数学高考总复习优化设计课时规范练43　空间向量及其运算

课时规范练43空间向量及其运算(分值:96分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.(2025·江苏南京期中)已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则(a+b)·(a-b)=()A.11 B.-13 C.45 D.32.(2025·江苏南京期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若A1B1=a,A1D1=b,A1A=A.-12a+12b+c B.-12a+1C.-12a-12b+c D.12a-13.(2025·江苏泰州期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱CC1上任意一点,则AM在平面ABCD上的投影向量为()A.AC B.AB C.AC1 D4.(2025·江苏南通模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC=60°,BA⊥CA,AA1=AB=AC=2,M是B1C1的中点,则|AM|=()A.7 B.22 C.10 D.235.(2025·广东汕头期末)已知空间向量a=(-3,2,1),b=(2,2,-1),c=(m,10,1),若a,b,c共面,则实数m=()A.2 B.3 C.13 D.-56.(多选题)(2025·江苏连云港期中)关于空间向量a,b,c,下列结论正确的是()A.若存在实数x,y,使得c=xa+yb,则c与a,b共面B.若c与a,b共面,则存在实数x,y,使得c=xa+ybC.若a,b,c共面,则存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0D.若存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,则a,b,c共面7.(多选题)(2025·广东广州模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=AB=1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,M为B1D1的中点,则()A.CM=-1B.CMC.|BD1D.<A1D,8.(2025·江苏泰州期中)已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,4),则p在基底{a+b,b+c,c}下的坐标为.

9.(2025·江苏盐城期中)已知直线l的方向向量为b=(0,-1,1),则向量a=(1,2,3)在直线l上的投影向量坐标为.

综合提升练10.(2025·广东汕尾期末)两位游客来到某建筑外的楼梯上拍照留念,此时正好一人站在地面上(点B处),一人站在楼梯斜坡上(点A处),如图所示.现将楼梯斜坡近似看作斜面,斜面与地面的交线记作直线l,通过测量得到以下数据:斜面与地面所成的坡度角为60°,A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧,A点到直线l的距离为AD,测得AD=6m,B点到直线l的距离为BC,测得BC=2m,且测得CD=4m,则A,B两点间的距离为()A.217m B.67m C.66m D.65m11.(2025·山西临汾一模)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,H为CC1的中点,AF=λAH,λ∈(0,1),若B,D,C1,F四点共面,则λ=()A.12 B.25 C.1312.(多选题)(2025·广东潮州期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=1,∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,M,N分别是A1B,B1C1上的点,若BM=23BA1,C1N=23C1B1,则(A.cos<AB1B.ABC.MND.|MN|=513.(2025·广东茂名期中)如图,两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A',E和A,F,使AA'⊥a,且AA'⊥b.已知AF=2,A'E=1,EF=3,则公垂线段AA'的长为.

14.(13分)(2025·浙江台州期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,∠BAC=π3(1)用AB,AC,(2)求直线CD与直线AC1所成角的余弦值.创新应用练15.(15分)(2026·江苏镇江高三模拟)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=π3,动点M在线段A1D1上(含端点)(1)求AC1的长;(2)记AC1与BM所成的角为θ,求θ的最大值并指出此时点M的位置.

