比的意义与应用·六年级数学上册北师大版教学设计

比的意义与应用·六年级数学上册北师大版教学设计

一、课程基本信息与设计理念

【学科】小学数学

【学段】六年级（上学期）

【课时】2课时（本设计为第一课时，聚焦概念建构；第二课时为拓展与应用，可另行设计）

【课标依据】《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数与代数是义务教育阶段学生数学学习的重要领域。在第三学段，学生要“理解比的意义，能解决按比分配的实际问题”。本课设计旨在通过真实情境，引导学生经历从具体数量关系到抽象“比”的概念的过程，理解“比”是两个量倍数关系的表达，感受“比”在日常生活和其他学科中的广泛应用，发展学生的量感、符号意识和模型意识，初步体会函数思想。

【教材分析】

本课是北师大版六年级上册第六单元“比的认识”的起始课。教材编排遵循“从生活中来，到生活中去”的原则，通过“淘气与笑笑的照片”这一经典情境，引发学生的认知冲突——为什么有的像，有的不像？进而引导学生探究长方形长与宽的关系。教材从具体的除法运算（长除以宽，宽除以长）引出“比”的概念，使学生体会到“比”源自对两个数量之间关系的比较，是除法关系的另一种表达形式。本课内容既是“除法的意义”、“分数的意义”和“分数的基本性质”的延伸和拓展，又为后续学习“比的基本性质”、“按比分配”、“比例的意义和基本性质”以及初中学习“正比例与反比例”、“相似图形”等知识奠定坚实基础。

【学情分析】

六年级学生已经积累了丰富的除法运算经验，理解了分数与除法的关系，具备了初步的抽象逻辑思维能力。他们能够从具体情境中提取数量，并进行计算和比较。然而，“比”的概念对于他们而言是全新的，学生容易将“比”仅仅视为一种除法运算，而难以深刻理解“比”所蕴含的比较关系和结构化的数学意义。具体难点在于：1.区分“比”与除法、分数的联系与区别，尤其是理解“比”强调的“对应比较”关系；2.理解“比”的有序性，即前项和后项的顺序不能随意颠倒；3.认识到“比”不仅可以表示同类量的倍数关系，还可以表示不同类量之间的关系，从而生成新的量（如速度、单价）。因此，教学中需从丰富的感性材料出发，引导学生逐步抽象、概括，在充分讨论和辨析中建构“比”的意义。

【教学理念】

以核心素养为导向，践行“学为中心”的课堂。通过创设真实、复杂的情境，引发深度思考；以大问题、大任务驱动学生进行自主探究与合作交流；打通数学与生活、与其他学科的联系，展现“比”作为描述世界的一种数学模型的力量。

二、教学目标与核心素养

（一）教学目标

1.知识与技能【基础】【重要】：在具体情境中理解“比”的意义，掌握比的读写方法，知道比的各部分名称，能正确求比值。

2.过程与方法【重要】：经历从具体情境中抽象出“比”的过程，通过观察、类比、推理，理解比与除法、分数之间的关系，初步发展抽象概括能力和模型思想。

3.情感态度与价值观【基础】：感受“比”在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣，培养用数学眼光观察世界的意识。

（二）核心素养体现

1.抽象能力【核心】：从照片“像”与“不像”的具体比较中，抽象出“长÷宽”这一稳定的倍数关系，进而概括出“比”的概念。

2.模型意识【核心】：将生活中的数量关系（如速度、单价）抽象为“路程与时间的比”、“总价与数量的比”，建立用“比”刻画一类关系的数学模型。

3.运算能力【基础】：能够正确地根据比的意义，用前项除以后项求出比值。

4.推理意识【重要】：在探讨比与除法、分数关系的过程中，进行类比推理，建构知识网络。

三、教学重难点

【教学重点】【高频考点】：理解“比”的意义，掌握“比”各部分名称和求比值的方法。

【教学难点】【难点】：理解“比”是表示两个量之间倍数关系的数学概念，区分“比”与除法、分数的联系与本质区别，尤其是理解“比”的有序性。

四、教学准备

教师准备：多媒体课件（包含照片、生活情境图、微课视频等）、学习任务单。

学生准备：直尺、草稿纸、预习生活中的比。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）激趣导入，创设冲突（预计5分钟）

1.【情境引入】教师利用多媒体课件展示教材主题图“淘气与笑笑的照片”。呈现一张原图和四张被拉伸、压缩过的变形的图片。

2.【问题驱动】教师提问：“同学们，你们觉得哪几张照片看起来和原来的照片最像？哪几张不像？为什么？”【基础】

3.【初步感知】学生凭借直观经验回答，认为A、B、D不像，C像。教师追问：“为什么会这样？是什么原因导致了照片的变形？是照片的长和宽发生了怎样的变化？”引导学生将目光聚焦到长方形的“长”和“宽”这两个关键量上。

