1，7)，A∩B=[0，4]，∴A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞)，A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞)，选项A，B正确；∵∁RB=(-∞，0)∪[7，+∞)，∴A∪(∁RB)=(-∞，4]∪[7，+∞)，∴A·(∁RB)=(4，7)，选项C错误；∵∁RA=(-∞，-1]∪(4，+∞)，∴(∁RA)∩B=(4，7)，∴(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞)，选项D正确.【限时训练】（60分钟）一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B等于()A.{0，1，2} B.{1，2，8}C.{2，8} D.{0，1}【答案】D【解析】B={x|x3=x}={x|x(x2-1)=0}={0，-1，1}，故A∩B={0，1}.2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于()A.{x|x=3k，k∈Z}B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}D.∅【答案】A【解析】方法一M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}，所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.方法二集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.3.(2025·淄博模拟)已知集合A={e，log0.20.3，20.2}，集合B={x|x(1-x)>0}，则A∩B的子集的个数为()A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】因为集合B={x|x(1-x)>0}={x|0<x<1}，且e>1，0<log0.20.3<1，20.2>1，可得A∩B={log0.20.3}，所以A∩B的子集的个数为2.4.(2026·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于()A.1 B.0 C.2 D.0或1【答案】D【解析】当a=0时，由ax2-2x+1=0可得x=12当a≠0时，则ax2-2x+1=0满足Δ=(-2)2-4a=0，解得a=1.综上，实数a的值为0或1.5.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于()A.2 B.1 C.23 【答案】B【解析】若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意.综上所述，a=1.6.(2026·保定模拟)如图，已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={1，2，3}，B={x∈Z|(x+2)(x-1)≤0}，则图中阴影部分表示的集合为()A.{2} B.{3}C.{2，3} D.[2，3]【答案】C【解析】由(x+2)(x-1)≤0，解得-2≤x≤1，所以B={-2，-1，0，1}，又全集U={-2，-1，0，1，2，3}，A={1，2，3}，所以图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={2，3}.7.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%【答案】C【解析】用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%-x)+(82%-x)+x=96%，解得x=46%.8.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】当card(A)=1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当card(A)=2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；当card(A)=3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是()A.A∩B=∅B.A⊆(A∪B)C.(∁UA)∪A=UD.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)【答案】BCD【解析】如图所示，A∩B≠∅，A选项错误；A⊆(A∪B)，(∁UA)∪A=U，(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)，BCD选项正确.10.已知A={x|x2+px+1=0}，M={x|x>0}，若A∩M=∅，则实数p的可能取值为()A.0 B.-3 C.3 D.5【答案】ACD【解析】当A=∅时，Δ=p2-4<0，解得-2<p<2；当A≠∅，即p≤-2或p≥2时，此时方程x2+px+1=0的两个根x1，x2需满足小于等于0，则x1x2=1>0，x1+x2=-p<0，得p>0，∴p≥2，综上，p>-2.11.(2025·聊城模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0，A={y|y=[x]，-1.1<x≤3.2}，B={y|-10≤y≤m}，下列说法正确的是()A.集合A={-1，0，1，2，3}B.集合A的非空真子集的个数是62C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m的取值范围是[3，+∞)D.若A∩B=∅，则m的取值范围是(-∞，-2)【答案】BCD【解析】当-1.1<x<-1时，y=[x]=-2，当-1≤x<0时，y=[x]=-1，当0≤x<1时，y=[x]=0，当1≤x<2时，y=[x]=1，当2≤x<3时，y=[x]=2，当3≤x≤3.2时，y=[x]=3，所以A={-2，-1，0，1，2，3}，集合A的非空真子集有26-2=62(个)，故A错误，B正确；若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以m≥3，C正确；若A∩B=∅，当B=∅时，m<-10；当B≠∅时，m≥−10,m<−2,解得综上，m<-2，故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2025·上海改编)已