参考答案1.A解析因为a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),所以a+b=(-2,7,4),a-b=(-4,-3,6),所以(a+b)·(a-b)=8-21+24=11.故选A.2.B解析根据题意,BM=BB1+B1M=AA1+3.A解析如图,因为CC1⊥平面ABCD,M是棱CC1上任意一点,所以AM在平面ABCD上的投影向量为AC.故选A4.C解析由于AM=AA1+A1M=AA=A=22+15.D解析由空间向量a,b,c共面,得c=xa+yb,即(m,10,1)=x(-3,2,1)+y(2,2,-1),则m=-3x+2y,10=2x+2y6.AC解析若向量a,b共线,易知c与a,b共线,显然共面,若向量a,b不共线,根据平面向量基本定理可知c与a,b共面.综上所述,c与a,b共面,故A正确;若向量c与a,b共面,如果a,b共线,c与它们不共线,则不存在实数x,y,使得c=xa+yb,故B错误;若向量a,b共线,则取x=y=z=0,可得xa+yb+zc=0;若向量a,b不共线,根据平面向量基本定理可知,存在实数x,y,使得c=xa+yb,即xa+yb-c=0,可得z=-1.综上所述,若a,b,c共面,则存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,故C正确;例如x=y=z=0,对于任意空间向量a,b,c均有xa+yb+zc=0成立,此时无法判断a,b,c是否共面,故D错误.故选AC.7.AD解析对于A,CM=CD+DD1+D1对于B,CM·AD=(-12AB+AA1-12AD)对于C,|BD1|=|AD+AA1-对于D,连接B1C,易得△B1CD1为正三角形,故<A1D,CD1>=<B1C,CD1>=180°故选AD.8.(2,1,3)解析由题意可得p=2a+3b+4c,设p=x(a+b)+y(b+c)+zc=xa+(x+y)b+(y+z)c,则x=2,x+y9.(0,-12,12)解析直线l的方向向量为b=(0,-则a·b=0-2+3=1,|b|=02+(-1)2+12=2,则向量a=(1,2,3)在直线l上的投影向量坐标为a·b|b10.A解析由于AB=由于斜面与地面所成的坡度角为60°,故<BC,DA故AD·DC=0,BC故AB2=(AD+DC-BC)2=AD2+DC2+BC2+2AD·DC-因此|AB|=217m.故选A.11.D解析由平行六面体的特征可得AH=则AF=λAH=λAB+所以BF=BA+AF=BA+λAB+λAD+λ2AA1=(λ-1)AB+λAD+λ2AA1,又BD=AD-AB,BC1=BC+CC1=AD+AA1,又由B,D,故选D.12.AD解析设AB=a,AC=b,AA1=c,因为AB=AC=AA1∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,所以a·b=0,a·c=b·c=1因为AB1=AB+BC1=BC+BB所以AB1·BC1=(a+c)·(b-a+c)=a·b+b·c-a2+c2=12≠0,因为AB12=(a+c)2=a2+c2+2a·c=3,所以|A因为BC12=(-a+b+c)2=a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=3,所以|BC1|=3,所以cos<AB1,因为BM=23BA1,C1N=23C1B所以A1N=AA1所以MN=A1N-A1M因为MN2=19(a+b+c)2=19(a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c)=19(3+2)=59,所以|MN|=513.2或6解析由已知,得EA'·AF=2×1×cos60°=1,或EA设AA'=d>0,因为EA'·A'A所以|EF|2=(EA'+A'A+AF)2=|EA'|2+|A'A|2+|AF|2+2EA'·A'A+当EA'·AF=1时,可得1+d2+4+2=9,解得当EA'·AF=-1时,可得1+d2+4-2=9,解得d=6.综上可知,14.解(1)BD=故CD=CB+(2)由(1)知,CD=2CD2=(23=4因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,AB=AC=AA1=3,所以AB⊥AA1,AB·AC=|AB|·|AC|cosπ3=3×3cosπ3=92,所以CD2=4+9+1-4因为AC1=AC2+CC12=32,设直线CD与直线AC1所成角为θ,CD·AC1=(23AB-AC+13AA1)·(AC+A所以直线CD与直线AC1所成角的余弦值为115.解(1)设AB=a,AD=b,AA1=依题意|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<a,c>=<c,b>=π3,则a·b=a·c=c·b=1×1×cosπ由图可知AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c,则|AC1|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+a·c+c·b(2)因为动点M在线段A1D1上(含端点),设A1M=tA1D1则BM=AM-AB=AA则AC1·BM=(a+b+c)·(-a+t=-|a|2+t|b|2+|c|2+(t-1)a·b+(t+1)c