4.【揭示课题】“看来，照片像与不像，和它的长与宽有关系。它们之间到底隐藏着怎样的数学秘密呢？今天，就让我们一起走进‘比’的世界，去探索生活中的‘比’。”【引出新标题：比的意义与应用·六年级数学上册北师大版教学设计】

（二）合作探究，建构概念（预计20分钟）

1.【任务一】探究“像”与“不像”的秘密，初识“比”

1.2.【活动设计】教师将学生分成四人小组，为每个小组提供原图及五张变式图的长和宽的数据（单位：厘米）。数据设置需有层次，例如：原图（长6，宽4）；A图（长3，宽2）；B图（长8，宽3）；C图（长12，宽8）；D图（长3，宽8）。

2.3.【核心问题驱动】“请小组合作，计算每张照片长与宽之间有什么关系？看看你们能否发现‘像’的照片与‘不像’的照片，在长和宽的关系上有什么本质的不同？”【重要】

3.4.【学生探究】学生通过计算发现：

1.4.5.原图：长÷宽=6÷4=1.5；宽÷长=4÷6=2/3。

2.5.6.像的照片C：长÷宽=12÷8=1.5；宽÷长=8÷12=2/3。

3.6.7.不像的照片B：长÷宽=8÷3≈2.67；宽÷长=3÷8=0.375。

7.8.【成果汇报】小组代表汇报发现：“像的照片，长除以宽的商是一样的，都是1.5；宽除以长的商也一样。而不像的照片，这个商就不一样。”

8.9.【教师提炼】教师总结：“你们太了不起了！大家发现，照片‘像’，就意味着它的‘长和宽的倍数关系’是固定的。在数学中，这种倍数关系，我们可以用一种新的数学语言来表示——‘比’。”教师板书：6÷4可以写作6:4，读作6比4。12÷8可以写作12:8。介绍“:”是比号，读作“比”。

10.【任务二】深化理解，认识比的各部分名称和求比值

1.11.【概念界定】教师结合6:4，讲解“比”各部分的名称。比号前面的数叫做比的“前项”，比号后面的数叫做比的“后项”。比的前项除以后项所得的商，叫做“比值”。【基础】【高频考点】

2.12.【类比迁移】引导学生将6:4与算式6÷4联系起来。理解：比的前项相当于除法中的被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

3.13.【即时练习】让学生尝试写出照片C的长和宽的比（12:8），并计算比值。巩固对比的认识。

4.14.【深度追问】【难点突破】教师提问：“在研究照片时，我们既可以写长与宽的比，也可以写宽与长的比。比如，原图的宽与长的比是多少？”学生回答：4:6，比值是2/3。教师追问：“6:4和4:6一样吗？为什么？”【非常重要】

5.15.【辨析讨论】引导学生展开讨论，明确：两个比的顺序不同，表示的意义就完全不同。6:4表示长是宽的1.5倍，而4:6表示宽是长的2/3。所以，“比”是一种有序的关系，前项和后项不能随意交换。这突出了“比”与除法、分数虽然联系紧密，但“比”更强调两个量之间的对应比较关系。

16.【任务三】寻找生活中的比，拓展“比”的外延

1.17.【活动设计】“除了照片中的长和宽存在比的关系，其实我们的生活中到处都有比。请大家以小组为单位，从老师提供的学习任务单上（或自己举例）寻找可以用‘比’来表示的数量关系。”【热点】

2.18.【素材提供】学习任务单上包含以下情境：

1.3.19.情境A：一辆汽车2小时行驶了160千米。路程和时间的关系。

2.4.20.情境B：买3千克苹果花了15元。总价和数量的关系。

3.5.21.情境C：我们班有男生25人，女生20人。男生人数和女生人数的关系。

4.6.22.情境D：调制一杯蜂蜜水，用了3小杯蜂蜜，12小杯水。蜂蜜和水的体积关系。

5.7.23.情境E：五星红旗的长是5份，宽是3份。

8.24.【小组汇报】学生小组讨论后汇报，尝试写出各个情境中的比，并说明比的含义。

1.9.25.生A：路程和时间的比是160:2，比值是80，表示汽车的速度，也就是每小时行驶80千米。

2.10.26.生B：总价和数量的比是15:3，比值是5，表示苹果的单价，每千克5元。

3.11.27.生C：男生和女生人数的比是25:20，比值是1.25，表示男生人数是女生的1.25倍。

4.12.28.生D：蜂蜜和水的比是3:12，比值是0.25，表示蜂蜜体积是水的四分之一。

13.29.【教师引导】教师结合学生的汇报，进行提炼与提升。明确指出：【非常重要】“比”不仅可以表示同类量之间的倍数关系（如男生与女生人数比、长与宽比），还可以表示不同类量之间的关系，通过这种关系，可以产生一个新的、有具体含义的量（如速度、单价）。这正是“比”的魅力所在，它为我们描述和理解世界提供了一种强有力的数学模型。

