【核心素养】小学数学三年级上册《图形拼组中的周长最短问题》知识清单

【核心素养】小学数学三年级上册《图形拼组中的周长最短问题》知识清单一、课程标准与核心素养解读▲【重要】本知识点对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域的第二学段内容。其核心并非简单的周长计算，而是通过“操作观察比较归纳”的探究活动，培养和发展学生的核心素养。（一）核心素养指向1.★【非常重要】空间观念与几何直观：通过拼摆、画图等活动，在脑海中建立图形如何组合、边如何重合的表象。能够根据条件，想象出不同拼法所形成的图形形状，这是解决此类问题的基石。2.★【非常重要】推理意识与模型意识：在列举所有可能拼法的过程中，体验“有序思考”的逻辑严密性。通过对比不同拼法的周长数据，初步感知并归纳出“积一定时，和的变化规律”（即：面积相等，拼成的长宽越接近，周长越短），建立起解决此类问题的数学模型。3.【重要】应用意识与创新意识：将所学规律应用于解决生活中的实际问题（如围篱笆、拼照片、包装礼盒等），体会数学的价值。在探究过程中，不满足于一种解法，尝试寻找最优策略，培养优化思想。二、基础知识体系建构（一）【基础】核心概念定义1.周长：封闭图形一周的长度。对于由小正方形拼成的组合图形，其周长等于最外层轮廓线所有边长之和。2.拼组：将若干个相同的小正方形，通过边与边完全重合的方式进行组合，形成一个新的长方形或正方形。3.重合：拼组时，相邻两个小正方形的边会完全贴在一起，这部分边长不再属于新图形的外部轮廓，因此不计算在周长内。重合的边越多，露在外面的边就越少，周长也就越短。（二）【基础】核心计算公式1.长方形的周长=（长+宽）×2，字母公式：C=(a+b)×2。2.正方形的周长=边长×4，字母公式：C=4a。▲【重要】在解决此类问题时，务必先根据拼法确定新图形的长和宽（或边长），再代入公式计算。三、核心问题解决策略：用16个边长1分米的正方形拼周长最短图形（一）【非常重要】解题三步骤（“阅读与理解”、“分析与解答”、“回顾与反思”）1.第一步：阅读与理解，明确任务。★【易错点】仔细审题，明确两个关键约束：①必须使用全部16个小正方形；②拼成的图形必须是长方形或正方形（不能有其他不规则图形）。任务是求周长最短的拼法。2.第二步：分析与解答，有序枚举。（1）策略核心：【非常重要】有序思考。将所有可能的拼法一一列举出来，做到不重复、不遗漏。（2）数学依据：拼成的长方形，其“长边上的小正方形个数”ד宽边上的小正方形个数”=总个数（16）。（3）寻找因数：寻找16的所有因数对（a,b），且a≥b（长≥宽），表示拼成a排，每排b个，或理解为长是a分米，宽是b分米。①16=16×1→拼成1排，每排16个。即：长16分米，宽1分米。②16=8×2→拼成2排，每排8个。即：长8分米，宽2分米。③16=4×4→拼成4排，每排4个。即：长4分米，宽4分米（正方形）。④16=2×8与②重复，16=1×16与①重复。因此，一共只有3种拼法。（4）计算周长：①C₁=(16+1)×2=34（分米）②C₂=(8+2)×2=20（分米）③C₃=4×4=16（分米）3.第三步：回顾与反思，发现规律。★【高频考点】通过比较，C₃（16分米）<C₂（20分米）<C₁（34分米）。（1）初步结论：拼成正方形时，周长最短。（2）【难点突破】深入规律：在用多个相同小正方形拼长方形（含正方形）的所有方案中，拼成的长方形长和宽越接近，其周长就越短。当长和宽相等（即拼成正方形）时，周长最短。（3）原理剖析：为什么长宽越接近，周长越短？因为当图形越接近正方形时，图形内部“隐藏”起来的边（即重合的边）就越多。总边长（16个小正方形的周长总和是固定的64分米）减去被隐藏的边长，得到的就是新图形的周长。隐藏的边越多，露在外面的就越少，周长自然最短。（二）特殊情况讨论：当小正方形个数为“平方数”时★【热点】当一个数可以写成两个相同因数相乘的形式时（如16=4×4，25=5×5，36=6×6），它就能拼成一个正方形，此时周长最短。例如：用36张边长1分米的正方形纸拼，哪种拼法周长最短？