2026年教师资格证（中学）《学科知识与教学能力》笔试真题

2026年教师资格证（中学）《学科知识与教学能力》笔试真题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在括号内）1.已知集合A=x∣−2A.(B.(C.(D.(2.已知复数z满足z(1+i)=2A.1B.C.2D.23.函数f(x)A.关于y轴对称B.关于原点对称C.在R上单调递减D.在R上有间断点4.在△ABC中，角A,B,CA.B.或C.D.或5.已知向量→a=(1,2)A.B.C.5D.106.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出的数学学科核心素养不包括()A.数学抽象B.逻辑推理C.数据分析D.空间观念7.在数学教学方法中，教师通过提供学习材料，引导学生通过观察、实验、归纳等途径去发现数学规律，这种方法被称为()A.讲授法B.谈话法C.发现法D.练习法8.某射手射击一次，击中目标的概率为0.8，若连续射击3次，则至少有2次击中目标的概率为()A.0.896B.0.9C.0.792D.0.64二、简答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）9.已知数列的前n项和为，且=2−1。求数列的通项公式。10.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=cosθ11.简述数学教学中“数形结合”思想方法的意义，并结合具体实例说明如何在课堂中渗透这一思想。三、解答题（本大题共1小题，10分）12.设函数f(x)(1)当a=1时，求函数(2)若f(x)有两个极值点,四、案例分析题（本大题共1小题，20分）13.阅读下列课堂教学实录片段，并回答问题。课题：基本不等式a教师：同学们，我们已经学习了重要不等式+≥2ab，现在请大家看黑板，我把它变形一下：把看作是(，把看作是(。那么我们就得到了（教师在黑板上板书：对于任意实数a,b，都有教师：大家看，这个形式很优美，左边是和，右边是积的算术平方根的2倍。下面我们来看几个例题，看看怎么用这个公式求最大值和最小值。（教师开始讲解例题：已知x>0,y>教师：直接套公式，因为x+y是定值，所以xy（学生A举手）学生A：老师，刚才那个公式，如果a和b是负数怎么办？还有意义吗？教师：问得好，不过我们在做题的时候，一般题目都会给正数条件，所以大家注意一下，这个公式通常要求a,学生B：老师，为什么几何平均数会小于等于算术平均数呢？教师：这个是数学定理，证明起来比较麻烦，你们记住结论就行，考试会用就可以了。来，我们看下一道题……问题：(1)请指出该教师在教学过程中存在的主要问题（至少两点）。（10分）(2)请结合上述案例，谈谈在数学概念教学中如何体现“过程性”和“严谨性”。（10分）五、教学设计题（本大题共1小题，30分）14.请根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》和高中数学教材内容，设计“函数的单调性”（第一课时）的教学方案。(1)写出教学目标。（10分）(2)写出教学重难点。（6分）(3)写出教学过程（主要环节及设计意图）。（14分）参考答案及解析一、单项选择题1.【答案】A【解析】解不等式−2x−3<0，得解不等式lnx>0，得因此，A∩2.【答案】B【解析】由z(1+所以|z3.【答案】B【解析】函数定义域为R。计算f(又(x所以函数在R上单调递增。故选B。4.【答案】A【解析】根据正弦定理=，代入数据得=。即2sin因为b=<a=2，即B5.【答案】B【解析】因为→a⊥→即1·x+所以→b→a|→6.【答案】D【解析】《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出的数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。“空间观念”是义务教育阶段（小学、初中）几何教学中的核心概念，高中阶段对应的是“直观想象”。故选D。7.【答案】C【解析】发现法是指教师不直接把知识传授给学生，而是通过提供学习材料，引导学生通过观察、实验、归纳、类比等思维活动，自己去发现规律、获得结论的一种教学方法。故选C。8.【答案】A【解析】这是一个独立重复试验模型（伯努利试验）。射击3次，至少有2次击中目标包括“击中2次”和“击中3次”两种情况。P=二、简答题9.【解】由=2当n=1时，==当n≥2时，由①-②得：−=整理得=2所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列。通项公式为=110.【解】曲线C的参数方程为{x=消去参数θ可得直角坐标方程：+(即+−将x=得(ρ即−2解得ρ=0或因为ρ=0包含在ρ=2sin11.【解】“数形结合”是数学中极其重要的思想方法，其意义在于将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题途径。意义：(1)直观性：图形能提供直观的视觉信息，帮助学生理解抽象的概念和性质（如函数的单调性、方程的根等）。(2)简化运算：通过几何图形的性质，可以避免繁琐的代数运算，或者为代数运算提供方向。(3)验证作用：代数结果可以通过图形进行验证，确保答案的正确性。课堂渗透实例：在讲解“一元二次方程的根的个数与判别式Δ的关系”时，可以渗透数形结合思想。