（三）知识整合，梳理关系（预计8分钟）

1.【任务驱动】“刚才我们通过大量例子认识了‘比’。请大家思考一下，‘比’和我们以前学过的‘除法’、‘分数’之间，到底有怎样的关系呢？请四人小组合作，完成一份知识结构图（用语言描述）。”【核心】【难点】

2.【合作梳理】学生讨论、辨析，尝试梳理三者关系。

3.【全班交流与形成共识】

1.4.【联系】学生发现：比的前项相当于分数的分子、除法的被除数；比号相当于分数线、除号；后项相当于分母、除数；比值相当于分数值、商。它们都可以表示两个数之间的倍数关系。教师板书对应关系。

2.5.【区别】【难点深度剖析】教师引导学生思考本质区别：

1.3.6.“比”是一种“关系”，表示两个数量之间的倍数关系，它是由两个量构成的。

2.4.7.“除法”是一种“运算”。

3.5.8.“分数”是一种“数”，也可以表示一种关系。

4.6.9.重要辨析：“比”的后项不能为0。教师提问：“在球类比赛中，我们常说比分是2:0，这里的‘比’和我们今天学的数学中的‘比’意义一样吗？”【热点辨析】

7.10.【学生辩论】学生讨论后明确：体育比赛中的“比”只是记录双方得分的一种方式，表示的是相差关系（2比0就是多2分），而我们今天学习的“比”表示的是倍数关系，后项相当于除数，不能为0。这是两个完全不同的概念。

8.11.【教师总结】通过这样的辨析，学生对数学中“比”的内涵有了更清晰、更深刻的理解。

（四）巩固应用，内化提升（预计8分钟）

1.【基础练习】【重要】【高频考点】

1.2.题目1：一个比的前项是5，后项是7，这个比写作（），读作（），比值是（）。

2.3.题目2：把下面的比写成分母是分数的形式，并求出比值。

1.3.4.12:50.3:0.92/3:4/5

5.【辨析练习】【难点巩固】

1.6.题目3：判断下面说法是否正确，并说明理由。

1.2.7.（1）小明的身高是1米，爸爸的身高是175厘米，小明和爸爸的身高比是1:175。（）

2.3.8.（2）一场足球赛的比分是3:1，所以比的后项可以是1。（）

3.4.9.（3）配制一种盐水，盐和水的质量比是1:10，那么盐是水的1/10。（）

5.10.【讲评重点】第（1）题强调：写比时，如果单位不统一，要先统一单位再写比。【基础】

11.【拓展应用】【跨学科视野】

1.12.题目4：【科学视角】人体中有趣的比：一个人脚长与身高的比大约是1:7；拳头一周的长度与脚长的比大约是1:1。如果小红脚长23厘米，请你估算一下她的身高大约是多少厘米？

2.13.题目5：【美术视角】黄金分割比：把一个物体分成两部分，当较长部分与整体部分的比值约等于0.618:1时，在视觉上最美，这个比被称为黄金分割比。许多艺术作品和建筑中都蕴含这个比。课后请同学们找一找生活中的黄金分割比。

（五）课堂总结，建构网络（预计4分钟）

1.【自主回顾】“同学们，这节课就要结束了，请你闭上眼睛，在脑海里回顾一下，今天我们是如何一步步认识‘比’这个新朋友的？你学到了关于它的哪些知识？你有什么收获或者还有什么疑问？”【重要】

2.【畅谈收获】学生畅谈本课收获：知道了什么是比，比的各部分名称，怎么求比值，还知道了比与除法、分数的联系和区别，更发现了生活中处处有比。

3.【教师升华】“是的，‘比’就像一把钥匙，为我们打开了认识世界的又一扇窗。它让我们看到，事物之间不仅仅有数量的多少，更有一种内在的、稳定的倍数关系。希望大家在今后的生活中，能继续用数学的眼光去发现更多有趣的‘比’，用‘比’的思维去分析和解决问题。”

六、板书设计

比的意义与应用

1.比的意义