36=36×1→(36+1)×2=74（分米）36=18×2→(18+2)×2=40（分米）36=12×3→(12+3)×2=30（分米）36=9×4→(9+4)×2=26（分米）36=6×6→6×4=24（分米）【结论】拼成边长为6分米的正方形时，周长最短（24分米）。四、【高频考点】与【难点】深度剖析（一）常见题型与考向1.基础计算型：给定小正方形的个数和边长，求拼成某种特定形状（如拼成一排）的周长。★【解题步骤】①确定新图形的长与宽（长=个数×小正方形边长，宽=小正方形边长）；②代入长方形周长公式计算。2.★【高频考点】方案优化与规律探究型：给定小正方形个数，问有几种拼法？哪一种拼法周长最长？哪一种最短？★【解题步骤】①利用因数分解，有序列出所有长宽组合；②分别计算每种组合的周长；③比较周长大小，得出结论。最长的往往是拼成一排（长条）的情况，最短的是长宽最接近的情况（或正方形）。3.★【难点】逆向思维与生活应用型：例如，“把12幅边长2分米的正方形画贴在一起，并在四周贴花边，怎样设计花边最短？”★【建模】将“画”抽象为“小正方形”，将“贴花边”抽象为“求周长”。问题转化为：用12个边长2分米的小正方形拼长方形，怎样拼周长最短？★【解答要点】①12的因数对有（12,1）、（6,2）、（4,3）。②分别计算周长：方案一（拼一排）：长12×2=24分米，宽2分米，周长=（24+2）×2=52分米；方案二（拼两排）：长6×2=12分米，宽2×2=4分米，周长=（12+4）×2=32分米；方案三（拼三排）：长4×2=8分米，宽3×2=6分米，周长=（8+6）×2=28分米。③比较：28<32<52。答：拼成4排，每排3幅画（即长8分米，宽6分米的长方形）时，贴的花边最短，为28分米。（二）【非常重要】易错点与避坑指南1.【易错点1】审题不清，忽略“单位”与“条件”。★【避坑】看清楚小正方形的边长是“1分米”还是“1厘米”，或者更大的数。看清楚是“拼成”长方形或正方形，不能拼成“L”型或其他不规则图形。2.【易错点2】枚举不全面，导致漏解。★【避坑】必须养成“有序思考”的习惯。从排成1排开始，考虑2排、3排……直到排数等于宽数（即不能超过行数）。利用乘法口诀或因数分解，确保找到所有长宽均为整数的组合。3.【易错点3】计算组合图形周长时，误将所有小正方形周长相加。★【避坑】牢记：拼组后的图形周长，是指新图形最外面一圈的长度。重合的部分被隐藏了，不能计算在内。必须找出新图形的长和宽，再用公式计算。4.【易错点4】规律应用不严谨，死记硬背结论。★【避坑】“长宽越接近，周长越短”的结论是基于“面积相等”的前提。必须理解其背后的几何意义（重合边的多少），而不能只背诵结论。例如，当小正方形个数为质数时（如17个），它只有一种拼法（17×1），此时就不存在“最短”的比较，唯一解就是答案。五、分层作业与导学案核心要点（一）导学案（课前预习）核心任务1.【基础回顾】复习长方形和正方形的周长公式，并计算给定长宽的长方形周长。2.【动手操作】用6个或8个相同的正方形学具（或纸片）拼一拼，看看能拼出几种不同的长方形，并记录下每种拼法的长和宽。思考：为什么拼出的图形不一样？（二）分层作业设计1.【基础巩固】（面向全体学生）（1）用24个边长是1分米的小正方形拼成一个长方形，长是（）分米，宽是（）分米时，周长最短，最短周长是（）分米。（2）用9个边长是2厘米的小正方形拼成一个正方形，这个正方形的边长是（）厘米，周长是（）厘米。2.★【综合应用】（面向大部分学生）（1）把18幅边长是2分米的正方形绘画作品贴在一起，做一个长方形或正方形的“绘画园地”，要在四周贴上花边。怎样设计才能使贴的花边最短？最短是多少分米？（2）用32个同样大小的正方形拼成一个长方形，有几种拼法？其中周长最大是多少？周长最小是多少？（小正方形边长设为1个单位长度）3.★★【拓展探究】（面向学有余力的学生）（1）用12个棱长为1厘米的小正方体拼成一个长方体，怎样拼表面积最大？怎样拼表面积最小？（此为三维拓展，引导学生将二维周长与三维表面积进行类比，深化“重合面”的概念。）（2）王叔叔想用16块长2米、宽1米的长方形篱笆板围成一个长方形羊圈（篱笆板不能切割，只能整