教学过程设计：教师引导学生思考：方程a+bx+c教师利用几何画板演示，改变系数a,b,当Δ>0时，抛物线与当Δ=0时，抛物线与当Δ<0时，抛物线与通过这种动态演示，将代数方程的根与几何图形的位置关系联系起来，学生不仅记住了结论，更深刻理解了判别式的几何意义，培养了直观想象核心素养。三、解答题12.【解】(1)当a=1时，f(求导得：(x因为x>0，令(x当0<x<时，(当<x<1时，(当x>1时，(x综上，f(x)的单调递增区间为(0,(2)函数f(x)(x因为f(x)有两个极值点，即方程2设g(情况1：当a=0时，g(情况2：当a≠{Δ>其中Δ=因为要有两个不等实根，所以Δ>0，即(a由韦达定理：+=>0由>0得a当a>0时，同时还需注意a≠另外，当a=2时，Δ=综上，实数a的取值范围是(0四、案例分析题13.【参考答案】(1)该教师在教学过程中存在的主要问题如下：①忽视概念的生成过程，缺乏严谨性：教师直接从重要不等式+≥2ab变形得出a+②忽视学生的主体地位，教学方法单一：整堂课采用“灌输式”教学，教师直接给出结论和例题，没有引导学生通过观察、特例验证、逻辑推演等方式自主发现和证明基本不等式。对于学生提出的“负数情况”和“几何意义”等有价值的质疑，教师采取回避或敷衍的态度（“以后再细讲”、“记住结论就行”），打击了学生的探究欲望，不利于培养学生的批判性思维和数学核心素养。③重结果轻过程，重知识轻思想：教师只关注公式的应用（求最值），忽略了公式背后的算术平均数与几何平均数的不等关系及其几何背景（如赵爽弦图、圆中半径等），错失了渗透数形结合和数学文化教育的机会。(2)在数学概念教学中，应从以下几个方面体现“过程性”和“严谨性”：①创设情境，体现概念生成的过程性：教师应设计问题情境，引导学生经历从具体到抽象的过程。例如，在本课中，可以先设计一个实际问题（如矩形围栏面积问题），让学生在计算中发现“和定积最大”的规律，再引导学生用代数式证明这一规律，从而自然引出基本不等式。让学生参与概念的形成过程，而非直接接受结论。②逻辑严密，强化概念定义的严谨性：在得出公式雏形后，必须引导学生严谨地分析公式成立的条件。对于a+b≥2，要详细讨论③有效利用学生生成资源：对于课堂中学生提出的质疑（如负数问题、几何意义），教师应将其转化为宝贵的教学资源。例如，针对负数问题，可以引导学生尝试代入负数验证，发现根号无意义或不等号方向改变，从而加深对“正数”条件的理解；针对几何意义，可以展示“赵爽弦图”或半圆图，直观解释a+④深化理解，构建知识网络：概念教学不应止步于定义。要引导学生分析公式的结构特征（“一正、二定、三相等”），通过变式练习、反例辨析等方式，让学生在应用中深化对概念的理解，构建完整的知识体系。五、教学设计题14.【参考答案】(1)教学目标①知识与技能：理解函数单调性的概念（增函数、减函数）；掌握用定义证明函数单调性的基本步骤和格式；会判断简单函数的单调性。②过程与方法：通过观察具体函数的图像变化，体验从直观感知到抽象概括的过程；通过对函数单调性定义的探究，培养逻辑推理能力和数学表达能力。③情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想；养成严谨求实的科学态度；在自主探究与合作交流中激发学习数学的兴趣。(2)教学重难点①教学重点：函数单调性的概念及其几何意义；用定义证明函数单调性的方法。②教学难点：函数单调性概念的形式化定义（涉及任意,及不等式关系）的理解；如何将图像特征转化为数学符号语言。(3)教学过程环节一：创设情境，引入新课教师展示某地一天24小时气温变化图和本地股市上证指数走势图。提问：观察这两个图像，它们分别反映了什么变化趋势？学生回答：气温先升后降，指数波动等。教师引导：在数学中，函数图像的“上升”或“下降”趋势反映了函数的一个基本性质——单调性。今天我们就来研究函数的单调性。【设计意图】从生活实例出发，激发学生兴趣，让学生直观感知“上升”和“下降”的图像特征，为抽象概念提供感性认识。环节二：观察归纳，形成概念1.直观感知：教师展示函数y=提问：请描述图像在y轴左侧和右侧的变化趋势。学生：左侧下降，右侧上升。教师板书：在区间(0,+∈fty)上，随着x的增大，2.初步定义：教师引导学生尝试用自然语言描述“增函数”和“减函数”。学生尝试描述：如果函数值随着自变量的增大而增大，就是增函数。3.符号化（难点突破）：教师追问：“随着x的增大”在数学中如何精确表示？“y也增大”又如何表示？教师引导学生思考：不能只看具体的点，要看区间内“所有”的点。教师借助几何画板，在y=(x>0)图像上取任意两点A观察：当<时，f()和学生发现：f(师生共同总结归纳，得出严格定义：设函数f(x)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,，当<时，都有f()<f(（减函数定义类比得出）【设计意图】通过层层递进的问题，引导学生从自然语言过渡到符号语言，突破对“任意”二字理解的难点，培养学生的数学抽象素养。环节三：概念辨析，深化理解1.判断题：(1)函数y=(2)若f()<f(2.强调：单调性是函数的“局部”性质，针对某个区间而言。【设计意图】通过正反例辨析，帮助学生澄清概念误区，准确把握定义的内涵与外延。环节四：典例示范，掌握方法例：证明函数f(x)教师板演证明步骤（取值、作差、变形、定号、下结论）：证明：任取,∈R，且f(因为<，所以