(2025年)概率及数理统计一维随机变量练习习题及标准答案

(2025年)概率及数理统计一维随机变量练习习题及标准答案1.某篮球运动员进行5次投篮测试，设命中次数为随机变量X，服从参数为n=5，p的二项分布。已知P(X=2)=9P(X=4)，求：（1）命中率p；（2）至少命中1次的概率P(X≥1)。解答：（1）二项分布概率质量函数为P((1计算组合数：=10，=10(两边约去5(1−p)展开：2(1−2p解二次方程：p=取正根：p=（2）P(2.设连续型随机变量X的概率密度函数为：f(x求：（1）常数k；（2）分布函数F(x)；（3）概率P(1<X<2)。解答：（1）由密度函数归一性：∈f∈k计算积分：∈(故k·=1（2）分布函数F(当x<0时，当0≤x≤当x>3时，（3）P(3.设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，求：（1）参数λ；（2）P(X≥1)；（3）E(X²)。解答：（1）泊松分布概率质量函数P(→λ=（λ>0），解得（2）P(（3）泊松分布期望E(X)=λ=2，方差Var(X)=λ=2，故E(4.某智能设备的无故障工作时间X（单位：小时）服从指数分布，已知P(X>5)=e⁻¹，求：（1）参数λ；（2）P(2<X<6)；（3）在设备已正常工作2小时的条件下，再正常工作5小时的概率P(X>7|X>2)。解答：（1）指数分布密度函数f(x)=λ（x≥0），分布函数F(x（2）P(（3）指数分布无记忆性：P(5.设随机变量X~N(μ,σ²)，已知P(X<0)=0.2，P(X>3)=0.1，求：（1）μ和σ；（2）P(1<X<2)。解答：（1）标准化得Z=P(X<0)=PP(X>3)=1代入μ=0.84σ得：=1.28→3=σ(1.28（2）P(查标准正态表：Φ(0.57)6.设随机变量X的分布函数为：F(x验证F(x)是否满足分布函数的基本性质。解答：分布函数需满足：（1）单调性：当x₁<x₂时，F(x₁)≤F(x₂)。x<-1时F(x)=0；-1≤x<1时F(x)随x增大线性增加（斜率1/4>0）；x≥1时F(x)=1。故整体单调不减。（2）右连续性：x=-1处右极限：lix=1处右极限：li其他点连续，故右连续。（3）极限性：liF(综上，F(x)是合法的分布函数。7.设随机变量X的分布如下：以0.3的概率取离散值1，以0.7的概率在区间[2,4]上均匀分布。求：（1）分布函数F(x)；（2）期望E(X)；（3）方差Var(X)。解答：（1）分布函数分段：x<1时，F(x)=0；1≤x<2时，F(x)=P(X≤x)=0.3（仅取到离散值1）；2≤x≤4时，F(x)=0.3+0.7·P(均匀部分≤x)=0.3+0.7·=0.3+0.35(x2)；x>4时，F(x)=0.3+0.7·1=1。（2）期望E(X)=0.3×1+0.7×E(均匀分布)。均匀分布在[2,4]的期望为(2+4)/2=3，故E(X)=0.3+0.7×3=0.3+2.1=2.4。（3）方差Var(X)=E(X²)[E(X)]²。计算E(X²)=0.3×1²+0.7×E(均匀分布X²)。均匀分布X²的期望为∈t8.2025年某城市早高峰时段共享单车故障数X服从泊松分布，已知P(X=0)=0.05，求：（1）参数λ；（2）故障数不超过2的概率P(X≤2)。解答：（1）泊松分布P(X=0)=e^{-λ}=0.05，故λ=-ln(0.05)≈2.996≈3。（2）P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=e^{-3}+3e^{-3}+=e^{-3}(1+3+4.5)=8.5e^{-3}≈8.5×0.0498≈0.423。9.设随机变量X的概率密度为(x)解答：Y=X²的取值范围为(0,1)。先求分布函数F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X²≤y)=P(X≤√y)=F_X(√y)（因x>0）。X的分布函数F_X(x)=∫0^x2tdt=x²（0≤x≤1），故F_Y(y)=(√y)²=y（0≤y≤1）。对y求导得密度函数f_Y(y)=F_Y’(y)=1（0<y<1），其他为0。10.某商店销售新型智能手环，每售出1件利润50元，未售出1件积压损失20元。设日需求量X~U(10,30)（单位：件），求最优进货量n，使期望利润最大。解答：设进货量为n，利润函数L(n,X)为：当X≥n时，全部售出，利润=50n；当X<n时，售出X件，积压n-X件，利润=50X20(nX)=70X20n。期望利润E[L(n)]=∫10^n(70x20n)·dx+∫n^3050n·dx计算积分：第一部分：∫10^n(70x20n)dx=[35x²20nx]₁₀^n=(35n²20n²35×100+200n)=(15n²+200n3500)=0.75n²+10n175第二部分：∫n^3050ndx=(30n)=2.5n(30n)=75n2.5n²总期望利润：E[L(n)]=0.75n²+10n175+75n2.5n²=-1.75n²+85n175求导并令导数为0：dE/dn=-3.5n+85=0→n=85/3.5≈24.29。因n为整数，比较n=24和n=25：n=24时，E[L(24)]=-1.75×24²+85×