25.2.2 公式法 教学课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

25.2.2公式法第1课时

一元二次方程根的判别式1．会用一元二次方程根的判别式判断根的情况（重点）．2．能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围．问题老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？我们可以用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．移项，得二次项系数化为1，得配方，得即∵a≠0，∴4a2＞0．式子b2－4ac的值有以下三种情况:（1）（2）（3）

判别式的情况一元二次方程根的情况两个不相等实数根两个相等实数根没有实数根两个实数根Δ＞0Δ＝0Δ＜0Δ≥0一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一元二次方程Δ的值根的情况按要求填表：04有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根3．判断根的情况，得出结论．1．化为一般式，确定a，b，c的值．根的判别式的使用方法2．计算Δ的值，确定Δ的符号．例1不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2＋x－4＝0；

（2）4y2＋9＝12y；

（3）5(t2＋1)－6t＝0．解：（1）这里a＝2，b＝1，c＝－4，∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－4)＝33＞0，∴方程有两个不相等的实数根．这里a＝4，b＝－12，c＝9．∵Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0，∴原方程有两个相等的实数根．解：（2）把原方程化为一般形式，得4y2－12y＋9＝0．例1不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2＋x－4＝0；

（2）4y2＋9＝12y；

（3）5(t2＋1)－6t＝0．解：（3）把原方程化为一般形式，得5t2－6t＋5＝0．这里a＝5，b＝－6，c＝5．∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×5＝－64＜0，∴原方程没有实数根．例1不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2＋x－4＝0；

（2）4y2＋9＝12y；

（3）5(t2＋1)－6t＝0．方法总结给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．例2已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根．解:（1）∵关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－3)2－4k＞0，即9－4k＞0，

∵kx2－3x＋1＝0是一元二次方程，∴k≠0，

例2已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根．

则方程为2x2－3x＋1＝0．

方法总结应用判别式求字母的取值范围的思路利用根的判别式求待定字母的取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断b²—4ac与0的大小关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式(组),最后求解.有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值．解:（1）当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即(－12)2－4k＝0，解得k＝36．此时方程为x2－12x＋36＝0，解得x1＝x2＝6．长为3，6，6的线段能构成等腰三角形．有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值．（2）当3为等腰三角形的腰长时，x＝3是方程的根．把x＝3代入方程，得9－36＋k＝0，∴k＝27，∴方程为x2－12x＋27＝0，解得x1＝3，x2＝9．∵3＋3＜9，∴长为3，3，9的线段不能构成三角形，∴k＝27不符合要求．综上，k的值为36．1．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（）AA．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个实数根解析：∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0，∴此方程没有实数根．2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是（）DA．a＜1

B．a＞1

C．a≤1

D．a≥1Δ≥0解析：整理方程，得x2－4x＋5－a＝0，∵关于x的一元二次方程有实数根，∴Δ＝16－4×1×(5－a)≥0，解得a≥1，∴a的取值范围为a≥1．3．关于x的方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为

．

解析：∵a＝m2，b＝2m＋1，c＝1，方程有两个不相等的实数根，

又二次项系数不为0，

4．若关于x的方程kx2－4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围为_________．k≤2解析：分两种情况讨论．（1）若方程为一元一次方程，则k＝0，方程化为－4x＋2＝0，解得（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，即(－4)2－4×k×2≥0且k≠0，解得k≤2且k≠0，综上所述，k的取值范围为k≤2．根的判别式Δ＝b2－4ac与根的关系应用Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ＜0⇔方程没有实数根不解方程确定方程根的情况由根的情况确定字母的值或范围第2课时

用公式法解一元二次方程2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程（重点、难点）．1．了解一元二次方程求根公式的推导过程．请用配方法解下列方程：方程（1）用配方法比较简单，方程（2）用配方法比较复杂，对于方程（2）有没有更好的方法呢？

解：（1）x2－4x＋3＝0，x2－4x＝－3，x2－4x＋22＝－3＋22，(x－2)2＝1，x－2＝±1，x1＝3，x2＝1．

用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

当b2－4ac≥0时，

求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法．当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为

的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．

解：（1）这里a＝1，b＝－4，c＝－7．∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0，

∴方程有两个不等的实数根，

∴方程有两个相等的实数根，此时a＝5，b＝－4，c＝－1．∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，

解：（3）方程化为5x2－4x－1＝0．∴方程有两个不相等的实数根，此时a＝1，b＝－8，c＝17．∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0，∴方程无实数根．

解：（4）方程化为x2－8x＋17＝0．用公式法解一元二次方程的步骤1．把方程化为一般形式，一般应使a＞0；2．指出一般式中的a，b，c的值；3．计算代数式b2－4ac的值，判断其是否非负；4．当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式求解．

此时b2－4ac＝0方程有两个相等的实数根例3用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）：(x＋1)(3x－1)＝1．解：将方程化为一般形式，得3x2＋2x－2＝0．这里a＝3，b＝2，c＝－2．∵b2－4ac＝22－4×3×(－2)＝28＞0，

方法总结用公式法解一元二次方程，首先将方程化成一般形式，确定各项的系数(注意符号)，当b2－4ac≥0时，将各系数代入求根公式求解．注意只有在b2－4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解．1．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是关于x的方程x2－6x＋8＝0的一个解，则这个三角形的周长为_______．

132．用公式法解方程：(x－2)(1－3x)＝6．解：化为一般式，得3x2－7x＋8＝0，这里a＝3，b＝－7，c＝8．∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝49－96＝－47＜0，∴原方程没有实数根．3．用公式法解下列一元二次方程．（1）x2－3x－2＝0；（2）－x2－2x＝2x＋1．

3．用公式法解下列一元二次方程．（1）x2－3x－2＝0；（2）－x2－2x＝2x＋1．4．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，求m的值．

5．无